Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En 2005, B. Host y B. Kra [24] probaron la convergencia de algunos promedios ergódicos múltiples introduciendo para cada d \in N un factor que caracteriza el comportamiento de estos promedios. En 2010, B. Host, B. Kra y A. Maass [25] estudiaron una contraparte topológica de estos factores para sistemas dinámicos topológicos (X,T), donde :X\to X es un homeomorfismo de X en sí mismo. En este trabajo introdujeron la estructura de cubos topológicos, denotada por Q^{[d]}(X,T), y probaron un teorema de estructura para sistemas transitivos con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q^{[d]}(X,T)''. Este teorema de estructura se puede ver como el análogo topológico del teorema de estructura ergódico probado en [24]. Además, introdujieron la relación regionalmente proximal de orden d, denotada RP^{[d]}(X,T), y mostraron en el caso minimal distal que la relación es de equivalencia y que X/RP^{[d]}(X,T) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q^{[d]}(X/RP^{[d]}(X,T))$. En 2014, S. Donoso y W. Sun [7] estudiaron una variante de los cubos topológicos para un sistema minimal (X,S,T), donde S y T son dos homeomorfismos que conmutan. Esta nueva estructura se motiva en la búsqueda de factores característicos para promedios ergódicos múltiples con transformaciones que conmutan. Los autores prueban un teorema de estructura para sistemas minimales con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q_{S,T}(X)''. Introducen además la relación (S,T)-regionalmente proximal, denotada por R_{S,T}(X), que es una variante más débil de la relación regionalmente proximal de primer orden para acciones de Z^{2}. Finalmente, en el caso distal prueban que la relación (S,T)-regionalmente proximal es una relación de equivalencia y que X/R_{S,T}(X) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)) En esta tesis generalizamos el concepto de cubos topológicos para sistemas minimales (X,T_{1},...,T_{d}), donde T_{1},...,T_{d} son d homeomorfismos que conmutan, así como la relación (T_{1},...,T_{d})-regionalmente proximal introducidas en [7]. En primer lugar demostramos un teorema estructural para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única. Luego, para cada i \in {1,...,d} definimos la clase Z_{0}^{e_{i}}, que corresponde a la clase de sistemas dinámicos donde la acción Ti es la identidad y describimos, para cada sistema dinámico (X,T_{1},...,T_{d}), su factor Z_{0}^{e_{i}}-maximal. Adicionalmente estudiamos las propiedades de los conjuntos de recurrencia para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única para la clase de cubos desarrollada en esta tesis. In 2005, B. Host and B. Kra [24] proved the convergence of some multiple ergodic averages by introducing for each d\in N a factor that characterizes the behavior of these averages. In 2010, B. Host, B. Kra and A. Maass [25] studied a topological counterpart of these factors for topological dynamic systems (X,T), where T: X\to X is a homeomorphism from X to itself. In this work they introduced the structure of topological cubes, denoted by Q^{[d]}(X,T), and they proved a structure theorem for transitive systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q^[d](X,T)''. This structure theorem can be seen as the topological analog of the purely ergodic structure theorem proved in [24]. In addition, they introduced the regionally proximal relation of order d, denoted RP^{[d]}(X,T), and showed in the minimal distal case that the relation is an equivalence relation and that is the maximal factor with the unique completion property in Q^{[d]}(X/\RP^{[d]}(X,T)}). In 2014, S. Donoso and W. Sun [7] studied a variant of the topological cubes for a minimal system (X,S,T), where S and T are two commuting homeomorphisms. This new structure is motivated in the search of characteristic factors for multiple ergodic averages with commuting transformations. The authors prove a structure theorem for minimal systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q_{S,T}(X)''. They also introduce the relation (S,T)-regionally proximal, denoted by R_{S,T}(X), which is a weaker variant of the regionally proximal relation of order one for Z^{2}-actions. Finally, in