At the present, system identification through modulation functions has a wide range of methods. Many of them have reached maturity levels that surpass customary Kalmanfilter approaches for discrete-time identification. In this thesis, the modulation function technique is analyzed in view of its real-time capability, as well as the possible unification of the modulation function methods based on the frequency spectrum, and ability to deal with nonlinearities. Besides, to increase the rate of convergence, the optimal parameter estimation with constraints of Byrski et al. [BFN03] is applied on integrable and convolvable systems. Furthermore, the modulated white Gaussian noise influence on linear systems is examined. The proposed methods together with the Loab-Cahen modulation functions are compared in performance for linear and convolvable systems concerning three different inputs, three normalizations, identification parameters and computational cost. / Tesis

The optimal control in linear systems is a widely known problem that leads to the solution of one or two equations of Ricatti. However, in non-linear systems is required to obtain the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB) or variations, which consist of quadratic first order and partial differential equations, that are really difficult to solve. On the other hand, many non-linear dynamical systems can be represented as polynomial functions, where thanks to abstract algebra there are several techniques that facilitate the analysis and work with polynomials. This is where the sum-of-squares approach can be used as a sufficient condition to determine the positivity of a polynomial, a tool that is used in the search for suboptimal solutions of the HJB equation for the synthesis of a controller. The main objective of this thesis is the analysis, improvement and/or extension of an optimal control algorithm for polynomial systems by using the sum of squares approach (SOS). To do this, I will explain the theory and advantages of the sum-of-squares approach and then present a controller, which will serve as the basis for our proposal. Next, improvements will be added in its performance criteria and the scope of the controller will be extended, so that rational systems can be controlled. Finally an alternative will be presented for its implementation, when it is not possible to measure or estimate the state-space variables of the system. Additionally, some examples that validated the results are also presented. / Tesis

The optimal control in linear systems is a widely known problem that leads to the solution of one or two equations of Ricatti. However, in non-linear systems is required to obtain the solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB) or variations, which consist of quadratic first order and partial differential equations, that are really difficult to solve. On the other hand, many non-linear dynamical systems can be represented as polynomial functions, where thanks to abstract algebra there are several techniques that facilitate the analysis and work with polynomials. This is where the sum-of-squares approach can be used as a sufficient condition to determine the positivity of a polynomial, a tool that is used in the search for suboptimal solutions of the HJB equation for the synthesis of a controller. The main objective of this thesis is the analysis, improvement and/or extension of an optimal control algorithm for polynomial systems by using the sum of squares approach (SOS). To do this, I will explain the theory and advantages of the sum-of-squares approach and then present a controller, which will serve as the basis for our proposal. Next, improvements will be added in its performance criteria and the scope of the controller will be extended, so that rational systems can be controlled. Finally an alternative will be presented for its implementation, when it is not possible to measure or estimate the state-space variables of the system. Additionally, some examples that validated the results are also presented. / Tesis

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Resolver un sistema de ecuaciones lineales simult´aneas es un problema fundamental en el algebra lineal num´erica, y una de las etapas elementales en simulaciones cient´ıficas. Ejemplos son los problemas de ciencias e ingenier´ıa modelados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales, cuya soluci´on num´erica est´a basada en m´etodos de discretizaci´on que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Estos sistemas pueden ser resueltos de manera directa; sin embargo, cuando el orden del sistema es demasiado grande el costo computacional se incrementa. Ante esta situaci´on se emplean m´etodos iterativos, los cuales son m´as eficientes y tienen una menor demanda computacional (p.e: Jacobi, Gauss-Seidel, Gradiente Conjugado, etc.). En el presente trabajo se presenta un sistema digital basado en un procesador, un coprocesador y una memoria externa que desarrolla el m´etodo del Gradiente Conjugado. El sistema fue implementado en la arquitectura Spartan-6, la cual cuenta con un softprocessor de 32 bits llamado MicroBlaze y el FPGA propiamente dicho. MicroBlaze dirige el flujo del algoritmo, adem´as de desempe˜nar las operaciones m´as sencillas (sumas vectoriales, productos internos, divisiones, etc). En tanto, en el FPGA se implement´o un coprocesador, el cual fue descrito en VHDL, que se encarga de la operaci´on de mayor costo computacional: el producto Matriz - Vector. El procesador y el coprocesador se comunican mediante interfaces unidireccionales basadas en unidades FIFO llamadas Fast Simplex Link (FSL). Se emple´o el entorno EDK (Embedded Development Kit) de la empresa Xilinx, para configurar el procesador, los perif´ericos y el coprocesador; y se emple´o la plataforma Atlys de la empresa Digilent para implementar el sistema propuesto. La implementaci´on final es aproximadamente 2 veces m´as r´apida y tiene una eficiencia de 0.25, respecto de la implementaci´on de referencia que se desarroll ´o empleando solo el procesador. El orden que sigue la tesis es el siguiente: En el primer cap´ıtulo se presenta el contexto de la tesis y se define puntualmente el problema que se desea resolver. En el segundo cap´ıtulo se cubre la mayor´ıa de aspectos te´oricos necesarios. La arquitectura propuesta, y los detalles de los componentes del sistema se especifican en el cap´ıtulo tres. Por ´ultimo, se presentan los resultados en el cap´ıtulo cuatro, seguido de las conclusiones. / Tesis

