L'étude des moyens de déductions pour entreprendre une construction assistée de programmes mène à la définition d'un système de déduction automatique capable :<br />- de traiter l'égalité d'une façon générale ;<br />- d'entreprendre la preuve de formules qui ne sont pas des théorèmes, d'étudier les causes d'échec ;<br />- d'effectuer un tri pour retirer d'un large ensemble d'informations, celles utiles à la preuve.<br /><br />Ces caractères ont pu être pris en compte dans le cadre d'un système général, de genre "déduction matérielle".<br />Certaines classes d'expression reçoivent toutefois un traitement particulier. Ainsi une méthode de codage permet de déterminer, sans simplification ni mise en forme normale, l'équivalence d'expressions numériques.

Description de mes activités de recherche réalisées depuis plus de 20 ans.

Cette thèse porte sur la vérification des règles ajoutées de l'Atelier B en utilisant une plate-forme appelée BCARe qui repose sur un plongement de la théorie sous-jacente à la méthode B (théorie de B) dans l'assistant à la preuve Coq. En particulier, nous proposons trois approches pour prouver la validité d'une règle, ce qui revient à prouver une formule exprimée dans la théorie de B. Ces trois approches ont été évaluées sur les règles de la base de règles de SIEMENS IC-MOL. La première approche dite autarcique est développée avec le langage de tactiques de Coq Ltac.  Elle repose sur une première étape qui consiste à déplier tous les opérateurs ensemblistes pour obtenir une formule de la logique du premier ordre. Puis nous appliquons une procédure de décision qui met en oeuvre une heuristique naïve en ce qui concerne les instanciations. La deuxième approche, dite sceptique,appelle le prouveur automatique de théorèmes Zenon après avoir effectué l'étape de normalisation précédente. Nous vérifions ensuite les preuves trouvées par Zenon dans le plongement profond de B en Coq.  La troisième approche évite l'étape de normalisation précédente grâce à une extension de Zenon utilisant des règles d'inférence spécifiques à la théorie de B. Ces règles sont obtenues grâce à la technique de superdéduction. Cette dernière approche est généralisée en une extension de Zenon à toute théorie grâce à un calcul dynamique des règles de superdéduction. Ce nouvel outil, appelé Super Zenon, peut par exemple prouver des problèmes issus de la bibliothèque de problèmes TPTP. / The purpose of this thesis is the verification of Atelier B added rules using the framework named BCARe which relies on a deep embedding of the B theory within the logic of the Coq proof assistant. We propose especially three approaches in order to prove the validity of a rule, which amounts to prove a formula expressed in the B theory. These three approaches have been assessed on the rules coming from the rule database maintained by Siemens IC-MOL.  To do so, the first approach, so-called autarkic approach, is developed thanks to the Coq tactic language, Ltac. It rests upon a first step which consists in unfolding the set operators so as to obtain a first order formula.  A decision procedure which implements an heuristic is applied afterwards to deal with instantiation.  We propose a second approach, so-called skeptic approach, which uses the automated first order theorem prover Zenon, after the previous normalization step has been applied.  Then we verify the Zenon proofs in the deep embedding of B in Coq. A third approach consists in using anextension of Zenon to the B method thanks to the superdeduction. Superdeduction allows us to add the axioms of the B theory by means of deduction rules in the proof mechanism of Zenon. This last approach is generalized in an extension of Zenon to every theory thanks to a dynamic calculus of the superdeduction rules. This new tool, named Super Zenon, is able to prove problems coming from the problem library TPTP, for example.