the distal case they proved that the relation (S,T)-regionally proximal is an equivalence relation and that X/R_{S,T}(X) is the maximal factor with the unique completion property in Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)). In this thesis we generalize the concept of topological cubes for minimal systems (X,T_{1},...,T_{d}), where T_ {1},..., T_{d} are d commuting homeomorphisms, as well as the relation (T_{1},...,T_{d})-regionally proximal introduced in [7]. First, we prove a structural theorem for distal minimal systems with the closing parallelepiped property. Then, for each i\in {1,...,d} we define the class Z_{0}^{e_{i}}, which corresponds to the class of dynamical systems where the action T_{i} is the identity and we describe, for each dynamical system (X,T_{1},...,T_{d}), its maximal Z_{0}^{e_ {i}}-factor. Additionally, we studied the properties of recurrence sets for distal minimal systems with the closing parallelepiped property for the class of cubes developed in this thesis. / CMM - Conicyt PIA AFB 170001

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / Las transformaciones de intercambios de intervalos aparecen como aplicaciones de primer retorno de flujos lineales en superficies de traslación con cierto género g ≥ 1, generalizando las rotaciones en el círculo. El estudio de las propiedades ergódicas de intercambios de inter- valos y de ciertas dinámicas de suspensión correspondientes a flujos lineales en superficies de traslación y flujos en billares poligonales ha sido extenso en las últimas décadas. De particu- lar interés ha sido el estudio de valores propios de estos sistemas, ya sean vistos desde una perspectiva medible o topológica [NR97], [AF07], [FZ11], [AD16]. Desde el punto de vista de dinámica simbólica, estos sistemas poseen representaciones como sistemas minimales de Cantor de rango topológico finito, i.e., existe una extensión simbólica que puede representarse como un sistema de Bratteli-Vershik con un número de torres de Kakutani-Rohlin por nivel globalmente acotado. Con esta motivación, condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea valor propio, ya sea medible o topológico, han sido propuestas desde el trabajo pionero de B. Host [Hos86], en donde se prueba que todo valor propio medible asocia- do a un sistema dinámico proveniente de una substitución primitiva está siempre asociado a una función propia continua. Luego, condiciones necesarias y suficientes que caracterizan a los valores propios continuos y medibles en sistemas minimales de Cantor linealmente recurren- tes fueron explicitadas en [CDHM03] y en [BDM05], posteriormente extendidas en [BDM10] y [DFM15] al contexto de sistemas minimales de Cantor de rango finito. Es en esta última clase de sistemas en donde se centra el estudio de esta tesis. En la primera parte de este trabajo, proponemos una representación de Bratteli-Vershik para transformaciones de intercambios de intervalos construida a partir del algoritmo de Rauzy- Veech sobre la transformación original. Más generalmente, se propone una representación de Bratteli-Vershik de rango finito de shifts S -ádicos minimales. Estas representaciones son particularmente útiles para el estudio de valores propios de estos sistemas. Luego, exploramos como esta representación permite recuperar propiedades de mezcla débil en el caso de inter- cambios de tres intervalos. En un contexto más general, se propone parametrizar sistemas de Bratteli-Vershik por caminos infinitos dirigidos en un grafo dirigido finito, que llamare- mos grafo de renormalización. Con suficientes parámetros, las propiedades de mezcla sobre el shift actuando en el espacio de caminos dirigidos infinitos en este grafo permiten abstraer un resultado de mezcla débil topológica, inspirados en el trabajo de A. Nogueira y D. Rudolph [NR97]. Extendemos dicho resultado a la mezcla débil de estos sistemas, siguiendo las ideas de A. Avila y G. Forni [AF07]. Finalmente, ilustramos como estos resultados son suficientes para asegurar la mezcla débil en ciertas generalizaciones de sistemas de intercambios de intervalos, más concretamente, en ciertas involuciones lineales con una combinatoria específica. / CMM - Conicyt PIA AFB 170001