The area of fractional calculus is more than three centuries old but applications have only appeared in the past few decades. Differential equations of non-integer order are known to represent certain physical processes in a more precise way than using the usual differential equations with integer order. Therefore, considering fractional calculus in the context of input- output systems can be beneficial. A useful representation of an input-output map in control theory is the Chen-Fliess functional series or Fliess operator. It can be viewed as a generalization of a Taylor series, and its algebraic nature is especially well suited for several important applications. In this thesis, a general solution for a fractional linear and bilinear time invariant system via formal power series methods and Fliess operators is presented. A mathematical model (that includes a differential equation) for an input-output linear and bilinear time invariant system is very well known, both the explicit solution and the one using formal power series. However, the question of how this system behaves when a fractional differential equation (where the derivative is of a non-integer order) has not been yet studied from the power series point of view. This thesis focuses on two specific kind of derivatives, one using Riemann-Liouville fractional derivatives and the other using Caputo fractional derivatives. / Tesis

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / Las transformaciones de intercambios de intervalos aparecen como aplicaciones de primer retorno de flujos lineales en superficies de traslación con cierto género g ≥ 1, generalizando las rotaciones en el círculo. El estudio de las propiedades ergódicas de intercambios de inter- valos y de ciertas dinámicas de suspensión correspondientes a flujos lineales en superficies de traslación y flujos en billares poligonales ha sido extenso en las últimas décadas. De particu- lar interés ha sido el estudio de valores propios de estos sistemas, ya sean vistos desde una perspectiva medible o topológica [NR97], [AF07], [FZ11], [AD16]. Desde el punto de vista de dinámica simbólica, estos sistemas poseen representaciones como sistemas minimales de Cantor de rango topológico finito, i.e., existe una extensión simbólica que puede representarse como un sistema de Bratteli-Vershik con un número de torres de Kakutani-Rohlin por nivel globalmente acotado. Con esta motivación, condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea valor propio, ya sea medible o topológico, han sido propuestas desde el trabajo pionero de B. Host [Hos86], en donde se prueba que todo valor propio medible asocia- do a un sistema dinámico proveniente de una substitución primitiva está siempre asociado a una función propia continua. Luego, condiciones necesarias y suficientes que caracterizan a los valores propios continuos y medibles en sistemas minimales de Cantor linealmente recurren- tes fueron explicitadas en [CDHM03] y en [BDM05], posteriormente extendidas en [BDM10] y [DFM15] al contexto de sistemas minimales de Cantor de rango finito. Es en esta última clase de sistemas en donde se centra el estudio de esta tesis. En la primera parte de este trabajo, proponemos una representación de Bratteli-Vershik para transformaciones de intercambios de intervalos construida a partir del algoritmo de Rauzy- Veech sobre la transformación original. Más generalmente, se propone una representación de Bratteli-Vershik de rango finito de shifts S -ádicos minimales. Estas representaciones son particularmente útiles para el estudio de valores propios de estos sistemas. Luego, exploramos como esta representación permite recuperar propiedades de mezcla débil en el caso de inter- cambios de tres intervalos. En un contexto más general, se propone parametrizar sistemas de Bratteli-Vershik por caminos infinitos dirigidos en un grafo dirigido finito, que llamare- mos grafo de renormalización. Con suficientes parámetros, las propiedades de mezcla sobre el shift actuando en el espacio de caminos dirigidos infinitos en este grafo permiten abstraer un resultado de mezcla débil topológica, inspirados en el trabajo de A. Nogueira y D. Rudolph [NR97]. Extendemos dicho resultado a la mezcla débil de estos sistemas, siguiendo las ideas de A. Avila y G. Forni [AF07]. Finalmente, ilustramos como estos resultados son suficientes para asegurar la mezcla débil en ciertas generalizaciones de sistemas de intercambios de intervalos, más concretamente, en ciertas involuciones lineales con una combinatoria específica. / CMM - Conicyt PIA AFB 170001

