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Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis está consagrada al estudio de diferentes problemas en teoría ergódica y dinámica topológica, relacionados a "estructuras de cubos". Consta de seis capítulos. En la presentación general entregamos resultados generales, ligados en cierta manera a las estructuras de cubos que motivan esta tesis. Comenzamos por las estructuras de cubos introducidas en teoría ergódica por Host y Kra para probar la convergencia en L^2 de medias ergódicas múltiples. Luego presentamos su extensión a dinámica topológica, desarrollada por Host, Kra y Maass (2010), que entrega herramientas para entender la estructura topológica de sistemas dinámicos topológicos. Finalmente, mostramos las implicancias y extensiones principales derivadas de estudiar estas estructuras, motivamos los nuevos objetos introducidos en esta tesis y bosquejamos nuestras contribuciones. En el Capítulo 1, entregamos antecedes generales en teoría ergódica y dinámica topológica, dando énfasis al estudio de ciertos factores especiales. Desde el Capítulo 2 al Capítulo 5 desarrollamos las contribuciones de esta tesis. Cada uno está consagrado a un tópico diferente y a sus problemáticas relacionadas, tanto en teoría ergódica como en dinámica topológica. Cada uno está asociado a un artículo científico. En el Capítulo 2 introducimos una nueva estructura de cubos para estudiar la acción de dos transformaciones S y T que conmutan, sobre un espacio métrico compacto X. En el mismo capítulo estudiamos las propiedades topológicas y dinámicas de tales estructuras y las usamos para caracterizar productos de sistemas y sus factores. También damos algunas aplicaciones, como la construcción de factores especiales. En el mismo tema, en el Capítulo 3 usamos esta nueva estructura para probar la convergencia casi segura de una media cúbica en un sistema con dos transformaciones que conmutan. En el Capítulo 4, estudiamos el semigrupo envolvente de una clase importante de sistemas dinámicos, los nilsistemas. Usamos estructuras de cubos para mostrar relaciones entre propiedades algebraicas del semigrupo envolvente con la geometría y dinámica de un sistema. En particular, caracterizamos nilsistemas de orden 2 vía el semigrupo envolvente. En el Capítulo 5 estudiamos grupos de automorfismos de sistemas simbólicos uno y dos dimensionales. Primero consideramos sistemas simbólicos de baja complejidad y usamos factores especiales, algunos ligados a estructuras de cubos, para estudiar el grupo de automorfismos. Nuestro resultado principal establece que en sistemas minimales de complejidad sublineal, tales grupos son generados por el shift y un conjunto finito. También, usando factores asociados a las estructuras de cubos del Capítulo 2, estudiamos el grupo de automorfismos de un sistema de embaldosados representativo. Las referencias bibliográficas aparecen al final del documento.

La presente tesis basa su contenido en temas de dinámica compleja, tiene como primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C. Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topológico de un germen del tipo parabólico. Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al lector y poder así de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en material de consulta y aplicación en otras áreas de la matemática. / Tesis

