Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se estudia la convergencia al equilibrio de los procesos estocásticos pertenecientes a la clase Incremento Aditivo Decremento Multiplicativo (AIMD, por sus siglas en inglés), enmarcada en el contexto de los procesos de Markov deterministas por pedazos, introducidos por M.H.A. Davis en 1984. En primer lugar se estudian los tiempos de entrada y salida de compactos de la forma [0,x_0], primero para el caso con intensidad constante y luego en el caso general. Luego, mediante la construcción de un coupling específico, se usan estos resultados para establecer la recurrencia de cierto compacto, el que depende los datos del problema. También se prueba que el tiempo de entrada a este compacto tiene momento exponencial finito de algún orden. Como consecuencia, se establece la existencia de una medida invariante y se obtiene una tasa explícita de convergencia exponencial al equilibrio. Por último, se aplica el Teorema probado al caso del proceso TCP y se compara con las tasas exhibidas por Bardet et. al en 2011.

Ingeniero Civil Matemático / n la presente memoria se estudian las distribuciones cuasi-estacionarias (q.s.d.) de un proceso \hat{Y} de nacimiento y muerte a tiempo continuo. Este proceso es absorbido al alcanzar una cantidad determinada de individuos, los cuales están caracterizados por rasgos fenotípicos, representados por elementos de un espacio métrico compacto. Cada uno de tales individuos puede morir o generar un nuevo individuo el cual puede poseer el mismo rasgo que su padre o mutar a uno de forma aleatoria. Las tasas del proceso pueden depender de la configuración de la población presente, la cual asumimos que se extingue casi-seguramente. Para el estudio de las distribuciones cuasi estacionarias de \hat{Y} se busca la existencia de una función acotada correspondiente a un vector propio por la derecha del semigrupo de transición \{\hat{P}_t\}_{t\geq0} del proceso, pues se prueba que en tal caso existe una única q.s.d., la cual es absolutamente continua respecto a una medida de referencia \mu. La función antes mencionada es obtenida a partir del límite débil de vectores propios por la derecha para aproximaciones de \{\hat{P}_t\}_{t\geq0}, bajo el único supuesto de que estas funciones son uniformemente acotadas. Además, para tales aproximaciones se prueba la existencia de vectores propios por la izquierda, los cuales corresponden a medidas de probabilidad que bajo el supuesto anterior convergen débilmente a la única distribución cuasi-estacionaria de \hat{Y}. Se estudia finalmente un proceso Y correspondiente a la versión no absorbida de \hat{Y}, para el cual se prueban los mismos resultados bajo el supuesto adicional de que infinito se comporta como un estado de entrada.

La presente investigación tiene como objetivos presentar los departamentos o gobiernos regionales con mayor probabilidad de ser visitados por un turista, nacional o internacional, y brindar las rutas con el menor recorrido entre dichos departamentos. La base teórica del estudio realizado está comprendida primordialmente por lo temas de Cadenas de Markov y Diseño de Rutas, con estos temas se puede dar la aplicación a la investigación realizada, además se ha desarrollado los temas de Vectores y Muestreo Estadístico que sirven de apoyo para la aplicación de los primeros temas mencionados. El estudio del sector turístico tiene como finalidad brindar una imagen de cómo se encuentra actualmente y cómo ha venido mejorando este sector, con lo cual, se puede observar que su aporte ha sido cada vez mayor para nuestro país, por lo que deja claro por qué el interés en desarrollar esta investigación relacionada al turismo. La aplicación de las Cadenas de Markov a los recorridos turísticos se evidencia al formular los modelos o matrices para cada macro-región (norte, centro y sur) y a nivel nacional, los que al desarrollarlos, brindan las probabilidades de llegada de los turistas a los distintos departamentos. La obtención de datos se realizó en base a encuestas a turistas, internos o externos, e información dada por agencias de viaje y turismo. Para el diseño de rutas se utiliza el Método o Algoritmo “De Ahorros”, para lo cual sólo se usan los departamentos con mayor probabilidad y se detallan las diferentes rutas que se puedan realizar, siempre teniendo en cuenta que el recorrido sea mínimo. Finalmente, con los resultados obtenidos se observa que la principal ruta a nivel nacional con menor recorrido es: Lima – Arequipa – Puno – Cuzco – Ica – Lima, además se tienen las diferentes rutas que se desprenden de ésta, y las rutas por cada macro-región (norte, centro y sur). / Tesis

