Neste trabalho nós investigamos o modelo de Bose-Hubbard de dois sítios atrativo sob o ponto de vista do ansatz de Bethe. Este modelo descreve o tunelamento Josephson entre dois condensados de Bose-Einstein. Nós iniciamos estabelecendo a integrabilidade do modelo através da álgebra de Yang-Baxter. Usando uma análise clássica nós obtemos o diagrama de parâmetros do sistema. Nós estudamos então as transições de fase quânticas do modelo usando os conceitos de gap de energia, emaranhamento e fidelidade. Nós encontramos que o ponto crítico obtido utilizando estes conceitos coincide com o ponto fixo de bifurcação obtido na análise clássica. Além disso, nós mostramos que este ponto crítico também pode ser identificado através de uma mudança no comportamento das soluções das equações do ansatz de Bethe do modelo para o estado fundamental. / In this work we investigate the attractive two-site Bose Hubbard model from a Bethe ansatz perspective. This model describes Josephson tunneling between two Bose-Einstein condensates. We begin by establishing the integrability of the model through the Yang- Baxter algebra. Using a classical analysis we obtain the phase space xed points of the system. Then we study the quantum phase transitions of the model using the concepts of energy gap, entanglement entropy and the delity. We nd that the critical point obtained using these concepts coincides with the bifurcation point obtained in the classical analysis. Moreover, we also show that this critical point can be also identi ed through a di erent behaviour of the ground-state solutions of the Bethe ansatz equations.

Investigamos nesta tese dois modelos integráveis para condensados de Bose-Einstein. Come¸camos com um modelo simples que descreve o tunelamento Josephson entre dois condensados de Bose-Einstein. Alguns aspectos matemáticos deste modelo tais como sua solução exata através do método algébrico do ansatz de Bethe são discutidos. Usando uma análise clássica, estudamos as equações de movimento e as curvas de nível do hamiltoniano. Finalmente, a dinâmica quântica do modelo é investigada usando diagonalização exata do hamiltoniano. Em ambas análises, a existência de um limiar de acoplamento entre uma fase não localizada e uma fase de auto-aprisionamento é evidente, em concordância qualitativa com os experimentos. Consideramos subsequentemente um modelo para um condensado de Bose-Einstein atômico-molecular. Por meio da álgebra de Yang-Baxter e do método algébrico do ansatz de Bethe sua integrabilidade é estabelecida e a solução do ansatz de Bethe, bem como os autovalores da energia são obtidos. Usando uma análise clássica, determinamos os pontos fixos do sistema no espaço de fase. Encontramos que os pontos fixos de bifurca¸c˜ao separam naturalmente o espa¸co dos parâmetros de acoplamento em quatro regiões. Estas quatro regiões originam as dinâmicas qualitativamente diferentes. Mostramos então, que esta classificação também vale para a dinâmica quântica. Finalmente, investigamos as transições de fase quânticas destes modelos utilizando os conceitos de emaranhamento, gap de energia e fidelidade. / In this thesis we investigate two integrable models for Bose-Einstein condensates. We begin with a simple model that describes Josephson tunneling between two Bose-Einstein condensates. We discuss some mathematical aspects of this model such as its exact solvability through the algebraic Bethe ansatz. Then using a classical analysis, we study the equations of motion and the level curves of the Hamiltonian. Finally, the quantum dynamics of the model is investigated using direct diagonalisation of the Hamiltonian. In both of these analyses, the existence of a threshold coupling between a delocalised and a self-trapped phase is evident, in qualitative agreement with experiments. We consider subsequently a model for atomic-molecular Bose-Einstein condensates. By means of the Yang-Baxter algebra and the algebraic Bethe ansatz its integrability is established and the Bethe ansatz solution as well as the energy eingenvalues are obtained. Then using a classical analysis we determine the phase space fixed points of the system. It is found that bifurcations of the fixed points naturally separate the coupling parameter space into four regions. The different regions give rise to qualitatively different dynamics. We then show that this classification holds true for the quantum dynamics. Finally, we investigate the quantum phase transitions of these models using the concepts of entanglement, energy gap and fidelity.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:28:33Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-11-25Bitstream added on 2014-06-13T19:37:14Z : No. of bitstreams: 1 nozaki_r_me_bauru.pdf: 1471745 bytes, checksum: 002a3fa9cff00fe97414905826f120e6 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O sistema de microscopia de força atômica se tornou um instrumento popular e útil para medir as forças intermoleculares com resolução atômica que pode ser aplicado em eletrônica, análises biológicas, engenharia de materiais, semicondutores, etc. Este trabalho estuda o comportamento da dinâmica não-linear da ponta da sonda causada pelo tipo da amostra e os modos de funcionamento de um microscópio de força atômica. Utilizando-se de simulações numéricas, busca-se uma solução aproximada, através do método de perturbação de múltiplas escalas e teoria de controle linear ótimo consegue-se um bom entendimento do trabalho feito e explicado a seguir. Este trabalho está dividido em três partes, na primeira apresentou-se o problema, mostrando a necessidade de se controlar o comportamento caótico no sistema a ser estudado. Mostrou-se o funcionamento do microscópio atômico com todas suas variáveis de funcionamento. Foram geradas as equações de movimento e os resultados são obtidos através de integrações numéricas das equações de movimento, obteve-se oscilações regulares e irregulares (caóticos), os quais dependem da escolha dos parâmetros do sistema. Na segunda parte do trabalho, utilizou-se o método das múltiplas escalas, efetuou-se a busca de uma solução analítica aproximada para o movimento estacionário do sistema, que foi obtida através de técnicas de perturbações. Este método foi desenvolvido foi desenvolvido por [10] para controlar estes sistemas / The atomic force microscope system has become a popular and useful instrument to measure the intermolecular forces with atomic-resolution that can be applied in electronics, biological analysis, materials, semiconductors etc. This work studies the complex nonlinear dynamic behavior of the probe tip between the sample and cantilever of an atomic force microscope using numeral simulations, method of multiple scales, and optimal linear control. This work concerns of three parts, in the first we will make the presentation of the AFM, showing various models of AFM. In second part, regular and irregular (chaotic) behaviors depend of the physical parameters and can be observed when a numerical integration is performed. When the dynamic system of the AFM becomes a chaotic oscillator a computational and analytical study of the nonlinear dynamic behavior of the AFM oscillator is proposed and it is obtained by perturbations method. The third part is dedicated to the application and performance of the linear feedback control for the suppressing of the chaotic motion of a non ideal system, theses systems are numerically studied. We use the method developed by [10] to control both the non-ideal system. This method seeks to find an optimal linear feedback control where they find - if conditions for the application of linear control in non-linear, ensuring the stability of the problem