Quantengruppen, Quantenräume zu Quantengruppen und speziell homogene Quantenräume zu Quantengruppen sind wichtige Beispiele nichtkommutativer geometrischer Räume. In dieser Arbeit werden die Quantensphären ungerader Dimension S_q^{2N-1} nach Vaksman und Soibelman als eine Klasse homogener Quantenräume untersucht. Ziel der Arbeit ist es, auf ihnen eine kovariante Differentialrechnung bereitzustellen und damit die Voraussetzungen für die Untersuchung ihrer nichtkommutativen Geometrie zu schaffen. Auf den Quantensphären S_q^{2N-1} werden für N>=4 unter zwei verschiedenen Setzungen der Nebenbedingungen kovariante Differentialkalküle erster Ordnung klassifiziert. Es wird gezeigt, daß für N>=4 genau vier Familien kovarianter *-Differentialkalküle erster Ordnung mit je zwei Parametern auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von den Differentialen dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, der 2N algebraischen Erzeugenden der Quantensphäre als freie Linksmoduln erzeugt werden. Keiner dieser Differentialkalküle ist ein innerer Kalkül. Ferner wird gezeigt, daß für N>=4 genau fünf Familien kovarianter Differentialkalküle erster Ordnung mit je einem Parameter auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, als Linksmoduln erzeugt werden und für die alle Relationen im S_q^{2N-1}-Linksmodul der 1-Formen von genau einer Relation zwischen invarianten 1-Formen algebraisch erzeugt werden. Die Differentialkalküle dreier dieser Familien sind *-Kalküle, diejenigen einer davon innere Kalküle. Alle diese Kalküle existieren auch für N=2 und N=3. Für einen der inneren Differentialkalküle erster Ordnung \Gamma wird gezeigt, daß in jedem Differentialkalkül höherer Ordnung \Gamma^\wedge, der \Gamma fortsetzt, alle Differentialformen der Ordnung 2N+1 und höherer Ordnung verschwinden. Für \Gamma wird ein Symmetriehomomorphismus (braiding) konstruiert. Mit Hilfe des Differentialkalküls \Gamma, der Differentialkalküle höherer Ordnung und des Symmetriehomomorphismus werden Metriken und Zusammenhänge auf den Quantensphären S_q^{2N-1} eingeführt. / Quantum groups, quantum spaces for quantum groups and, particularly, quantum homogeneous spaces for quantum groups are important examples of noncommutative geometrical spaces. In this thesis, the odd-dimensional quantum spheres S_q^{2N-1} introduced by Vaksman and Soibelman, as a class of homogeneous quantum spaces, are investigated. The goal of the paper is to provide a framework of covariant differential calculus on them and to enable thereby an investigation of their noncommutative geometry. For N>=4, covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} are classified under two different settings of additional constraints. It is shown that there exist exactly four two-parameter families of covariant first order differential *-calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as free left modules by the differentials dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, of the 2N algebra generators of the quantum sphere. None of these differential calculi is an inner calculus. Moreover, it is proved that there exist exactly five one-parameter families of covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as left modules by dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, and for which all relations in the left S_q^{2N-1}-module of 1-forms are algebraically generated by exactly one relation between invariant 1-forms. Three of these families consist of *-calculi, including one which consists of inner calculi. All calculi mentioned exist also for N=2 and N=3. For one particular inner first order differential calculus \Gamma it is shown that in any higher order differential calculus \Gamma^\wedge extending \Gamma, all differential forms of order 2N+1 or higher vanish. A symmetry homomorphism (braiding) for \Gamma is constructed. Using the differential calculus \Gamma, the higher order differential calculi and the braiding, metrics and connections are introduced on the quantum spheres S_q^{2N-1}.

