El presente trabajo de memoria tiene por objetivo principal el estudio de propiedades topológicas de la clase de sistemas dinámicos llamados nilsistemas. Esta clase de sistemas dinámicos ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra en [25] de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y se han desarrollado herramientas ergódicas en otras áreas de las matemáticas, como en Combinatoria Aditiva. En su artículo Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado en dos artículos recientes de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, en donde demuestran que cada sistema dinámico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden. En esta memoria, se estudian algunas propiedades topológicas adicionales de los nilsistemas, en particular propiedades de mezcla y estabilización de esos factores. La complejidad asociada a un cubrimiento abierto finito en un sistema dinámico comenzó a ser estudiada en [4] en donde se muestra que esa cantidad goza de propiedades que permiten caracterizar sistemas dinámicos. Una de las motivaciones de la presente memoria es indagar qué otros tipos de conclusiones pueden ser obtenidas estudiando esta cantidad. Una pregunta interesante es qué clase de sistemas tiene complejidad polinomial. En particular, se estudia la complejidad de los nilsistemas y se concluye que esta es polinomial en cada cubrimiento abierto donde el grado del polinomio es una constante del sistema. En el Capítulo 1 se introduce el tema de memoria, el contexto histórico matemático que la motiva y las preguntas relevantes que se desarrollan a lo largo del texto. En el Capítulo 2 se introducen las nociones básicas de Dinámica Topológica y Teoría Ergódica y también las definiciones y resultados recientes relacionados con la teoría de nilsistemas. En el Capítulo 3, se estudia la complejidad topológica de los nilsistemas y de sus límites inversos y se logra demostrar que ésta es polinomial en cada cubrimiento abierto. En el Capítulo 4 se desarrollan algunas propiedades topológicas sobre nilsistemas, las cuales fueron obtenidas en [10] en un artículo en colaboración. Se demuestra un criterio de débil mezcla utilizando los cubos dinámicos y se prueba que la secuencia de nilfactores de un sistema dinámico o es estrictamente creciente o se estabiliza en un cierto nivel. Se estudia además la relación entre recurrencia con estructura IP con el límite inverso de los nilfactores topológicos. Se muestra que un sistema sin recurrencia estructurada IP es una extensión casi uno a uno del límite inverso de sus nilfactores. Finalmente, en el Anexo se adjunta el artículo Infinite-step nilsystems, independence and complexity, dentro del cual se inserta el trabajo realizado en esta memoria.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene por objetivo principal el estudio de nilsistemas que aparecen como factores -los nilfactores- de sistemas dinámicos que se obtienen como extensiones por cociclo de una rotación minimal. El estudio de nilsistemas y nilfactores ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra, en 2005, de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y que han inspirado otras áreas de las matemáticas, como la Combinatoria Aditiva. En su artículo, Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado a partir de dos artículos: de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, donde se muestra que cada sistema dinamico topológico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden y que se obtienen a partir de la relación denominada de proximalidad regional de orden d, d>=1. Dada la falta de cálculos explícitos de estos nilfactores para sistemas no triviales, en la presente memoria se estudian estos objetos en una familia de sistemas dinámicos bien estudiada. Durante esta investigación, se encuentra un objeto introducido por G. Atkinson en 1978 para extensiones por cociclos en grupos abelianos localmente compactos, llamado rango esencial, el cual entre otras cosas, caracteriza los sistemas topológicamente ergódicos. Se observa una gran similitud entre una caracterización del rango esencial, dada por M. Lemańczyk y M. Mentzen en 2002, y la forma en que los llamados paralelepípedos dinámicos caracterizan la relación de proximalidad regional de orden d, mostrando que una adecuada generalización da buenas herramientas para el cálculo de los nilfactores maximales. Se define entonces el rango esencial de orden d de una extensión por cociclo, mostrando su estrecha conexión con la relación de proximalidad regional de orden d-1, a través de la cual se obtienen los nilfactores maximales. El rango esencial de orden d resulta tener buenas propiedades que simplifican el estudio de los nilfactores en nuestro contexto. Se muestra que los nilfactores de extensiones por cociclo de una rotación minimal son también extensiones por cociclos de la misma rotación, o simplemente la rotación. En el caso del nilfactor maximal de orden 1, i.e., el factor equicontinuo maximal, se muestra que sólo hay dos alternativas, éste es el sistema en si mismo -si el cociclo es linealizable y de grado nulo- o la rotación base -en otro caso. Además se muestra que los nilfactores de estos sistemas necesariamente se estabilizan y se conjetura que tal estabilización es de orden 2. Como resultado parcial en esta dirección, se muestra que en el caso linealizable, el sistema es siempre un nilsistema básico de orden 2. El estudio del caso no linealizable permitiría concluir sobre la veracidad de tal conjetura. El concepto de rango esencial de orden d introducido en el presente trabajo puede extenderse a un contexto más general, como es el caso del rango esencial introducido por Atkinson, quedando abierto el estudio de este objeto como herramienta para el cálculo de nilfactores en sistemas más generales.