Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / En el presente trabajo se estudiará un sistema de reacción-difusión que modela la interacción de dos especies habitando una región, las cuales siguen ciertas estrategias de movimiento y compiten por una distribución de recursos común. Este sistema corresponde a una variante del modelo Lotka-Volterra competitivo y con difusión. En ecología se dice que una especie admite distribución ideal free, si en cada ubicación la densidad de la especie es proporcional a la cantidad de recursos disponibles. Cosner, Cantrell y Lou, entre otros autores, han estudiado sistemas de reacción-difusión que admiten distribuciones ideal free. En particular, probaron que bajo ciertas condiciones, este tipo de estrategia resulta óptima, en el sentido que una especie adoptando esta estrategia no podrá ser invadida por una pequeña población que use una estrategia diferente. En esta memoria, se extiende el trabajo de los autores mencionados, incluyendo términos de competencia interespecífica. El objetivo es estudiar las relaciones entre la estrategia de movimiento y los términos de competencia, en el comportamiento asintótico de las soluciones, en particular la convergencia a equilibrios y existencia de estados de coexistencia. Dentro de los resultados obtenidos, se describirá el caso donde ambas especies siguen la estrategia ideal free, para diferentes valores de los parámetros del sistema. Por otro lado, se demostrará un resultado de no coexistencia, en el caso general de estrategias de movimiento. Además, se analizará un resultado de múltiple coexistencia, en el caso que solamente una especie admite la estrategia ideal free. Para obtener dichos resultados, se utilizará la teoría de los sistemas dinámicos monótonos, que será fundamental para determinar convergencia a los equilibrios. Además será importante la teoría de ecuaciones elípticas y parabólicas, donde destaca las técnicas basadas en sub/supersoluciones y los resultados espectrales de operadores elípticos. Para los resultados de múltiple coexistencia, se utilizará la teoría de bifurcaciones y argumentos relaciones con perturbaciones singulares para estudiar casos límite.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo se estudia un sistema de partículas cuya dinámica está determinada por mecanismos de ramificación y selección. Cada una de las $N\in \mathbb{N}$ partículas del sistema espera un tiempo exponencial de tasa $\tau > 0$ para generar un nuevo individuo posicionado, relativo al padre, según una medida de probabilidad $\mu$ en $\R$. Inmediatamente después de un evento de ramificación se elimina la partícula que está más a la izquierda dejando la cantidad de individuos constate. Si $\max x^N(t)$ es la posición de la partícula de más a la derecha a tiempo $t\geq 0$ entonces bajo ciertas hipótesis sobre $\mu$ se prueba que $\frac{\max x^N(t)}{t} \stackrel{t\to\infty}{\longrightarrow} v_N $ c.s., donde $v_N$ es una constante determinista, y que $v_N\nearrow v < \infty$, donde $v$ es la velocidad de la partícula de más a la derecha del sistema anterior pero sin el mecanismo de selección. El resultado principal de esta tesis determina una cota para la velocidad de convergencia de $v_N$ a $v$. Específicamente se prueba que $\liminf_{N\to\infty }(v - v_N)(\log N)^2 \geq C$ donde $C$ es una constante explícita dependiente de la transformada de Laplace de $\mu$. Finalmente se estudia un sistema similar a tiempo discreto y se exploran extensiones para el caso en que entre tiempos de ramificación las partículas se mueven según un proceso de Lévy.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis deals with two different problems: in the first one, we study the large-time behavior of solutions of one-dimensional fractional Fisher-KPP reaction diffusion equations, when the initial condition is asymptotically front-like and it decays at infinity more slowly than a power x^b, where b < 2\alpha and \alpha\in (0,1) is the order of the fractional Laplacian (Chapter 2); in the second problem, we study the time asymptotic propagation of solutions to the fractional reaction diffusion cooperative systems (Chapter 3). For the first problem, we prove that the level sets of the solutions move exponentially fast as time goes to infinity. Moreover, a quantitative estimate of motion of the level sets is obtained in terms of the decay of the initial condition. In the second problem, we prove that the propagation speed is exponential in time, and we find a precise exponent depending on the smallest index of the fractional laplacians and of the nonlinearity, also we note that it does not depend on the space direction.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria busca ser un aporte en el estudio matemático de las ecuaciones de Pitcher, cuya finalidad es predecir la dinámica delictual asociada a robos residenciales. Los supuestos involucrados en su formulación muestran que este modelo constituye una aproximación en el análisis de esta realidad, lejos aún de reflejar a cabalidad su naturaleza. En el modelo están involucradas dos variables. La primera hace referencia a la atractividad de la región, mientras la segunda es la densidad de población criminal presente en el medio. La interacción entre ambas es gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo reacción-difusión, que incluyen términos no lineales. Pitcher también propone incluir como una tercera variable al efecto disuasivo que produce la presencia de una fuerza policial en el medio, pero tal situación no se considerará debido a los alcances de este trabajo. Entender como se comportan las soluciones asociadas a las ecuaciones de Pitcher es fundamental por varios motivos, entre los cuales está situar los focos delictivos (hot spots) dentro de una región. Por ello, dotando al problema de condiciones de borde Neumann, la motivación central de esta memoria es contribuir a un estudio riguroso de la existencia de soluciones no constantes en el caso estacionario. El primer capítulo consta de una revisión y análisis de los modelos de Short et al., Pitcher, y Jones, Brantingham y Chayes, donde se establecen sus principales similitudes y diferencias. A continuación, en el segundo capítulo se presentan y demuestran los dos resultados centrales obtenidos en este trabajo: la existencia de ramas de bifurcación, que dependen tanto de los valores propios simples y positivos del operador $-\lap$ como de los parámetros del problema; y la estabilidad de tales ramas. Ambos resultados se derivan del uso de la teoría de bifurcaciones desarrollada por Shi y Wang y los teoremas clásicos de estabilidad de Crandall y Rabinowitz, y en conjunto proveen mayor información respecto al uso de inestabilidades de Turing en el caso no estacionario. Finalmente, se incluyen algunas simulaciones numéricas que, usando el método de elementos finitos y un algoritmo de punto fijo alternante, permiten visualizar el origen de tales ramas.