Made available in DSpace on 2018-08-01T21:59:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 tese_10075_Dissertação Michael França Gusson.pdf: 344550 bytes, checksum: d7e7c3bf981fdbfb58991d5655c87141 (MD5) Previous issue date: 2016-07-08 / Teorias que propõem a unificação da Relatividade Geral e da Mecânica Quântica, por exemplo a Gravitação Quântica e a Teoria de Cordas, apontam para a existência de um valor mínimo de comprimento observável. A existência deste implica em uma generalização do Princípio da Incerteza de Heisenberg, de modo a não admitir mais uma incerteza nula na posição, modificando assim a álgebra da Mecânica Quântica. Esta modificação na álgebra sugere uma reavaliação dos resultados obtidos nas situações usuais do contexto quântico. Neste trabalho é abordado o problema do potencial delta δ, sob um contexto de comprimento mínimo, e discutido as consequências e resultados relacionadas a esta generalização.

Neste trabalho, estudamos propriedades de continuação única para as soluções da equação tipo Schrödinger com um ponto interação centrado em x=0, \\partial_tu=i(\\Delta_Z+V)u, onde V=V(x,t) é uma função de valor real e -\\Delta_Z é o operador escrito formalmente como \\[-\\Delta_Z=-\\frac\\frac{d^2}{dx^2}+Z\\delta_0,\\] sendo \\delta_0 a delta de Dirac centrada em zero e Z qualquer número real. Logo, usamos estes resultados para ver o possível fenômeno de concentração das soluções, que explodem, da equação de tipo Schrödinger não linear com um ponto de interação em x=0, \\[\\partial_tu=i(\\Delta_Zu+|u|^u),\\] com ho>5. Também, mostramos que para certas condições sobre o potencial dependente do tempo V, a equação linear em cima tem soluções não triviais. / In this work, we study unique continuation properties for solutions of the Schrödinger equations with an point interaction centered at $x=0$, \\begin\\label \\partial_tu=i(\\Delta_Z+V)u, \\end where $V=V(x,t)$ is real value function and $-\\Delta_Z$ is the operator formally written \\[-\\Delta_Z=-\\frac\\frac{d^2}{dx^2}+Z\\delta_0,\\] and $\\delta_0$ is Dirac\'s delta centered at zero and $Z$ is a real number. Next, we use these results in order to study the possible profile of the concentration of blow up solutions for the non linear Schrödinger equation with a point interaction at $x=0$, \\[\\partial_tu=i(\\Delta_Zu+|u|^u),\\] with $ho>5$. Besides, we show that the equation above has non trivial solutions for some conditions on the time dependent potencial $V$.

Neste trabalho, estudamos propriedades de continuação única para as soluções da equação tipo Schrödinger com um ponto interação centrado em x=0, \\partial_tu=i(\\Delta_Z+V)u, onde V=V(x,t) é uma função de valor real e -\\Delta_Z é o operador escrito formalmente como \\[-\\Delta_Z=-\\frac\\frac{d^2}{dx^2}+Z\\delta_0,\\] sendo \\delta_0 a delta de Dirac centrada em zero e Z qualquer número real. Logo, usamos estes resultados para ver o possível fenômeno de concentração das soluções, que explodem, da equação de tipo Schrödinger não linear com um ponto de interação em x=0, \\[\\partial_tu=i(\\Delta_Zu+|u|^u),\\] com ho>5. Também, mostramos que para certas condições sobre o potencial dependente do tempo V, a equação linear em cima tem soluções não triviais. / In this work, we study unique continuation properties for solutions of the Schrödinger equations with an point interaction centered at $x=0$, \\begin\\label \\partial_tu=i(\\Delta_Z+V)u, \\end where $V=V(x,t)$ is real value function and $-\\Delta_Z$ is the operator formally written \\[-\\Delta_Z=-\\frac\\frac{d^2}{dx^2}+Z\\delta_0,\\] and $\\delta_0$ is Dirac\'s delta centered at zero and $Z$ is a real number. Next, we use these results in order to study the possible profile of the concentration of blow up solutions for the non linear Schrödinger equation with a point interaction at $x=0$, \\[\\partial_tu=i(\\Delta_Zu+|u|^u),\\] with $ho>5$. Besides, we show that the equation above has non trivial solutions for some conditions on the time dependent potencial $V$.

