• Refine Query
  • Source
  • Publication year
  • to
  • Language
  • 3
  • 1
  • Tagged with
  • 4
  • 4
  • 3
  • 3
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • 2
  • About
  • The Global ETD Search service is a free service for researchers to find electronic theses and dissertations. This service is provided by the Networked Digital Library of Theses and Dissertations.
    Our metadata is collected from universities around the world. If you manage a university/consortium/country archive and want to be added, details can be found on the NDLTD website.
1

Composants mathématiques pour la théorie des groupes

Ould Biha, Sidi 24 February 2010 (has links) (PDF)
Les systèmes de preuves formelles ont connu ces dernières années des évolutions importantes. Des travaux récents, comme la preuve formelle du théorème des quatre couleurs ou celle du théorème des nombres premiers, ont montré que ces systèmes ont atteint un niveau de maturité leur permettant de s'attaquer à des problèmes mathématiques non triviaux. Malgré cela, l'utilisation des systèmes de preuves formelles en mathématique reste très limitée. Un des arguments qui est avancé pour expliquer cette situation est le manque de bibliothèques de preuves formelles. Cette thèse s'intéresse au développement de composants mathématiques pour la théorie des groupes finis. Elle entre dans le cadre du travail de formalisation du théorème de Feit-Thompson sur la classification des groupes finis. L'objectif principal dans ce travail est d'appliquer les techniques de génie logiciel pour faciliter la réutilisation et l'organisation des développements mathématiques formelles de grande échelle, comme la formalisation du théorème de Feit-Thompson. Cette thèse présente une première formalisation du théorème de Cayley-Hamilton sur les polynômes et les matrices. Elle présente aussi des développements sur la théorie des représentations des groupes finis qui est une composante nécessaire à la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson. En particulier, elle présente une formalisation de la théorie des modules sur un corps ou sur une algèbre ainsi qu'une formalisation du théorème de Maschke. Ces développements ont été faits dans le système Coq et avec l'extension SSReflect.
2

Vérification formelle pour les méthodes numériques

Pasca, Ioana 23 November 2010 (has links) (PDF)
Cette thèse s'articule autour de la formalisation de mathématiques dans l'assistant à la preuve Coq dans le but de vérifier des méthodes numériques. Plus précisément, elle se concentre sur la formalisation de concepts qui apparaissent dans la résolution des systèmes d'équations linéaires et non-linéaires. <p> Dans ce cadre, on a analysé la méthode de Newton, couramment utilisée pour approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode de Newton vers une solution, l'unicité de la solution dans un voisinage, la vitesse de convergence et la stabilité locale de la méthode. L'étude de ce théorème a nécessité la formalisation de concepts d'analyse multivariée. En se basant sur ces résultats classiques sur la méthode de Newton, on a montré qu'arrondir à chaque étape préserve la convergence de la méthode, avec une corrélation bien déterminée entre la précision des données d'entrée et celle du résultat. Dans un travail commun avec Nicolas Julien nous avons aussi formellement étudié les calculs avec la méthode de Newton effectués dans le cadre d'une bibliothèque d'arithmétique réelle exacte. <p> Pour les systèmes linéaires d'équations, on s'est intéressé aux systèmes qui ont une matrice associée à coefficients intervalles. Pour résoudre de tels systèmes, un problème important qui se pose est de savoir si la matrice associée est régulière. On a fourni la vérification formelle d'une collection de critères de régularité pour les matrices d'intervalles.
3

Contributions à la vérification formelle d'algorithmes arithmétiques / Contributions to the Formal Verification of Arithmetic Algorithms