In dieser Arbeit wird die de-Rham-Kohomologie für die Quantengruppen zu den vier klassischen Serien von Lie-Gruppen bestimmt und es wird der Hodgeschen Zerlegungssatz gezeigt. Als entscheidendes Mittel wurde der Laplace-Beltrami-Operator L für Woronowicz’ äußere Algebren entwickelt. Für transzendente Werte von q und reguläre Kalkülparameter z ist L diagonalisierbar. Für die obigen Quantengruppen bestimmen wir die Eigenwerte von L, die neben q und z von zwei integralen dominanten Gewichten abhängen. Wie im klassischen Fall wird die de-Rham-Kohomologie durch harmonische Formen repräsentiert. Jedoch entspricht nur im Fall der A-Serie jeder harmonischen Form auch eine de-Rham-Kohomologieklasse. Im Falle der B-, C- und D-Serien sind biinvariante Formen nicht notwendig geschlossen. Es gilt aber, dass jede biinvariante Form harmonisch ist. Das zweite Hauptresultat ist die Hodge-Zerlegung für die Quantengruppen GLq(N) und SLq(N): Ist der Kalkülparameter z regulär, so lässt sich jede Form eindeutig zerlegen in die Summe aus einem Rand, einem Korand und einem Kohomologierepräsentanten. Ferner gilt, analog zum klassischen Fall, dass die folgenden drei Formenräume übereinstimmen: die biinvarianten Formen, die harmonischen Formen und die de-Rham-Kohomologie. Für die orthogonalen und symplektischen Quantengruppen gibt es keine vollständige Hodge-Zerlegung. Nur für die Elemente, die im Bild des Laplace-Beltrami-Operators liegen, gibt es eine eindeutige Zerlegung in Rand und Korand. Für die Standardkalküle auf den Quantengruppen GLq(N) und SLq(N) wird die Größe von Woronowicz’ äußerer Algebra bestimmt. Es wird gezeigt, dass der Raum der linksinvarianten k-Formen (N² über k)-dimensional ist. Die Algebra der biinvarianten Formen ist graduiert kommutativ. Ihre Poincaré-Reihe ist (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Biinvariante Formen sind geschlossen. / Consider one of the standard bicovariant first order differential calculi for the quantum groups GLq(N), SLq(N), SOq(N), or SPq(N), where q is a transcendental complex number. It is shown that the de Rham cohomology of Woronowicz' external algebra coincides with the de Rham cohomologies of its left-invariant, its right-invariant and its bi-invariant subcomplexes. In the cases GLq(N) and SLq(N), the cohomology ring is isomorphic to the left-invariant external algebra and to the vector space of harmonic forms. We prove a Hodge decomposition theorem in these cases. The main technical tool is the spectral decomposition of the quantum Laplace-Beltrami operator. As in the classical case all three spaces of differential forms coincide: bi- invariant forms, harmonic forms and the de-Rham-cohomology. For orthog- onal and symplectic quantum groups there is no complete Hodge decompo- sition. In case of the standard calculi on the quantum groups GLq(N) and SLq(N), the size of exterior algebra is computed. The space of left-invariant k-forms has dimension C(N², k) (binomial coefficient). The algebra of bi-invariant forms is graded commutative with Poincaré series (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Bi-invariant forms are closed.

Quantengruppen, Quantenräume zu Quantengruppen und speziell homogene Quantenräume zu Quantengruppen sind wichtige Beispiele nichtkommutativer geometrischer Räume. In dieser Arbeit werden die Quantensphären ungerader Dimension S_q^{2N-1} nach Vaksman und Soibelman als eine Klasse homogener Quantenräume untersucht. Ziel der Arbeit ist es, auf ihnen eine kovariante Differentialrechnung bereitzustellen und damit die Voraussetzungen für die Untersuchung ihrer nichtkommutativen Geometrie zu schaffen. Auf den Quantensphären S_q^{2N-1} werden für N>=4 unter zwei verschiedenen Setzungen der Nebenbedingungen kovariante Differentialkalküle erster Ordnung klassifiziert. Es wird gezeigt, daß für N>=4 genau vier Familien kovarianter *-Differentialkalküle erster Ordnung mit je zwei Parametern auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von den Differentialen dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, der 2N algebraischen Erzeugenden der Quantensphäre als freie Linksmoduln erzeugt werden. Keiner dieser Differentialkalküle ist ein innerer Kalkül. Ferner wird gezeigt, daß für N>=4 genau fünf Familien kovarianter Differentialkalküle erster Ordnung mit je einem Parameter auf S_q^{2N-1} existieren, deren 1-Formen-Bimoduln von dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, als Linksmoduln erzeugt werden und für die alle Relationen im S_q^{2N-1}-Linksmodul der 1-Formen von genau einer Relation zwischen invarianten 1-Formen algebraisch erzeugt werden. Die Differentialkalküle dreier dieser Familien sind *-Kalküle, diejenigen einer davon innere Kalküle. Alle diese Kalküle existieren auch für N=2 und N=3. Für einen der inneren Differentialkalküle erster Ordnung \Gamma wird gezeigt, daß in jedem Differentialkalkül höherer Ordnung \Gamma^\wedge, der \Gamma fortsetzt, alle Differentialformen der Ordnung 2N+1 und höherer Ordnung verschwinden. Für \Gamma wird ein Symmetriehomomorphismus (braiding) konstruiert. Mit Hilfe des Differentialkalküls \Gamma, der Differentialkalküle höherer Ordnung und des Symmetriehomomorphismus werden Metriken und Zusammenhänge auf den Quantensphären S_q^{2N-1} eingeführt. / Quantum groups, quantum spaces for quantum groups and, particularly, quantum homogeneous spaces for quantum groups are important examples of noncommutative geometrical spaces. In this thesis, the odd-dimensional quantum spheres S_q^{2N-1} introduced by Vaksman and Soibelman, as a class of homogeneous quantum spaces, are investigated. The goal of the paper is to provide a framework of covariant differential calculus on them and to enable thereby an investigation of their noncommutative geometry. For N>=4, covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} are classified under two different settings of additional constraints. It is shown that there exist exactly four two-parameter families of covariant first order differential *-calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as free left modules by the differentials dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, of the 2N algebra generators of the quantum sphere. None of these differential calculi is an inner calculus. Moreover, it is proved that there exist exactly five one-parameter families of covariant first order differential calculi on S_q^{2N-1} for N>=4 having bimodules of 1-forms which are generated as left modules by dz_i, dz^*_i, 1<=i<=N, and for which all relations in the left S_q^{2N-1}-module of 1-forms are algebraically generated by exactly one relation between invariant 1-forms. Three of these families consist of *-calculi, including one which consists of inner calculi. All calculi mentioned exist also for N=2 and N=3. For one particular inner first order differential calculus \Gamma it is shown that in any higher order differential calculus \Gamma^\wedge extending \Gamma, all differential forms of order 2N+1 or higher vanish. A symmetry homomorphism (braiding) for \Gamma is constructed. Using the differential calculus \Gamma, the higher order differential calculi and the braiding, metrics and connections are introduced on the quantum spheres S_q^{2N-1}.

