Les systèmes de preuves formelles ont connu ces dernières années des évolutions importantes. Des travaux récents, comme la preuve formelle du théorème des quatre couleurs ou celle du théorème des nombres premiers, ont montré que ces systèmes ont atteint un niveau de maturité leur permettant de s'attaquer à des problèmes mathématiques non triviaux. Malgré cela, l'utilisation des systèmes de preuves formelles en mathématique reste très limitée. Un des arguments qui est avancé pour expliquer cette situation est le manque de bibliothèques de preuves formelles. Cette thèse s'intéresse au développement de composants mathématiques pour la théorie des groupes finis. Elle entre dans le cadre du travail de formalisation du théorème de Feit-Thompson sur la classification des groupes finis. L'objectif principal dans ce travail est d'appliquer les techniques de génie logiciel pour faciliter la réutilisation et l'organisation des développements mathématiques formelles de grande échelle, comme la formalisation du théorème de Feit-Thompson. Cette thèse présente une première formalisation du théorème de Cayley-Hamilton sur les polynômes et les matrices. Elle présente aussi des développements sur la théorie des représentations des groupes finis qui est une composante nécessaire à la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson. En particulier, elle présente une formalisation de la théorie des modules sur un corps ou sur une algèbre ainsi qu'une formalisation du théorème de Maschke. Ces développements ont été faits dans le système Coq et avec l'extension SSReflect.

Cette thèse s'articule autour de la formalisation de mathématiques dans l'assistant à la preuve Coq dans le but de vérifier des méthodes numériques. Plus précisément, elle se concentre sur la formalisation de concepts qui apparaissent dans la résolution des systèmes d'équations linéaires et non-linéaires. <p> Dans ce cadre, on a analysé la méthode de Newton, couramment utilisée pour approcher les solutions d'une équation ou d'un système d'équations. Le but a été de formaliser le théorème de Kantorovitch qui montre la convergence de la méthode de Newton vers une solution, l'unicité de la solution dans un voisinage, la vitesse de convergence et la stabilité locale de la méthode. L'étude de ce théorème a nécessité la formalisation de concepts d'analyse multivariée. En se basant sur ces résultats classiques sur la méthode de Newton, on a montré qu'arrondir à chaque étape préserve la convergence de la méthode, avec une corrélation bien déterminée entre la précision des données d'entrée et celle du résultat. Dans un travail commun avec Nicolas Julien nous avons aussi formellement étudié les calculs avec la méthode de Newton effectués dans le cadre d'une bibliothèque d'arithmétique réelle exacte. <p> Pour les systèmes linéaires d'équations, on s'est intéressé aux systèmes qui ont une matrice associée à coefficients intervalles. Pour résoudre de tels systèmes, un problème important qui se pose est de savoir si la matrice associée est régulière. On a fourni la vérification formelle d'une collection de critères de régularité pour les matrices d'intervalles.

Cette thèse présente une formalisation des nombres algébriques et de leur théorie. Elle apporte deux nouvelles contributions importantes à la formalisation de résultats mathématiques dans des assistants à la preuve, ici Coq : la construction intuitionniste des nombres algébriques réels et la preuve qu'ils constituent un corps réel clos, ainsi que la programmation et la certification de procédures d'élimination des quantificateurs pour les théories des corps algébriquement clos et des corps réels clos. Pour atteindre ces résultats, nous avons apporté des contributions aux outils et aux méthodologies de preuves et de formalisation des mathématiques en Coq. En particulier, nous fournissons pour Coq/SSReflect un cadre pour travailler avec des types quotients. Nous fournissons une bibliothèque complète sur les structures algébriques de nombres ordonnés et normés. Nous avons réalisé une courte implémentation des réels de Cauchy accompagnée de tactiques pour effectuer facilement des raisonnements comportant des affirmations de la forme "soit n un entier suffisamment grand", couramment utilisés dans les preuves mathématiques sur papier. Nous avons également développé une petite bibliothèque d'analyse de base sur les polynômes à coefficients dans un corps réel clos. Une grande partie de nos résultats s'intègrent dans la formalisation de la preuve du théorème de Feit-Thompson et ont aussi pour objectif d'aider à certifier des procédures plus efficace d'élimination des quantificateurs sur les réels.

Un problème de géométrie algébrique réelle s'exprime sous forme d’un système d’équations et d’inéquations polynomiales, dont l’ensemble des solutions est un ensemble semi-algébrique. L'objectif de cette thèse est de montrer comment les algorithmes de ce domaine peuvent être décrits formellement dans le langage du système de preuve Coq.Un premier résultat est la définition formelle et la certification de l’algorithme de transformation de Newton présentée dans la thèse d'A. Bostan. Ce travail fait intervenir non seulement des polynômes, mais également des séries formelles tronquées. Un deuxième résultat est la description d'un type de donnée représentant les ensembles semi-algébriques. Un ensemble semialgébrique est représenté par une formule logique du premier ordre basée sur des comparaisons entre expressions polynomiales multivariées. Pour ce type de données, nous montrons comment obtenir les différentes opérations ensemblistes et allons jusqu'à décrire les fonctions semi-algébriques. Pour toutes ces étapes, nous fournissons des preuves formelles vérifiées à l'aide de Coq. Enfin, nous montrons également comment la continuité des fonctions semi-algébrique peut être décrite, mais sans en fournir une preuve formelle complète. / A real algebraic geometry problem is expressed as a system of polynomial equations and inequalities, and the set of solutions are semi-algebraic sets. The objective of this thesis is to show how the algorithms of this domain can be formally described in the language of the Coq proof system. A first result is the formal definition and certification of the Newton transformation algorithm presented in A. Bostan's thesis. This work involves not only polynomials, but also truncated formal series. A second result is the description of a data type representing semi-algebraic sets. A semi-algebraic set is represented by a first-order logical formula based on comparisons between multivariate polynomial expressions. For this type of data, we show how to obtain the different set operations all the way to describing semialgebraic functions. For all these steps, we provide formal proofs verified with Coq. Finally, we also show how the continuity of semi-algebraic functions can be described, but without providing a fully formalized proof.