Martin-Dorel, Erik 26 September 2012 (has links)
L'implantation en Virgule Flottante (VF) d'une fonction à valeurs réelles est réalisée avec arrondi correct si le résultat calculé est toujours égal à l'arrondi de la valeur exacte, ce qui présente de nombreux avantages. Mais pour implanter une fonction avec arrondi correct de manière fiable et efficace, il faut résoudre le «dilemme du fabricant de tables» (TMD en anglais). Deux algorithmes sophistiqués (L et SLZ) ont été conçus pour résoudre ce problème, via des calculs longs et complexes effectués par des implantations largement optimisées. D'où la motivation d'apporter des garanties fortes sur le résultat de ces pré-calculs coûteux. Dans ce but, nous utilisons l'assistant de preuves Coq. Tout d'abord nous développons une bibliothèque d'«approximation polynomiale rigoureuse», permettant de calculer un polynôme d'approximation et un intervalle bornant l'erreur d'approximation à l'intérieur de Coq. Cette formalisation est un élément clé pour valider la première étape de SLZ, ainsi que l'implantation d'une fonction mathématique en général (avec ou sans arrondi correct). Puis nous avons implanté en Coq, formellement prouvé et rendu effectif 3 vérifieurs de certificats, dont la preuve de correction dérive du lemme de Hensel que nous avons formalisé dans les cas univarié et bivarié. En particulier, notre «vérifieur ISValP» est un composant clé pour la certification formelle des résultats générés par SLZ. Ensuite, nous nous sommes intéressés à la preuve mathématique d'algorithmes VF en «précision augmentée» pour la racine carré et la norme euclidienne en 2D. Nous donnons des bornes inférieures fines sur la plus petite distance non nulle entre sqrt(x²+y²) et un midpoint, permettant de résoudre le TMD pour cette fonction bivariée. Enfin, lorsque différentes précisions VF sont disponibles, peut survenir le phénomène de «double-arrondi», qui peut changer le comportement de petits algorithmes usuels en arithmétique. Nous avons prouvé en Coq un ensemble de théorèmes décrivant le comportement de Fast2Sum avec double-arrondis. / The Floating-Point (FP) implementation of a real-valued function is performed with correct rounding if the output is always equal to the rounding of the exact value, which has many advantages. But for implementing a function with correct rounding in a reliable and efficient manner, one has to solve the ``Table Maker's Dilemma'' (TMD). Two sophisticated algorithms (L and SLZ) have been designed to solve this problem, relying on some long and complex calculations that are performed by some heavily-optimized implementations. Hence the motivation to provide strong guarantees on these costly pre-computations. To this end, we use the Coq proof assistant. First, we develop a library of ``Rigorous Polynomial Approximation'', allowing one to compute an approximation polynomial and an interval that bounds the approximation error in Coq. This formalization is a key building block for verifying the first step of SLZ, as well as the implementation of a mathematical function in general (with or without correct rounding). Then we have implemented, formally verified and made effective 3 interrelated certificates checkers in Coq, whose correctness proof derives from Hensel's lemma that we have formalized for both univariate and bivariate cases. In particular, our ``ISValP verifier'' is a key component for formally verifying the results generated by SLZ. Then, we have focused on the mathematical proof of ``augmented-precision'' FP algorithms for the square root and the Euclidean 2D norm. We give some tight lower bounds on the minimum non-zero distance between sqrt(x²+y²) and a midpoint, allowing one to solve the TMD for this bivariate function. Finally, the ``double-rounding'' phenomenon can typically occur when several FP precision are available, and may change the behavior of some usual small FP algorithms. We have formally verified in Coq a set of results describing the behavior of the Fast2Sum algorithm with double-roundings.
4

Contributions à la vérification formelle d'algorithmes arithmétiques

Martin-Dorel, Erik 26 September 2012 (has links) (PDF)
L'implantation en Virgule Flottante (VF) d'une fonction à valeurs réelles est réalisée avec arrondi correct si le résultat calculé est toujours égal à l'arrondi de la valeur exacte, ce qui présente de nombreux avantages. Mais pour implanter une fonction avec arrondi correct de manière fiable et efficace, il faut résoudre le "dilemme du fabricant de tables" (TMD en anglais). Deux algorithmes sophistiqués (L et SLZ) ont été conçus pour résoudre ce problème, via des calculs longs et complexes effectués par des implantations largement optimisées. D'où la motivation d'apporter des garanties fortes sur le résultat de ces pré-calculs coûteux. Dans ce but, nous utilisons l'assistant de preuves Coq. Tout d'abord nous développons une bibliothèque d'"approximation polynomiale rigoureuse", permettant de calculer un polynôme d'approximation et un intervalle bornant l'erreur d'approximation à l'intérieur de Coq. Cette formalisation est un élément clé pour valider la première étape de SLZ, ainsi que l'implantation d'une fonction mathématique en général (avec ou sans arrondi correct). Puis nous avons implanté en Coq, formellement prouvé et rendu effectif 3 vérifieurs de certificats, dont la preuve de correction dérive du lemme de Hensel que nous avons formalisé dans les cas univarié et bivarié. En particulier, notre "vérifieur ISValP" est un composant clé pour la certification formelle des résultats générés par SLZ. Ensuite, nous nous sommes intéressés à la preuve mathématique d'algorithmes VF en "précision augmentée" pour la racine carré et la norme euclidienne en 2D. Nous donnons des bornes inférieures fines sur la plus petite distance non nulle entre sqrt(x²+y²) et un midpoint, permettant de résoudre le TMD pour cette fonction bivariée. Enfin, lorsque différentes précisions VF sont disponibles, peut survenir le phénomène de "double-arrondi", qui peut changer le comportement de petits algorithmes usuels en arithmétique. Nous avons prouvé en Coq un ensemble de théorèmes décrivant le comportement de Fast2Sum avec double-arrondis.

Page generated in 0.0302 seconds