This thesis examines graph polynomials and particularly their complexity. We give short proofs of two results from Gessel and Sagan (1996) which present new evaluations of the Tutte polynomial concerning orientations. A theorem of Massey et al (1997) gives an expression concerning the average size of a forest in a graph. We generalise this result to any simplicial complex. We answer a question posed by Kleinschmidt and Onn (1995) by showing that the language of partitionable simplicial complexes is in NP. We prove the following result concerning the complexity of the Tutte polynomial: Theorem 1. For any fixed k, there exists a polynomial time algorithm A, which will input any graph G, with tree-width at most k, and rational numbers x and y, and evaluate the Tutte polynomial, T(G;x,y). The rank generating function S of a graphic 2-polymatroid was introduced by Oxley and Whittle (1993). It has many similarities to the Tutte polynomial and we prove the following results. Theorem 2. Evaluating S at a fixed point (u,v) is #P-hard unless uv=1 when there is a polynomial time algorithm. Theorem 3. For any fixed k, there exists a polynomial time algorithm A, which will input any graph G, with tree-width at most k, and rational numbers u and v, and evaluate S(G;u,v). We consider a class of graphs $S$, which are those graphs which are obtainable from a graph with no edges using the unsigned version of Reidemeister moves. We examine the relationship between this class and other similarly defined classes such as the delta-wye graphs. There remain many open questions such as whether S contains every graph. However we have an invariant of the moves, based on the Tutte polynomial, which allows us to determine from which graph with no edges, if any, a particular graph can be obtained. Finally we consider a new polynomial on weighted graphs which is motivated by the study of weight systems on chord diagrams. We give three states model and a recipe theorem. An unweighted version of this polynomial is shown to contain as specialisations, a wide range of graph invariants, such as the Tutte polynomial, the polymatroid polynomial of Oxley and Whittle (1993) and the symmetric function generalisation of the chromatic polynomial introduced by Stanley (1995). We close with a discussion of complexity issues proving hardness results for very restricted classes of graphs.

Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στις Αρχές του Ηλεκτρομαγνητισμού, οι οποίες είναι και η βάση στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του μετασχηματιστή. Αναλύεται ο τρόπος δημιουργίας του μαγνητικού πεδίου ενώ παρουσιάζονται συνοπτικά όλα εκείνα τα μαγνητικά μεγέθη τα οποία θα μας χρησιμεύσουν στην συνέχεια της διπλωματικής. Το κεφάλαιο κλείνει με μια αναφορά στην Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή στην οποία στηρίζεται η λειτουργία του μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται μια διεξοδική ανάλυση των στοιχείων των μετασχηματιστών, ενώ παράλληλα αναπτύσσονται και οι εξισώσεις που περιγράφουν την λειτουργία του μονοφασικού μετασχηματιστή. Γίνεται αναφορά στα είδη και την δομή των μετασχηματιστών, ενώ αναλύονται λεπτομερώς όλα τα είδη των απωλειών που παρουσιάζονται σε έναν μετασχηματιστή. Το κεφάλαιο κλείνει παραθέτοντας το ισοδύναμο κύκλωμα του μονοφασικού μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται μια εισαγωγή στα μαγνητικά κυκλώματα τα οποία μπορούν να περιγράψουν την μαγνητική συμπεριφορά ενός σιδηρομαγνητικού πυρήνα. Η ανάλυση περιλαμβάνει το ισοδύναμο μαγνητικό κύκλωμα του πυρήνα ενός μονοφασικού μετασχηματιστή, το οποίο μπορεί να επεκταθεί και για έναν τρισκελή ή πεντασκελή πυρήνα ενός τριφασικού μετασχηματιστή. Στο Κεφάλαιο 4 πραγματοποιείται η ανάλυση του τριφασικού μετασχηματιστή. Παρατίθενται όλες οι δυνατές συνδεσμολογίες μεταξύ των τυλιγμάτων του, ενώ στην συνέχεια αναλύεται το μαγνητικό ισοδύναμο κύκλωμα του τρισκελή σιδηρομαγνητικού πυρήνα βάση του οποίου προσδιορίζεται ο Πίνακας Ld. Από την ανάλυση του ηλεκτρικού κυκλώματος προκύπτουν οι καταστατικές εξισώσεις που περιγράφουν την λειτουργία του τριφασικού μετασχηματιστή και ομαδοποιούνται με την δημιουργία Πινάκων. Το κεφάλαιο κλείνει κάνοντας μια αναφορά στον τρόπο με τον οποίο εισάγεται η μη γραμμική χαρακτηριστική καμπύλη του υλικού του πυρήνα. Στο Κεφάλαιο 5 πραγματοποιείται η εξομοίωση του τριφασικού μετασχηματιστή, η οποία στηρίζεται στην ανάλυση του Κεφαλαίου 4. Περιγράφονται αριθμητικά και σχηματικά ο μετασχηματιστής καθώς και το δίκτυο μετασχηματιστή-φορτίου που χρησιμοποιήθηκαν. Στην συνέχεια, καταγράφονται οι κυματομορφές των μεγεθών του μετασχηματιστή, όταν στο δευτερεύον τύλιγμά του συνδεθεί είτε συμμετρικό ή ασύμμετρο φορτίο. Το κεφάλαιο κλείνει με την εξαγωγή των συμπερασμάτων που προέκυψαν από την ανάλυση και εξομοίωση του τριφασικού μετασχηματιστή. / This paper is entitled “Simulation of three-phase transformer when the primary windings are connected in delta and the secondary windings in wye” in case of symmetrical and asymmetrical load. First of all, there is an introduction in the basic principles of electromagnetism. Then, the analysis of the single-phase and three-phase transformer which can help us to derive the state equations. From the analysis of the magnetic core circuit, we can calculate the incremental matrix Ld. The matrix Ld depends on the topology of the magnetic core. Finally, simulation results and conclusions are presented for the three-phase transformer