La Méthode B est une méthode formelle de spécification et de développement de logiciels critiques largement utilisée dans l'industrie ferroviaire. Elle permet le développement de programmes dit corrects par construction, grâce à une procédure de raffinements successifs d'une spécification abstraite jusqu'à une implantation déterministe du programme. La correction des étapes de raffinement est garantie par la vérification de la correction de formules mathématiques appelées obligations de preuve et exprimées dans la théorie des ensembles de la Méthode B. Les projets industriels utilisant la Méthode B génèrent généralement des milliers d'obligation de preuve. La faisabilité et la rapidité du développement dépendent donc fortement d'outils automatiques pour prouver ces formules mathématiques. Un outil logiciel, appelé Atelier B, spécialement développé pour aider au développement de projet avec la Méthode B, aide les utilisateurs a se décharger des obligations de preuve, automatiquement ou interactivement. Améliorer la vérification automatique des obligations de preuve est donc une tache importante. La solution que nous proposons est d'utiliser Zenon, un outils de déduction automatique pour la logique du premier ordre et qui implémente la méthode des tableaux. La particularité de Zenon est de générer des certificats de preuve, des preuves écrites dans un certain format et qui permettent leur vérification automatique par un outil tiers. La théorie des ensembles de la Méthode B est une théorie des ensembles en logique du premier ordre qui fait appel à des schémas d'axiomes polymorphes. Pour améliorer la preuve automatique avec celle-ci, nous avons étendu l'algorithme de recherche de preuve de Zenon au polymorphisme et à la déduction modulo théorie. Ce nouvel outil, qui constitue le cœur de notre contribution, est appelé Zenon Modulo. L'extension de Zenon au polymorphisme nous a permis de traiter, efficacement et sans encodage, les problèmes utilisant en même temps plusieurs types, par exemple les booléens et les entiers, et des axiomes génériques, tels ceux de la théorie des ensembles de B. La déduction modulo théorie est une extension de la logique du premier ordre à la réécriture des termes et des propositions. Cette méthode est parfaitement adaptée à la recherche de preuve dans les théories axiomatiques puisqu'elle permet de transformer des axiomes en règles de réécriture. Par ce moyen, nous passons d'une recherche de preuve dans des axiomes à du calcul, réduisant ainsi l'explosion combinatoire de la recherche de preuve en présence d'axiomes et compressant la taille des preuves en ne gardant que les étapes intéressantes. La certification des preuves de Zenon Modulo, une autre originalité de nos travaux, est faite à l'aide de Dedukti, un vérificateur universel de preuve qui permet de certifier les preuves provenant de nombreux outils différents, et basé sur la déduction modulo théorie. Ce travail fait parti d'un projet plus large appelé BWare, qui réunit des organismes de recherche académique et des industriels autour de la démonstration automatique d'obligations de preuve dans l'Atelier B. Les partenaires industriels ont fournit à BWare un ensemble d'obligation de preuve venant de vrais projets industriels utilisant la Méthode B, nous permettant ainsi de tester notre outil Zenon Modulo.Les résultats expérimentaux obtenus sur cet ensemble de référence sont particulièrement convaincant puisque Zenon Modulo prouve plus d'obligation de preuve que les outils de déduction automatique de référence au premier ordre. De plus, tous les certificats de preuve produits par Zenon Modulo ont été validés par Dedukti, nous permettant ainsi d'être très confiant dans la correction de notre travail. / The B Method is a formal method heavily used in the railway industry to specify and develop safety-critical software. It allows the development of correct-by-construction programs, thanks to a refinement process from an abstract specification to a deterministic implementation of the program. The soundness of the refinement steps depends on the validity of logical formulas called proof obligations, expressed in a specific typed set theory. Typical industrial projects using the B Method generate thousands of proof obligations, thereby relying on automated tools to discharge as many as possible proof obligations. A specific tool, called Atelier B, designed to implement the B Method and provided with a theorem prover, helps users verify the validity of proof obligations, automatically or interactively. Improving the automated verification of proof obligations is a crucial task for the speed and ease of development. The solution developed in our work is to use Zenon, a first-orderlogic automated theorem prover based on the tableaux method. The particular feature of Zenon is to generate proof certificates, i.e. proof objects that can be verified by external tools. The B Method is based on first-order logic and a specific typed set theory. To improve automated theorem proving in this theory, we extend the proof-search algorithm of Zenon to polymorphism and deduction modulo theory, leading to a new tool called Zenon Modulo which is the main contribution of our work. The extension to polymorphism allows us to deal with problems combining several sorts, like booleans and integers, and generic axioms, like B set theory axioms, without relying on encodings. Deduction modulo theory is an extension of first-order logic with rewriting both on terms and propositions. It is well suited for proof search in axiomatic theories, as it turns axioms into rewrite rules. This way, we turn proof search among axioms into computations, avoiding unnecessary combinatorial explosion, and reducing the size of proofs by recording only their meaningful steps. To certify Zenon Modulo proofs, we choose to rely on Dedukti, a proof-checker used as a universal backend to verify proofs coming from different theorem provers,and based on deduction modulo theory. This work is part of a larger project called BWare, which gathers academic entities and industrial companies around automated theorem proving for the B Method. These industrial partners provide to BWare a large benchmark of proof obligations coming from real industrial projects using the B Method and allowing us to test our tool Zenon Modulo. The experimental results obtained on this benchmark are particularly conclusive since Zenon Modulo proves more proof obligations than state-of-the-art first-order provers. In addition, all the proof certificates produced by Zenon Modulo on this benchmark are well checked by Dedukti, increasing our confidence in the soundness of our work.