In der Arbeit wird das asymptotische Verhalten von geeignet normierten und zentrierten Summen von Zufallsgrößen untersucht, die entweder unabhängig sind oder im Falle der Abhängigkeit als Martingaldifferenzfolge oder stark multiplikatives System auftreten. Neben der klassischen Summationstheorie werden die Limitierungsverfahren mit einer unendlichen Summationsmatrix oder einer angepaßten Folge von Gewichtsfunktionen betrachtet. Es werden die Methode der charakteristischen Funktionen und besonders die direkte Methode der konjugierten Verteilungsfunktionen weiterentwickelt, um quantitative Aussagen über gleichmäßige und ungleichmäßige Restgliedabschätzungen in zentralen Grenzwertsatz zu beweisen. Die Untersuchungen werden dabei in der Lp-Metrik, 1<p<oo oder p=1 bzw. p=oo, durchgeführt, wobei der Fall p=oo der üblichen sup-Norm entspricht. Darüber hinaus wird im Fall unabhängiger Zufallsgrößen der lokale Grenzwertsatz für Dichten betrachtet. Mittels der elektronischen Datenverarbeitung neue numerische Resultate zu erhalten. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedene Hinweise auf praktische Anwendungen. / In the work the asymptotic behavior of suitably centered and normalized sums of random variables is investigated, which are either independent or occur in the case of dependence as a sequence of martingale differences or a strongly multiplicative system. In addition to the classical theory of summation limiting processes are considered with an infinite summation matrix or an adapted sequence of weighting functions. It will be further developed the method of characteristic functions, and especially the direct method of the conjugate distribution functions to prove quantitative statements about uniform and non-uniform error estimates of the remainder term in central limit theorem. The investigations are realized in the Lp metric, 1 <p <oo or p = 1 or p = oo, where in the case p = oo it is the usual sup-norm. In addition, in the case of independent random variables the local limit theorem for densities is considered. By means of electronic data processing new numerical results are obtained. The work is finished by various references to practical applications.

[ES] La cuantificación de incertidumbre involucra diversos métodos y técnicas computacionales para abordar las brechas inherentes en la modelización matemática de fenómenos reales. Estos métodos son especialmente útiles para modelar procesos biológicos, físicos y sociales que contienen elementos que no pueden ser determinados con precisión. Por ejemplo, la tasa de transmisión de una enfermedad infecciosa o la tasa de crecimiento de un tumor están influidas por factores genéticos, ambientales o de comportamiento que no se comprenden completamente, introduciendo incertidumbres que afectan los resultados. Esta tesis doctoral tiene como objetivo desarrollar y ampliar técnicas analíticas y computacionales para cuantificar la incertidumbre en sistemas de ecuaciones diferenciales aleatorias utilizando la función de densidad de probabilidad del sistema. Empleando el teorema de transformación de variables aleatorias y la ecuación de Liouville (continuidad), abordamos problemas de cuantificación de incertidumbre hacia adelante e inversos en sistemas aleatorios con datos reales. También diseñamos un método computacional para estimar eficientemente la densidad de probabilidad de un sistema resolviendo la ecuación de Liouville mediante aceleración de GPU. Finalmente, examinamos la evolución de la incertidumbre en una clase de sistemas forzados por impulsos, proporcionando nuevos conocimientos sobre la dinámica de sus funciones de densidad de probabilidad. / [CA] La quantificació d'incertesa involucra diversos mètodes i tècniques computacionals per a abordar les bretxes inherents en la modelització matemàtica de fenòmens reals. Aquests mètodes són especialment útils per a modelar processos biològics, físics i socials que contenen elements que no poden ser determinats amb precisió. Per exemple, la taxa de transmissió d'una malaltia infecciosa o la taxa de creixement d'un tumor estan influïdes per factors genètics, ambientals o de comportament que no es comprenen completament, introduint incerteses que afecten els resultats. Aquesta tesi doctoral té com a objectiu desenvolupar i ampliar tècniques analítiques i computacionals per a quantificar la incertesa en sistemes d'equacions diferencials aleatòries utilitzant la funció de densitat de probabilitat del sistema. Emprant el teorema de transformació de variables aleatòries i l'equació de Liouville (continuïtat), abordem problemes de quantificació d'incertesa cap endavant i inversos en sistemes aleatoris amb dades reals. També dissenyem un mètode computacional per a estimar eficientment la densitat de probabilitat d'un sistema resolent l'equació de Liouville mitjançant acceleració de GPU. Finalment, examinem l'evolució de la incertesa en una classe de sistemes forçats per impulsos, proporcionant nous coneixements sobre la dinàmica de les seues funcions de densitat de probabilitat. / [EN] Uncertainty quantification involves various methods and computational techniques to address inherent gaps in the mathematical modeling of real-world phenomena. These methods are particularly valuable for modeling biological, physical, and social processes that contain elements that cannot be precisely determined. For example, the transmission rate of an infectious disease or the growth rate of a tumor are influenced by genetic, environmental, or behavioral factors that are not fully understood, introducing uncertainties that impact outcomes. This PhD thesis aims to develop and extend analytical and computational techniques for quantifying uncertainty in random differential equation systems using a system's probability density function. By employing the random variable transformation theorem and the Liouville (continuity) equation, we tackle both forward and inverse uncertainty quantification problems in random systems with real-world data. We also design a computational method to efficiently estimate a system's probability density by solving the Liouville equation with GPU acceleration. Finally, we examine uncertainty evolution in a class of impulse-forced systems, providing new insights into the dynamics of their probability density functions. / Bevia Escrig, VJ. (2024). Advances in Random Differential Equations: Computational Methods and Multidisciplinary Applications [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/213911