El proceso de contacto en un tipo de proceso de Markov en tiempo continuo para el cual el espacio de estados, también llamados configuraciones, es X = {0, 1} Z d y en el cual cada coordenada de una configuración del proceso pasa de 1 a 0 a una tasa constante igual a 1, y el paso de 0 a 1 es proporcional a la cantidad de unos en las coordenadas vecinas, siendo λ la constante de proporcionalidad que parametriza el modelo. En este trabajo se muestra que el proceso de contacto puede ser construido formalmente a partir de la descripción anterior de las tasas de transición entre las configuraciones, mostrando además que existe un único proceso de Markov definido por tales tasas. Se utilizaron algunas técnicas básicas para el estudio de sistemas de partículas en interacción (monotonicidad, acoplamiento, dualidad) que permitieron demostrar algunas propiedades del proceso de contacto, como la autodualidad y la monotonía de la ergodicidad con respecto al parámetro del proceso. El resultado principal es mostrar que en una dimensión (d = 1) existe un parámetro crítico finito (λc) que determina un cambio de fase para la ergodicidad del proceso, siendo ergódico si λ < λc y que existen al menos dos medidas invariantes para el proceso si λ > λc. Este resultado se generaliza para el proceso en d dimensiones, mostrando que el parámetro crítico λd está acotado por 1/ 2d ≤ λd ≤ 2/d . / Tesis

Debido al ambiente competitivo en las industrias peruanas del sector consumo masivo, es de gran interés poder determinar las preferencias de los consumidores para poder estimar de manera más eficiente sus necesidades. Es en este punto importante el uso de las Herramientas Estocásticas para el desarrollo de predicciones a largo plazo, evaluar posibles estados de movimiento entre marcas y determinar factores claves en el proceso de elección del consumidor. Este análisis se hace posible mediante el uso de modelos Estocásticos, pues se basan en Probabilidades, útiles al estimar las decisiones de los potenciales clientes. Este documento tiene como objetivo desarrollar a fondo y presentar los modelos ocultos markovianos, con la finalidad de orientar el análisis hacia los Procesos Estocásticos de tiempo discreto, que son las Cadenas de Markov, con la evidencia del supuesto de la optimización del análisis a través del reconocimiento de Estados Ocultos, difíciles de definir y que en los modelos markovianos ocultos, son el pilar para obtener los resultados deseados. Se tocarán temas relacionados y se explicarán los conceptos necesarios para poder entender las Cadenas Ocultas de Markov y su aplicación directa al sector consumo masivo. Finalmente, se demostrará su directa aplicación al tema de preferencias y los aportes para futuros estudios relacionados. En cuanto a la aplicación al tema de preferencias de los consumidores, especialmente en el mercado cervecero, cada vez cambiante, se eligieron las principales dos variables críticas que afectan de manera determinante y que además alimentan la situación de incertidumbre por la que una modelación matemática - estocástica es una de las soluciones más convenientes. Estas dos variables son: el Volumen de Ventas de cada empresa (de manera estimada) y las Transiciones entre marcas representativas por empresa. Para esas dos variables entonces, nuestro análisis tratará de poner a prueba al Modelamiento Clásico de Markov contra el Modelamiento Oculto. / Tesis

El proceso de contacto en un tipo de proceso de Markov en tiempo continuo para el cual el espacio de estados, también llamados configuraciones, es X = {0, 1} Z d y en el cual cada coordenada de una configuración del proceso pasa de 1 a 0 a una tasa constante igual a 1, y el paso de 0 a 1 es proporcional a la cantidad de unos en las coordenadas vecinas, siendo λ la constante de proporcionalidad que parametriza el modelo. En este trabajo se muestra que el proceso de contacto puede ser construido formalmente a partir de la descripción anterior de las tasas de transición entre las configuraciones, mostrando además que existe un único proceso de Markov definido por tales tasas. Se utilizaron algunas técnicas básicas para el estudio de sistemas de partículas en interacción (monotonicidad, acoplamiento, dualidad) que permitieron demostrar algunas propiedades del proceso de contacto, como la autodualidad y la monotonía de la ergodicidad con respecto al parámetro del proceso. El resultado principal es mostrar que en una dimensión (d = 1) existe un parámetro crítico finito (λc) que determina un cambio de fase para la ergodicidad del proceso, siendo ergódico si λ < λc y que existen al menos dos medidas invariantes para el proceso si λ > λc. Este resultado se generaliza para el proceso en d dimensiones, mostrando que el parámetro crítico λd está acotado por 1/ 2d ≤ λd ≤ 2/d . / Tesis

Las Cadenas de Markov son sucesiones de variables aleatorias que permiten evaluar la probabilidad con la que un estado actual puede alcanzar uno inmediatamente posterior. Se ha utilizado en diversas aplicaciones como predicciones de escenarios económicos, patrones de compra, estimación de indicadores, administración de inventarios, proyecciones demográficas, pronósticos de votación, etc. En el presente trabajo se mostrarán aplicaciones no convencionales de Cadenas de Markov, las cuales han sido orientadas a disciplinas artísticas, con la finalidad de desmitificar la aparente incompatibilidad entre las matemáticas y las artes. Entre las mencionadas aplicaciones se encuentran dos composiciones musicales contemporáneas, creadas utilizando como referencia la obra musical de una banda predeterminada. Dichas composiciones obtenidas guardan notoria relación con el estilo musical de la banda referencial. Los archivos de audio se encuentran adjuntos al presente documento. Del mismo modo, se muestran poesías y textos generados con esta aplicación matemática y que guardan relación con el estilo literario de escritores tomados como referencia. Finalmente se mostrarán aplicaciones de las Cadenas de Markov para la Generación de Imágenes y Videos a través de sistemas generativos, disciplina denominada “Arte Procesual-Aleatorio”. / Tesis