Nesse trabalho, estudamos a equação de Schrödinger não-linear com uma função potencial delta atrativa. As soluções para essa equação tem uma componente localizada e uma dispersiva. Além de estudar o comportamento das soluções dessa equação em espaços de Sobolev clássicos, mostramos algumas propriedades do grupo unitário em espaços Lp, L2 com peso, Sobolev com peso e assim obtemos alguns resultados de boa colocação local e global das soluções. O ponto central desta tese é mostrarmos a existência de uma variedade invariante centro que irá consistir de órbitas periódicas no tempo. / In this work, we study the nonlinear Schrodinger equation with an attractive delta function potential.The solutions to this equation have a localized and a dispersive component. In addition to studying the behavior of solutions of this equation in classical Sobolev space, we show some properties for the unitary group in Lp, weighted L2 and Sobolev spaces and so we get some results of local and global well-posedness of solutions. The central theme this thesis is to show the existence of a center invariant manifold, which will consist of time-periodic orbits.

Este trabalho consiste, fundamentalmente, em estabelecer de forma analítica a existência e estabilidade orbital de soluções standing-wave de tipo peakon, para a seguinte equação de Schrödinger com dois pontos de interação, determinados por duas deltas de Dirac centradas nos pontos x = ±c (NLS-), i t u(x, t) + x 2 u(x, t) + Z[ c (x) + c (x)]u(x, t) = |u(x, t)| 2 u(x, t), (1) onde u : R×R C, Z R e c é a distribuição delta de Dirac agindo em x = c > 0, a saber, para H 1 (R), h c , i = (c). Para as soluções standing waves (ondas estacionárias) associadas à equação (1), i.e., u(x, t) = e it (x), mostramos que é possível determinar o perfil (x) da seguinte maneira: entre os pontos c e c o perfil admite, pelos menos, duas funções suaves e positivas dadas pelas funções elípticas de Jacobi conhecidas como dnoidal e cnoidal. Já para c < |x|, o perfil coincide com uma determinada translação do soliton-perfil secante hiperbólica\" (é bem conhecido na literatura que o perfil secante hiperbólica está associado à equação (1), no caso em que Z = 0). De fato, mostramos que para o caso Z > 0 é possível ajustar, entre os pontos de interação c e c, um perfil periódico de tipo dnoidal ; e para o caso Z < 0 mostramos como é construído entre os pontos de interação um perfil de tipo cnoidal. Uma questão crucial que surge no problema da existência de um perfil conveniente é aquela relacionada com a localização do ponto de interação c > 0. A maneira como respondimos a esta questão foi, de fato, determinante para a obtenção do nosso resultado de estabilidade/instabilidade. Isto se deve a que permitiu o uso de técnicas conhecidas na literatura no desenvolvimento do trabalho. En concreto, a escolha da localização do ponto de interação c, faz com que a segunda derivada do perfil , seja contínua neste ponto. Baseados em argumentos da teoria de Floquet, teoria de representação de formas bi- lineares, teoria de extensão de operadores simétricos e a teoria de perturbação analítica para operadores lineares, bem como nos resultados desenvolvidos por Weinstein e Grilla- kis&Shatah&Strauss, mostramos resultados sobre a estabilidade/instabilidade orbital des- sas ondas. Mais precisamente, mostramos que aquelas com um perfil dnoidal são instáveis e aquelas um perfil cnoidal são estáveis. Além disto, estudamos o problema de Cauchy para (1) no espaço de energia H 1 (R). Para tanto, usaremos informações do espectro do operador com interações pontuais d 2 ±c,Z = 2 Z[ c + c ], dx o qual representa formalmente uma das famílias de extensões auto-adjuntas do operador iii simétrico ( d 2 = dx 2 D() = {f H 1 (R) H 2 (R {±c}) : f (±c) = 0}. / This work consists mainly in establishing an analytical way the existence and orbital stability for the standing-wave solutions of \"peakon\"type of the following Schrödinger equation with two points of interaction, determined by two Diracs delta centered at the points x = ±c (NLS-), i t u(x, t) + x 2 u(x, t) + Z[ c + c ]u(x, t) = |u(x, t)| 2 u(x, t), (2) where u : R × R C, Z R and c is the Diracs delta distribution in x = c > 0, namely, for H 1 (R), h c , i = (c). For the standing-wave solutions associated to equation (2), i.e., u(x, t) = e it (x), we show that is possible to determine the profile (x) as follows: between the points c and c, the profile admits at least two smooth positive functions given by the Jacobi elliptic functions of dnoidal and cnoidal type. For c < |x|, the profile coincides with an specific shift of the soliton-profile