Nós consideramos o seguinte problema. Fixado um grafo H e um número real \\alpha \\in (0,1], determine o menor \\beta = \\beta(\\alpha, H) que satisfaz a seguinte propriedade: se G é um grafo de ordem n no qual cada subconjunto de [\\alpha n] vértices induz mais que \\beta n^2 arestas então G contém H como subgrafo. Este problema foi iniciado e motivado por Erdös ao conjecturar que todo grafo livre de triângulo de ordem n contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /50 arestas. Nosso resultado principal mostra que i) todo grafo de ordem n livre de triângulos e pentágonos contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /64 arestas, e ii) se G é um grafo regular de ordem n livre de triângulo, com grau excedendo n/3, então G contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /50 arestas. Se além disso G não é 3-cromático então G contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz menos de n^2 /54 arestas. Como subproduto e confirmando uma conjectura de Erdös assintoticamente, temos que todo grafo regular de ordem n livre de triângulo com grau excedendo n/3 pode ser tornado bipartido pela omissão de no máximo (1/25 + o(1))n^2 arestas. Nós também fornecemos um contraexemplo a uma conjectura de Erdös, Faudree, Rousseau e Schelp. / We consider the following problem. Fixed a graph H and a real number \\alpha \\in (0,1], determine the smallest \\beta = \\beta(\\alpha, H) satisfying the following property: if G is a graph of order n such that every subset of [\\alpha n] vertices spans more that \\beta n^2 edges then G contains H as a subgraph. This problem was initiated and motivated by Erdös who conjectured that every triangle-free graph of order n contains a subset of [n/2] vertices that spans at most n^2 /50 edges. Our main result shows that i) every triangle- and pentagon-free graph of order n contains a subset of [n/2] vertices inducing at most n^2 /64 edges and, ii) if G is a triangle-free regular graph of order n with degree exceeding n/3 then G contains a subset of [n/2] vertices inducing at most n^2 /50 edges. Furthermore, if G is not 3-chromatic then G contains a subset of [n/2] vertices inducing less than n^2 /54 edges. As a by-product and confirming a conjecture of Erdös asymptotically, we obtain that every n-vertex triangle-free regular graph with degree exceeding n/3 can be made bipartite by removing at most (1/25 + o(1))n^2 edges. We also provide a counterexample to a conjecture of Erdös, Faudree, Rousseau and Schelp.

Nós consideramos o seguinte problema. Fixado um grafo H e um número real \\alpha \\in (0,1], determine o menor \\beta = \\beta(\\alpha, H) que satisfaz a seguinte propriedade: se G é um grafo de ordem n no qual cada subconjunto de [\\alpha n] vértices induz mais que \\beta n^2 arestas então G contém H como subgrafo. Este problema foi iniciado e motivado por Erdös ao conjecturar que todo grafo livre de triângulo de ordem n contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /50 arestas. Nosso resultado principal mostra que i) todo grafo de ordem n livre de triângulos e pentágonos contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /64 arestas, e ii) se G é um grafo regular de ordem n livre de triângulo, com grau excedendo n/3, então G contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz no máximo n^2 /50 arestas. Se além disso G não é 3-cromático então G contém um subconjunto de [n/2] vértices que induz menos de n^2 /54 arestas. Como subproduto e confirmando uma conjectura de Erdös assintoticamente, temos que todo grafo regular de ordem n livre de triângulo com grau excedendo n/3 pode ser tornado bipartido pela omissão de no máximo (1/25 + o(1))n^2 arestas. Nós também fornecemos um contraexemplo a uma conjectura de Erdös, Faudree, Rousseau e Schelp. / We consider the following problem. Fixed a graph H and a real number \\alpha \\in (0,1], determine the smallest \\beta = \\beta(\\alpha, H) satisfying the following property: if G is a graph of order n such that every subset of [\\alpha n] vertices spans more that \\beta n^2 edges then G contains H as a subgraph. This problem was initiated and motivated by Erdös who conjectured that every triangle-free graph of order n contains a subset of [n/2] vertices that spans at most n^2 /50 edges. Our main result shows that i) every triangle- and pentagon-free graph of order n contains a subset of [n/2] vertices inducing at most n^2 /64 edges and, ii) if G is a triangle-free regular graph of order n with degree exceeding n/3 then G contains a subset of [n/2] vertices inducing at most n^2 /50 edges. Furthermore, if G is not 3-chromatic then G contains a subset of [n/2] vertices inducing less than n^2 /54 edges. As a by-product and confirming a conjecture of Erdös asymptotically, we obtain that every n-vertex triangle-free regular graph with degree exceeding n/3 can be made bipartite by removing at most (1/25 + o(1))n^2 edges. We also provide a counterexample to a conjecture of Erdös, Faudree, Rousseau and Schelp.

