La conception des bibliothèques d’évaluation de fonctions est un activité complexe qui requiert beaucoup de soin et d’application, particulièrement lorsque l’on vise des niveaux élevés de fiabilité et de performances. En pratique et de manière habituelle, on ne peut se livrer à ce travail sans disposer d’outils qui guident le concepteur dans le dédale d’un espace de solutions étendu et complexe mais qui lui garantissent également la correction et la quasi-optimalité de sa production. Dans l’état actuel de l’art, il nous faut encore plutôt raisonner en termes de « boite à outils » d’où le concepteur doit tirer et combiner des mécanismes de base, au mieux de ses objectifs, plutôt qu’imaginer que l’on dispose d’un dispositif à même de résoudre automatiquement tous les problèmes.Le présent travail s’attache à la conception et la réalisation de tels outils dans deux domaines:∙ la consolidation du test d’arrondi de Ziv utilisé, jusqu’à présent de manière plus ou moins empirique, dans l’implantation des approximations de fonction ;∙ le développement d’une implantation de l’algorithme SLZ dans le but de résoudre le « Dilemme du fabricant de table » dans le cas de fonctions ayant pour opérandes et pour résultat approché des nombres flottants en quadruple précision (format Binary64 selon la norme IEEE-754). / The design of function evaluation libraries is a complex task that requires a great care and dedication, especially when one wants to satisfy high standards of reliability and performance. In actual practice, it cannot be correctly performed, as a routine operation, without tools that not only help the designer to find his way in a complex and extended solution space but also to guarantee that his solutions are correct and (almost) optimal. As of the present state of the art, one has to think in terms of “toolbox” from which he can smartly mix-and-match the utensils that fit better his goals rather than expect to have at hand a solve-all automatic device.The work presented here is dedicated to the design and implementation of such tools in two realms:∙ the consolidation of Ziv’s rounding test that is used, in a more or less empirical way, for the implementation of functions approximation;∙ the development of an implementation of the SLZ-algorithm in order to solve the Table Maker Dilemma for the function with quad-precision floating point (IEEE-754 Binary128 format) arguments and images.

Les réseaux euclidiens sont un outil particulièrement puissant dans<br />plusieurs domaines de l'algorithmique, en cryptographie et en théorie<br />algorithmique des nombres par exemple. L'objet du présent mémoire est dual : nous améliorons les algorithmes de réduction des réseaux,<br />et nous développons une nouvelle application dans le domaine<br />de l'arithmétique des ordinateurs. En ce qui concerne l'aspect algorithmique, nous nous intéressons aux cas des petites dimensions (en dimension un, où il s'agit du calcul de pgcd, et aussi en dimensions 2 à 4), ainsi qu'à la description d'une nouvelle variante de l'algorithme LLL, en dimension quelconque. Du point de vue de l'application, nous utilisons la méthode<br />de Coppersmith permettant de trouver les petites racines de polynômes modulaires multivariés, pour calculer les pires cas pour l'arrondi des fonctions mathématiques, quand la fonction, le mode d'arrondi, et la précision sont donnés. Nous adaptons aussi notre technique aux mauvais cas simultanés pour deux fonctions. Ces deux méthodes sont des pré-calculs coûteux, qui une fois <br />effectués permettent d'accélérer les implantations des fonctions mathématiques élémentaires en précision fixée, par exemple en double précision.<br /><br />La plupart des algorithmes décrits dans ce mémoire ont été validés<br />expérimentalement par des implantations, qui sont<br />disponibles à l'url http://www.loria.fr/~stehle.

L'implantation en Virgule Flottante (VF) d'une fonction à valeurs réelles est réalisée avec arrondi correct si le résultat calculé est toujours égal à l'arrondi de la valeur exacte, ce qui présente de nombreux avantages. Mais pour implanter une fonction avec arrondi correct de manière fiable et efficace, il faut résoudre le "dilemme du fabricant de tables" (TMD en anglais). Deux algorithmes sophistiqués (L et SLZ) ont été conçus pour résoudre ce problème, via des calculs longs et complexes effectués par des implantations largement optimisées. D'où la motivation d'apporter des garanties fortes sur le résultat de ces pré-calculs coûteux. Dans ce but, nous utilisons l'assistant de preuves Coq. Tout d'abord nous développons une bibliothèque d'"approximation polynomiale rigoureuse", permettant de calculer un polynôme d'approximation et un intervalle bornant l'erreur d'approximation à l'intérieur de Coq. Cette formalisation est un élément clé pour valider la première étape de SLZ, ainsi que l'implantation d'une fonction mathématique en général (avec ou sans arrondi correct). Puis nous avons implanté en Coq, formellement prouvé et rendu effectif 3 vérifieurs de certificats, dont la preuve de correction dérive du lemme de Hensel que nous avons formalisé dans les cas univarié et bivarié. En particulier, notre "vérifieur ISValP" est un composant clé pour la certification formelle des résultats générés par SLZ. Ensuite, nous nous sommes intéressés à la preuve mathématique d'algorithmes VF en "précision augmentée" pour la racine carré et la norme euclidienne en 2D. Nous donnons des bornes inférieures fines sur la plus petite distance non nulle entre sqrt(x²+y²) et un midpoint, permettant de résoudre le TMD pour cette fonction bivariée. Enfin, lorsque différentes précisions VF sont disponibles, peut survenir le phénomène de "double-arrondi", qui peut changer le comportement de petits algorithmes usuels en arithmétique. Nous avons prouvé en Coq un ensemble de théorèmes décrivant le comportement de Fast2Sum avec double-arrondis.