El presente trabajo de memoria tiene por objetivo principal el estudio de propiedades topológicas de la clase de sistemas dinámicos llamados nilsistemas. Esta clase de sistemas dinámicos ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra en [25] de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y se han desarrollado herramientas ergódicas en otras áreas de las matemáticas, como en Combinatoria Aditiva. En su artículo Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado en dos artículos recientes de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, en donde demuestran que cada sistema dinámico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden. En esta memoria, se estudian algunas propiedades topológicas adicionales de los nilsistemas, en particular propiedades de mezcla y estabilización de esos factores. La complejidad asociada a un cubrimiento abierto finito en un sistema dinámico comenzó a ser estudiada en [4] en donde se muestra que esa cantidad goza de propiedades que permiten caracterizar sistemas dinámicos. Una de las motivaciones de la presente memoria es indagar qué otros tipos de conclusiones pueden ser obtenidas estudiando esta cantidad. Una pregunta interesante es qué clase de sistemas tiene complejidad polinomial. En particular, se estudia la complejidad de los nilsistemas y se concluye que esta es polinomial en cada cubrimiento abierto donde el grado del polinomio es una constante del sistema. En el Capítulo 1 se introduce el tema de memoria, el contexto histórico matemático que la motiva y las preguntas relevantes que se desarrollan a lo largo del texto. En el Capítulo 2 se introducen las nociones básicas de Dinámica Topológica y Teoría Ergódica y también las definiciones y resultados recientes relacionados con la teoría de nilsistemas. En el Capítulo 3, se estudia la complejidad topológica de los nilsistemas y de sus límites inversos y se logra demostrar que ésta es polinomial en cada cubrimiento abierto. En el Capítulo 4 se desarrollan algunas propiedades topológicas sobre nilsistemas, las cuales fueron obtenidas en [10] en un artículo en colaboración. Se demuestra un criterio de débil mezcla utilizando los cubos dinámicos y se prueba que la secuencia de nilfactores de un sistema dinámico o es estrictamente creciente o se estabiliza en un cierto nivel. Se estudia además la relación entre recurrencia con estructura IP con el límite inverso de los nilfactores topológicos. Se muestra que un sistema sin recurrencia estructurada IP es una extensión casi uno a uno del límite inverso de sus nilfactores. Finalmente, en el Anexo se adjunta el artículo Infinite-step nilsystems, independence and complexity, dentro del cual se inserta el trabajo realizado en esta memoria.

La presente tesis basa su contenido en temas de dinámica compleja, tiene como primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C. Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topológico de un germen del tipo parabólico. Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al lector y poder así de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en material de consulta y aplicación en otras áreas de la matemática. / Tesis

En este trabajo desarrollaremos dos aspectos de Dinámica: El primero que trata sobre la dinámica de funciones que van de un intervalo en si mismo, introduciremos las cadenas de Markov y algunos resultados previos para alcanzar al final el teorema de Sharkovsky demostrado con grafos, el cual lo haremos en la primera parte de este trabajo. La segunda parte de este trabajo tratará sobre la teoría ergódica, nos enfocaremos en dos de los teoremas fundamentales que son el teorema de recurrencia de Poincaré y el teorema de Birkhoff. / Tesis