Orientador: Prof. Dr Gustavo Michel Mendoza La Torre / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, 2014. / Classical billiards are versatile models for detecting efects of the billiard table over dynamical properties of Hamiltonian systems. Similarly, quantum billiards are ultra-small versions of the same table but now their properties are re ected on eigenvalues of the stationary Schrodinger equation for certain boundary conditions. Integrable and chaotic signatures must distinguish systems at any scale in order to ensure quantum-classical correspondence in the limit ~ ! 0. We demonstrate the classical properties that characterize system dynamics. Also, two intermediate cases are added to debate - mixed and pseudointegrable - for the understanding of possible transitions between dierent dynamics. To do so, the role of action-angle variables in Hamiltonian maps must be discussed. In the quantum context, we seek for ngerprints of classical properties through a systematic study on Local Density of States (LDOS) generated by Green's function numerical methods applied to a lattice representing a Tight-Binding Hamiltonian. We analyze scatisticically the distributions of LDOS from ground state to suciently high levels of energy, trying to identify new characteristics of these systems. This study aims to stimulate experimental measures on LDOS capable to map these signatures through an AFM tip (Atomic Force Microscopy).

Submitted by YURI POLICEI MARQUES null (yurimarques111@gmail.com) on 2016-03-16T13:32:59Z No. of bitstreams: 1 Thesis_Yuri.pdf: 5717547 bytes, checksum: 01fcb3125bd18e6cdbca67bc795b6088 (MD5) / Approved for entry into archive by Sandra Manzano de Almeida (smanzano@marilia.unesp.br) on 2016-03-16T18:19:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marques_yp_me_ilha.pdf: 5717547 bytes, checksum: 01fcb3125bd18e6cdbca67bc795b6088 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-16T18:19:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marques_yp_me_ilha.pdf: 5717547 bytes, checksum: 01fcb3125bd18e6cdbca67bc795b6088 (MD5) Previous issue date: 2016-02-16 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Exploramos teoricamente a emergência de estados ligados no contínuo (BICs: bound states in the continuum) em um sistema formado por duas impurezas situadas em lados opostos da folha de grafeno e colineares com o centro da célula hexagonal, onde ambas impurezas estão acopladas aos seis carbonos desta mesma célula, ou ainda acopladas a apenas um átomo fantasma, localizado no centro da célula, que simula os seis carbonos. Verificamos que nesta configuração a densidade local de estados, perto dos pontos de Dirac, exibe aspectos característicos: i) uma densidade de estados com dependência cúbica na energia em vez da dependência linear do grafeno puro, assim como encontrado no New J. Phys. 16, 013045 (2014) e ii) a formação de BICs como consequência de uma interferência Fano destrutiva assistida por uma correlação de Coulomb nas impurezas. Para a geometria em que as impurezas estão colineares com um átomo de carbono, observamos ausência de BICs. / We explore theoretically the formation of bound states in the continuum (BICs) in graphene hosting two collinear adatoms situated at different sides of the sheet and at the center of the hexagonal cell, where a phantom atom of a fictitious lattice emulates the six carbons of the cell. We verify that in this configuration the local density of states (LDOS) near the Dirac points exhibits two characteristic features: i) the cubic dependence on energy instead of the linear one for graphene as found in New J. Phys. 16, 013045 (2014) and ii) formation of BICs as aftermath of a Fano destructive interference assisted by the Coulomb correlations in the adatoms. For the geometry where adatoms are collinear to carbon atoms, we report absence of BICs.

Orientador: Antonio Carlos Ferreira Seridonio / Resumo: Exploramos teoricamente a emergência de estados ligados no contínuo (BICs: bound states in the continuum) em um sistema formado por duas impurezas situadas em lados opostos da folha de grafeno e colineares com o centro da célula hexagonal, onde ambas impurezas estão acopladas aos seis carbonos desta mesma célula, ou ainda acopladas a apenas um átomo fantasma, localizado no centro da célula, que simula os seis carbonos. Verificamos que nesta configuração a densidade local de estados, perto dos pontos de Dirac, exibe aspectos característicos: i) uma densidade de estados com dependência cúbica na energia em vez da dependência linear do grafeno puro, assim como encontrado no New J. Phys. 16, 013045 (2014) e ii) a formação de BICs como consequência de uma interferência Fano destrutiva assistida por uma correlação de Coulomb nas impurezas. Para a geometria em que as impurezas estão colineares com um átomo de carbono, observamos ausência de BICs. / Abstract: We explore theoretically the formation of bound states in the continuum (BICs) in graphene hosting two collinear adatoms situated at different sides of the sheet and at the center of the hexagonal cell, where a phantom atom of a fictitious lattice emulates the six carbons of the cell. We verify that in this configuration the local density of states(LDOS) near the Dirac points exhibits two characteristic features: i) the cubic dependence on energy instead of the linear one for graphene as found in New J. Phys. 16, 013045 (2014) and ii) formation of BICs as aftermath of a Fano destructive interference assisted by the Coulomb correlations in the adatoms. For the geometry where adatoms are collinear to carbon atoms, we report absence of BICs. / Mestre