In dieser Arbeit wird die de-Rham-Kohomologie für die Quantengruppen zu den vier klassischen Serien von Lie-Gruppen bestimmt und es wird der Hodgeschen Zerlegungssatz gezeigt. Als entscheidendes Mittel wurde der Laplace-Beltrami-Operator L für Woronowicz’ äußere Algebren entwickelt. Für transzendente Werte von q und reguläre Kalkülparameter z ist L diagonalisierbar. Für die obigen Quantengruppen bestimmen wir die Eigenwerte von L, die neben q und z von zwei integralen dominanten Gewichten abhängen. Wie im klassischen Fall wird die de-Rham-Kohomologie durch harmonische Formen repräsentiert. Jedoch entspricht nur im Fall der A-Serie jeder harmonischen Form auch eine de-Rham-Kohomologieklasse. Im Falle der B-, C- und D-Serien sind biinvariante Formen nicht notwendig geschlossen. Es gilt aber, dass jede biinvariante Form harmonisch ist. Das zweite Hauptresultat ist die Hodge-Zerlegung für die Quantengruppen GLq(N) und SLq(N): Ist der Kalkülparameter z regulär, so lässt sich jede Form eindeutig zerlegen in die Summe aus einem Rand, einem Korand und einem Kohomologierepräsentanten. Ferner gilt, analog zum klassischen Fall, dass die folgenden drei Formenräume übereinstimmen: die biinvarianten Formen, die harmonischen Formen und die de-Rham-Kohomologie. Für die orthogonalen und symplektischen Quantengruppen gibt es keine vollständige Hodge-Zerlegung. Nur für die Elemente, die im Bild des Laplace-Beltrami-Operators liegen, gibt es eine eindeutige Zerlegung in Rand und Korand. Für die Standardkalküle auf den Quantengruppen GLq(N) und SLq(N) wird die Größe von Woronowicz’ äußerer Algebra bestimmt. Es wird gezeigt, dass der Raum der linksinvarianten k-Formen (N² über k)-dimensional ist. Die Algebra der biinvarianten Formen ist graduiert kommutativ. Ihre Poincaré-Reihe ist (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Biinvariante Formen sind geschlossen. / Consider one of the standard bicovariant first order differential calculi for the quantum groups GLq(N), SLq(N), SOq(N), or SPq(N), where q is a transcendental complex number. It is shown that the de Rham cohomology of Woronowicz'' external algebra coincides with the de Rham cohomologies of its left-invariant, its right-invariant and its bi-invariant subcomplexes. In the cases GLq(N) and SLq(N), the cohomology ring is isomorphic to the left-invariant external algebra and to the vector space of harmonic forms. We prove a Hodge decomposition theorem in these cases. The main technical tool is the spectral decomposition of the quantum Laplace-Beltrami operator. As in the classical case all three spaces of differential forms coincide: bi- invariant forms, harmonic forms and the de-Rham-cohomology. For orthog- onal and symplectic quantum groups there is no complete Hodge decompo- sition. In case of the standard calculi on the quantum groups GLq(N) and SLq(N), the size of exterior algebra is computed. The space of left-invariant k-forms has dimension C(N², k) (binomial coefficient). The algebra of bi-invariant forms is graded commutative with Poincaré series (1+t)(1+t³) ... (1+t^(2N-1)). Bi-invariant forms are closed.