Um anel noetheriano S satisfaz a propriedade ( ) se todas as extens~oes essenciais c clicas de S-m odulos simples s~ao artinianas. An eis noetherianos com esta propriedade veri cam a Conjectura de Jacobson, que e um famoso problema em aberto em teoria de an eis. Neste trabalho investigamos esta propriedade em an eis de operadores diferenciais R[ ; ], onde R e um anel comutativo noetheriano e uma deriva c~ao de R. Mais especi camente, estudamos condi c~oes necess arias e su cientes para que R[ ; ] satisfa ca ( ), quando R e um anel -simples e, tamb em, no caso em que este e um anel -primitivo. Al em disso, caracterizamos os an eis de operadores diferenciais C[x; y][ ; ] que satisfazem ( ). / A Noetherian ring S satis es the property ( ) if any cyclic essential extension of simple S-modules are Artinian. Noetherian rings with this property verify Jacobson's Conjecture, which is a famous open problem in ring theory. In this work we investigate this property in di erential operators rings R[ ; ], where R is a commutative Noetherian ring and is a derivation of R. More precisely, we study necessary and su cient conditions for R[ ; ] to satisfy property ( ) whenever R is a -simple ring and also for the case where it is a -primitive ring. Furthermore, we characterize the di erential operator rings C[x; y][ ; ] satisfying ( ).

Um anel noetheriano S satisfaz a propriedade ( ) se todas as extens~oes essenciais c clicas de S-m odulos simples s~ao artinianas. An eis noetherianos com esta propriedade veri cam a Conjectura de Jacobson, que e um famoso problema em aberto em teoria de an eis. Neste trabalho investigamos esta propriedade em an eis de operadores diferenciais R[ ; ], onde R e um anel comutativo noetheriano e uma deriva c~ao de R. Mais especi camente, estudamos condi c~oes necess arias e su cientes para que R[ ; ] satisfa ca ( ), quando R e um anel -simples e, tamb em, no caso em que este e um anel -primitivo. Al em disso, caracterizamos os an eis de operadores diferenciais C[x; y][ ; ] que satisfazem ( ). / A Noetherian ring S satis es the property ( ) if any cyclic essential extension of simple S-modules are Artinian. Noetherian rings with this property verify Jacobson's Conjecture, which is a famous open problem in ring theory. In this work we investigate this property in di erential operators rings R[ ; ], where R is a commutative Noetherian ring and is a derivation of R. More precisely, we study necessary and su cient conditions for R[ ; ] to satisfy property ( ) whenever R is a -simple ring and also for the case where it is a -primitive ring. Furthermore, we characterize the di erential operator rings C[x; y][ ; ] satisfying ( ).

Um anel noetheriano S satisfaz a propriedade ( ) se todas as extens~oes essenciais c clicas de S-m odulos simples s~ao artinianas. An eis noetherianos com esta propriedade veri cam a Conjectura de Jacobson, que e um famoso problema em aberto em teoria de an eis. Neste trabalho investigamos esta propriedade em an eis de operadores diferenciais R[ ; ], onde R e um anel comutativo noetheriano e uma deriva c~ao de R. Mais especi camente, estudamos condi c~oes necess arias e su cientes para que R[ ; ] satisfa ca ( ), quando R e um anel -simples e, tamb em, no caso em que este e um anel -primitivo. Al em disso, caracterizamos os an eis de operadores diferenciais C[x; y][ ; ] que satisfazem ( ). / A Noetherian ring S satis es the property ( ) if any cyclic essential extension of simple S-modules are Artinian. Noetherian rings with this property verify Jacobson's Conjecture, which is a famous open problem in ring theory. In this work we investigate this property in di erential operators rings R[ ; ], where R is a commutative Noetherian ring and is a derivation of R. More precisely, we study necessary and su cient conditions for R[ ; ] to satisfy property ( ) whenever R is a -simple ring and also for the case where it is a -primitive ring. Furthermore, we characterize the di erential operator rings C[x; y][ ; ] satisfying ( ).