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En 1992 M. Boshernitzan [6] presenta una condición suficiente para que los subshifts minimales sean únicamente ergódicos. Usando el concepto de factores simbólicos extendemos esta condición a sistemas minimales de Cantor. Decimos que un sistema minimal de Cantor satisface la condición de Boshernitzan si todos sus factores simbólicos satisfacen la condición de Boshernitzan. Esta extensión resulta natural en cuanto todo sistema minimal de Cantor es topologicamente conjugado al límite inverso de ciertas secuencias factorizantes de factores símbolicos. Demostramos que la condición de Boshernitzan implica única ergodicidad para sistemas minimales de Cantor. También mostramos que esta condición puede ser verificada analizando cualquier representación de Bratteli-Vershik de un sistema minimal de Cantor dado. Luego tiene sentido buscar condiciones sobre los diagramas de Bratteli asociados a un sistema minimal de Cantor que sean necesarias y/o suficientes para que tal sistema satisfaga la condición de Boshernitzan. Presentamos varias de estas condiciones. Las más generales están relacionadas con el comportamiento asintótico de los vectores de altura y los vectores de medida de las representaciones de Bratteli-Vershik. Estas condiciones son luego reduci- das, sacrificando un poco de generalidad, a condiciones concernientes a la repetición de un bloque de matrices positivas dado en una cantidad infinita de niveles de los diagramas. En todos los casos se considera una hipótesis de estandarización sobre el orden de los diagramas. Se explora el alcance y las limitaciones de los criterios presentados a través del estudio de ejemplos específicos. Se observa que la combinatoria de los sistemas influye de gran manera en el cumplimiento de la condición de Boshernitzan. In 1992 M. Boshernitzan [6] provided a sufficient condition for minimal subshifts to be uniquely ergodic. By using the concept of symbolic factors we extend this condition to Cantor minimal systems. We say a Cantor minimal systems satisfies Boshernitzan s condition if all of its symbolic factors satisfy Boshernitzan s condition. This extension seems natural given the fact that every Cantor minimal system is topologically conjugate to the inverse limit of certain factoring sequences of symbolic factors. We prove that Boshernitzan s condition implies unique ergodicity for Cantor minimal systems. We also show that this con- dition can be verified by analyzing any particular Bratteli-Vershik representation of a given a Cantor minimal system. It then makes sense to look for diagram related necessary and/or sufficient condition for Cantor minimal systems to satisfy Boshernitzan s condition. We pro- vide several of these conditions. The more general ones relate to the asymptotic behaviour of the height vectors and measure vectors of the Bratteli Vershik representations. These con- ditions are then reduced, sacrificing some generality, to conditions concerning the repetition of a given block of positive matrices at inifinitely many levels of the diagrams. In all cases a standardization hypothesis on the order of the diagrams is made. We explore the scope and limitations of the criteria provided by studying specific examples. The combinatorics of the systems is seen to greatly influence the achievement of Boshernitzan s condition.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene por objetivo principal el estudio de nilsistemas que aparecen como factores -los nilfactores- de sistemas dinámicos que se obtienen como extensiones por cociclo de una rotación minimal. El estudio de nilsistemas y nilfactores ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra, en 2005, de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y que han inspirado otras áreas de las matemáticas, como la Combinatoria Aditiva. En su artículo, Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado a partir de dos artículos: de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, donde se muestra que cada sistema dinamico topológico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden y que se obtienen a partir de la relación denominada de proximalidad regional de orden d, d>=1. Dada la falta de cálculos explícitos de estos nilfactores para sistemas no triviales, en la presente memoria se estudian estos objetos en una familia de sistemas dinámicos bien estudiada. Durante esta investigación, se encuentra un objeto introducido por G. Atkinson en 1978 para extensiones por cociclos en grupos abelianos localmente compactos, llamado rango esencial, el cual entre otras cosas, caracteriza los sistemas topológicamente ergódicos. Se observa una gran similitud entre una caracterización del rango esencial, dada por M. Lemańczyk y M. Mentzen en 2002, y la forma en que los llamados paralelepípedos dinámicos caracterizan la relación de proximalidad regional de orden d, mostrando que una adecuada generalización da buenas herramientas para el cálculo de los nilfactores maximales. Se define entonces el rango esencial de orden d de una extensión por cociclo, mostrando su estrecha conexión con la relación de proximalidad regional de orden d-1, a través de la cual se obtienen los nilfactores maximales. El rango esencial de orden d resulta tener buenas propiedades que simplifican el estudio de los nilfactores en nuestro contexto. Se muestra que los nilfactores de extensiones por cociclo de una rotación minimal son también extensiones por cociclos de la misma rotación, o simplemente la rotación. En el caso del nilfactor maximal de orden 1, i.e., el factor equicontinuo maximal, se muestra que sólo hay dos alternativas, éste es el sistema en si mismo -si el cociclo es linealizable y de grado nulo- o la rotación base -en otro caso. Además se muestra que los nilfactores de estos sistemas necesariamente se estabilizan y se conjetura que tal estabilización es de orden 2. Como resultado parcial en esta dirección, se muestra que en el caso linealizable, el sistema es siempre un nilsistema básico de orden 2. El estudio del caso no linealizable permitiría concluir sobre la veracidad de tal conjetura. El concepto de rango esencial de orden d introducido en el presente trabajo puede extenderse a un contexto más general, como es el caso del rango esencial introducido por Atkinson, quedando abierto el estudio de este objeto como herramienta para el cálculo de nilfactores en sistemas más generales.

The purpose of this paper is to introduce and discuss the concept of gα-compactness for topological spaces. An example is considered to show that it is strictly stronger than that of compactness.

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