L'implantation en Virgule Flottante (VF) d'une fonction à valeurs réelles est réalisée avec arrondi correct si le résultat calculé est toujours égal à l'arrondi de la valeur exacte, ce qui présente de nombreux avantages. Mais pour implanter une fonction avec arrondi correct de manière fiable et efficace, il faut résoudre le «dilemme du fabricant de tables» (TMD en anglais). Deux algorithmes sophistiqués (L et SLZ) ont été conçus pour résoudre ce problème, via des calculs longs et complexes effectués par des implantations largement optimisées. D'où la motivation d'apporter des garanties fortes sur le résultat de ces pré-calculs coûteux. Dans ce but, nous utilisons l'assistant de preuves Coq. Tout d'abord nous développons une bibliothèque d'«approximation polynomiale rigoureuse», permettant de calculer un polynôme d'approximation et un intervalle bornant l'erreur d'approximation à l'intérieur de Coq. Cette formalisation est un élément clé pour valider la première étape de SLZ, ainsi que l'implantation d'une fonction mathématique en général (avec ou sans arrondi correct). Puis nous avons implanté en Coq, formellement prouvé et rendu effectif 3 vérifieurs de certificats, dont la preuve de correction dérive du lemme de Hensel que nous avons formalisé dans les cas univarié et bivarié. En particulier, notre «vérifieur ISValP» est un composant clé pour la certification formelle des résultats générés par SLZ. Ensuite, nous nous sommes intéressés à la preuve mathématique d'algorithmes VF en «précision augmentée» pour la racine carré et la norme euclidienne en 2D. Nous donnons des bornes inférieures fines sur la plus petite distance non nulle entre sqrt(x²+y²) et un midpoint, permettant de résoudre le TMD pour cette fonction bivariée. Enfin, lorsque différentes précisions VF sont disponibles, peut survenir le phénomène de «double-arrondi», qui peut changer le comportement de petits algorithmes usuels en arithmétique. Nous avons prouvé en Coq un ensemble de théorèmes décrivant le comportement de Fast2Sum avec double-arrondis. / The Floating-Point (FP) implementation of a real-valued function is performed with correct rounding if the output is always equal to the rounding of the exact value, which has many advantages. But for implementing a function with correct rounding in a reliable and efficient manner, one has to solve the ``Table Maker's Dilemma'' (TMD). Two sophisticated algorithms (L and SLZ) have been designed to solve this problem, relying on some long and complex calculations that are performed by some heavily-optimized implementations. Hence the motivation to provide strong guarantees on these costly pre-computations. To this end, we use the Coq proof assistant. First, we develop a library of ``Rigorous Polynomial Approximation'', allowing one to compute an approximation polynomial and an interval that bounds the approximation error in Coq. This formalization is a key building block for verifying the first step of SLZ, as well as the implementation of a mathematical function in general (with or without correct rounding). Then we have implemented, formally verified and made effective 3 interrelated certificates checkers in Coq, whose correctness proof derives from Hensel's lemma that we have formalized for both univariate and bivariate cases. In particular, our ``ISValP verifier'' is a key component for formally verifying the results generated by SLZ. Then, we have focused on the mathematical proof of ``augmented-precision'' FP algorithms for the square root and the Euclidean 2D norm. We give some tight lower bounds on the minimum non-zero distance between sqrt(x²+y²) and a midpoint, allowing one to solve the TMD for this bivariate function. Finally, the ``double-rounding'' phenomenon can typically occur when several FP precision are available, and may change the behavior of some usual small FP algorithms. We have formally verified in Coq a set of results describing the behavior of the Fast2Sum algorithm with double-roundings.