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En el presente trabajo se busca extender un resultado del tipo ley de grandes números para la medida empírica reescalada asociada a un modelo estocástico basado en agentes, previamente introducido en la literatura, a una clase de modelo más general. Específicamente la extensión considerada toma en cuenta dos nuevos mecanismos de evolución aparte de los ya considerados anteriormente. De esta forma los agentes, quienes están caracterizados por su tipo, aleatoriamente pueden interactuar, cambiar su tipo, morir y producir nuevos agentes. Se comienza construyendo el proceso de medida empírica a partir de su generador infinitesimal, lo cual permite obtener un proceso de Markov con saltos a valores en medidas. Posteriormente se obtienen algunas propiedades sobre él, en particular, se obtiene una representación trayectorial del proceso mediante medidas puntuales de Poisson. Esta representación trayectorial permite obtener una propiedad de martingala asociada, la cual nos entrega una idea sobre cómo luce cierto sistema de ecuaciones que debería satisfacer la medida límite. Una vez hecho esto se procede de acuerdo a un esquema clásico para probar este tipo de resultados. Se comienza probando que el sistema propuesto tiene una única solución, luego se muestra que la secuencia de leyes asociada a la secuencia de procesos de medidas empíricas reescaladas es una familia tensa de medidas, para posteriormente probar que cada punto límite de las leyes satisface el sistema. Como consecuencia, gracias a la unicidad de este último, se concluye la convergencia en distribución, al tomar límite en el reescalamiento, del proceso de medida empírica reescalada a un proceso determinista solución del sistema. Por último se muestran aplicaciones del resultado obtenido sobre tres modelos propuestos y se concluye discutiendo la posibilidad de tener un teorema central del límite para este tipo de modelo.

La música es una de las actividades de ocio más solicitadas por las personas debido a la gran capacidad de entretenimiento que posee. Es más, hoy en día la Industria del entretenimiento es una de las que más dinero genera a nivel mundial. Es por ello, que muchas empresas intentan ofrecer sistemas innovadores que llamen la atención de las personas. Una de estas actividades es la composición musical. Cualitativamente, el éxito de una composición se puede medir de acuerdo a la sensibilidad que produce, la atracción e interés que puede tener de las personas. En base a esta idea, los modelos matemáticos aleatorios proporcionan herramientas que simulan este comportamiento. Hoy en día, las computadoras se han convertido en el principal dispositivo para realizar actividades musicales debido a la evolución que han tenido en sus aplicaciones de multimedia y su alta capacidad de procesamiento. El presente trabajo explica una forma de realizar una composición musical de manera automática (es decir sin la intervención de las personas) a través de una computadora apoyándose en el uso de las Cadenas de Markov, que son métodos aleatorios utilizados para analizar el comportamiento de varias actividades que ocurren en la vida cotidiana, en este caso en lo relacionado a generación de música. / Tesis

Ingeniera Civil Matemática / Esta memoria se centra en el estudio de seguros contra terremotos, pretendiendo generar nuevas herramientas que permitan sentar las bases de primas calculadas con fundamentos científicos. Se utilizaron tanto, modelos de Sismología y Finanzas, como resultados de Teoría de Probabilidades y Procesos Estocásticos. Se subraya que este es un primer estudio sobre el tema, que describe las variables en juego y un modelo que las relaciona, pero que aún no refleja completamente la complejidad que se presenta en una situación real. Primero se describen los modelos de finanzas convencionales para seguros. Además se utilizan conceptos de Sismología con el fin de estudiar la distribución de probabilidad de las reclamaciones para el caso de terremotos, acentuando los distintos niveles de aleatoriedad involucrados. Se creó un modelo que describe el proceso de riesgo que enfrenta una compañía aseguradora cuando considera este tipo de fenómenos. Luego, mediante el uso de Procesos de Markov Deterministas por Pedazos y resultados de Teoría de Renovación, se logró calcular el valor de la prima neta en este modelo. Además, se determinó una prima tal que el balance de la aseguradora sea una martingala. Para considerar en este estudio la presencia de compañías reaseguradoras se describe un Mercado de Reaseguros Proporcionales. Se dan las condiciones necesarias en la fijación de precios para que no existan posibilidades de arbitraje en el mercado. Tales condiciones traen consigo la búsqueda de una medida martingala equivalente de probabilidad, bajo la cual el proceso de riesgos de un seguro sea una martingala. Sujeto al contrato preexistente entre clientes y aseguradora se busca tal medida dentro de un conjunto de medidas martingalas equivalentes específico y, para dos ejemplos, se calcula el precio de un reaseguro de exceso de pérdida bajo estas condiciones. Por último, como complemento a los cálculos anteriores, se consideran dos formas alternativas de cálculo de primas, diferenciándolas según el momento en que ingresa un cliente y toma el seguro en la compañía.