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En este trabajo se analizan la regularidad y estabilidad de los sistemas lineales con saltos markovianos (SLSM). Se asume que la cadena de Markov que gobierna estos sistemas es homogénea y que su espacio de estados es finito. Por su novedad, importancia teórica y utilidad práctica, estamos particularmente interesados en los sistemas singulares, es decir, en aquellos SLSM donde aparece una matriz singular en el lado izquierdo de la ecuación dinámica. Si esta matriz no aparece, el sistema se conoce como no singular. Varios conceptos de estabilidad estocástica son introducidos en el capítulo 1. Se prueba que ellos son equivalentes y se establecen resultados algebraicos implementables computacionalmente que permiten determinar la estabilidad de un SLSM no singular. El capítulo 2 está dedicado a los sistemas singulares. La mayoría de los resultados obtenidos en el capítulo 1 son extendidos aquí. Vale la pena mencionar que esta extensión no es trivial, pues la singularidad representa una valla técnica que es muy difícil de superar. La estabilidad casi segura, que es la noción más importante de estabilidad desde el punto de vista práctico, es analizada en el capítulo 3 para sistemas SLSM singulares. Con el propósito de hacer este trabajo auto contenido, se ha añadido un anexo al final de la tesis. / Tesis

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En 1992 M. Boshernitzan [6] presenta una condición suficiente para que los subshifts minimales sean únicamente ergódicos. Usando el concepto de factores simbólicos extendemos esta condición a sistemas minimales de Cantor. Decimos que un sistema minimal de Cantor satisface la condición de Boshernitzan si todos sus factores simbólicos satisfacen la condición de Boshernitzan. Esta extensión resulta natural en cuanto todo sistema minimal de Cantor es topologicamente conjugado al límite inverso de ciertas secuencias factorizantes de factores símbolicos. Demostramos que la condición de Boshernitzan implica única ergodicidad para sistemas minimales de Cantor. También mostramos que esta condición puede ser verificada analizando cualquier representación de Bratteli-Vershik de un sistema minimal de Cantor dado. Luego tiene sentido buscar condiciones sobre los diagramas de Bratteli asociados a un sistema minimal de Cantor que sean necesarias y/o suficientes para que tal sistema satisfaga la condición de Boshernitzan. Presentamos varias de estas condiciones. Las más generales están relacionadas con el comportamiento asintótico de los vectores de altura y los vectores de medida de las representaciones de Bratteli-Vershik. Estas condiciones son luego reduci- das, sacrificando un poco de generalidad, a condiciones concernientes a la repetición de un bloque de matrices positivas dado en una cantidad infinita de niveles de los diagramas. En todos los casos se considera una hipótesis de estandarización sobre el orden de los diagramas. Se explora el alcance y las limitaciones de los criterios presentados a través del estudio de ejemplos específicos. Se observa que la combinatoria de los sistemas influye de gran manera en el cumplimiento de la condición de Boshernitzan. In 1992 M. Boshernitzan [6] provided a sufficient condition for minimal subshifts to be uniquely ergodic. By using the concept of symbolic factors we extend this condition to Cantor minimal systems. We say a Cantor minimal systems satisfies Boshernitzan s condition if all of its symbolic factors satisfy Boshernitzan s condition. This extension seems natural given the fact that every Cantor minimal system is topologically conjugate to the inverse limit of certain factoring sequences of symbolic factors. We prove that Boshernitzan s condition implies unique ergodicity for Cantor minimal systems. We also show that this con- dition can be verified by analyzing any particular Bratteli-Vershik representation of a given a Cantor minimal system. It then makes sense to look for diagram related necessary and/or sufficient condition for Cantor minimal systems to satisfy Boshernitzan s condition. We pro- vide several of these conditions. The more general ones relate to the asymptotic behaviour of the height vectors and measure vectors of the Bratteli Vershik representations. These con- ditions are then reduced, sacrificing some generality, to conditions concerning the repetition of a given block of positive matrices at inifinitely many levels of the diagrams. In all cases a standardization hypothesis on the order of the diagrams is made. We explore the scope and limitations of the criteria provided by studying specific examples. The combinatorics of the systems is seen to greatly influence the achievement of Boshernitzan s condition.