hiperbolic secant profile (it is well-known in the literature that the hiperbolic secant profile is associated to the equation (2) for the case Z = 0). Indeed, we show for the case Z > 0 that it is possible to determine a periodic dnoidal profile between the points c and c. On the other hand, for the case Z < 0 we establish a periodic cnoidal profile between the points c and c. A crucial question arises in the problem of the existence of a suitable profile is the one related to the location of the interaction point c > 0. This question was crucial to the achievement of our stability/instability result. In fact, the choice of location of the interaction point c implies that the second derivative of the porfile is continuous at c. The stability/instability theory of these specific profiles are based on the analityc per- turbation theory and the framework developed by Weinstein and Grillakis&Shatah&Strauss. More precisely, we show that those ones with a dnoidal profile are unstable and those ones with a cnoidal profile are stable. In addition, we study the Cauchy problem in the energy space H 1 (R) for equation (2). For this purpose, it is necessary to study the spectrum of the operator d 2 ±c,Z = 2 Z[ c + c ]. dx This operator can be understood as the family of self-adjoint extension of the symmetric operator ( d 2 = dx 2 D() = {f H 1 (R) H 2 (R {±c}) : f (±c) = 0}.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The modeling of reverberant environments using techniques based on geometry, such as Ray Tracing or behavior-based wave, such as Finite Elements are devoted respectively to large and small places . But the great difficulty arises in the simulation of medium enclosures, based on precision to the geometrical approach and the computational cost for the behavior-based wave. Therefore, the objective of this work is to obtain Impulse Response Room (Room Impulse Response - RIR ) in midsize through technical Digital Waveguide Mesh ( Digital Waveguide Mesh - DWG ) environments . During the simulations the excitation was made by a half-sine, representing an approximation of the Dirac Delta. To simulate the reverberant field, were explored different geometries of meshes. Applying the results obtained it was possible to predict numerically the acoustic behavior of a sample of the same audio playing through the auralization. Added to this, certain parameters of acoustic quality which are directly derived from the RIR could be calculated . Finally, a comparative study of the RIR obtained experimentally , theoretically and via DWG was performed . From the initial proposal of the work , we have reached a computational tool able to predict the acoustic behavior in two and three dimensional environments , a relatively low computational time and quality in their results . Therefore , it was possible to make a preliminary analysis of the acoustic quality of the room , including allowing the sound reproduced in the virtual room. / A modelagem de ambientes reverberantes por meio de técnicas baseadas na geometria, como o Ray Tracing ou na propagação de ondas acústica, como Elementos Finitos são consagrados respectivamente para recintos de grande e pequeno porte. Porém, a grande dificuldade reside na simulação dos recintos médios, em função da precisão, para a abordagem geométrica, e do custo computacional, para os baseados no comportamento da onda. Assim sendo, o objetivo deste trabalho consiste na obtenção da Resposta Impulsiva da Sala (Room Impulse Response RIR) em ambientes de médio porte por meio da técnica de Malhas de Guias Digitais de Ondas (Digital Waveguide Mesh DWG). Durante as simulações a excitação se deu por meio de um meio seno, representando uma aproximação do Delta de Dirac. Para simular o campo reverberante, foram exploradas diferentes geometrias de malhas. Aplicando os resultados obtidos numericamente foi possível prever o comportamento sonoro de uma amostra de áudio sendo reproduzida no mesmo, por meio da auralização. Somado a isso, certos parâmetros da qualidade acústica, que são diretamente derivados da RIR puderam ser calculados. Para finalizar, um estudo comparativo das RIR obtidas experimentalmente, teoricamente e via DWG foi realizado. A partir da proposta inicial do trabalho, chegou-se a uma ferramenta computacional capaz de prever o comportamento acústico em ambientes bi e tridimensionais, num tempo computacional, relativamente baixo e com qualidade em seus resultados. Por conseguinte, foi possível fazer uma análise prévia da qualidade acústica da sala, inclusive permitindo ouvir o som reproduzido no recinto virtual. / Doutor em Engenharia Mecânica