En esta tesis se presenta un estudio de oscilaciones en sistemas no lineales generales que cumplen ciertas condiciones de diferenciabilidad. Para ello se parte, en una primera etapa, de verificar los postulados del teorema de bifurcación de Hopf que da las condiciones para detectar la presencia de soluciones periódicas en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias sujeto a la variación de un parámetro n del mismo. A tal efecto, se utiliza una propuesta fuertemente enraizada en la Teoría de Control Moderna que ofrece una interesante y didáctica presentación gráfica. Con estos primeros resultados exploramos una generalización del teorema de bifurcación de Hopf, permitiéndole mayor flexibilidad a sus hipótesis. En otras palabras, dos de las tres hipótesis originales podrán no cumplirse dando lugar a una gama variada de diagramas de bifurcaciones locales, esto es, representaciones entre el estado estacionario y la rama de soluciones periódicas cuando varia el parámetro de bifurcación mu. Es asi como, avanzando en una jerarquía de tales puntos singulares, es decir donde fallan los postulados del teorema, se cae inevitablemente en una perturbación multiparamétrica cuando se intentan recuperar los diagramas de bifurcaciones o, en otras palabras, cuando se intenta recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Con la propuesta formalmente enunciada se estudian las llamadas degeneraciones del teorema de bifurcación de Hopf. Para las mismas se han previsto dos alternativas de análisis. La primera consiste en plantear las condiciones de definición y de no-degeneración con nuestra formulación y aplicar los resultados de la teoría de singularidades para obtener los diagramas de bifurcaciones locales. La segunda, en cambio, permite directamente construir los diagramas locales en el espacio de los parámetros originales del sistema aplicando técnicas numéricas. En este trabajo mostramos ambas formas de análisis, especialmente en los últimos capítulos. Con tal fin, hemos implementado diferentes órdenes de aproximaciones para recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Estas aproximaciones Incluyen, en orden ascendiente, mayor información del sistema no lineal en forma similar a la clásica expansión en series de Taylor. Las contribuciones originales más importantes radican en: 1) La formulación de las condiciones de definición y de no-degeneración utilizando las técnicas en el llamado dominio frecuencia; 2) La extensión del método gráfico existente para hallar la amplitud y frecuencia de las oscilaciones de tal manera de incluir naturalmente a las bifurcaciones degeneradas de Hopf; 3) La continuación de las ramas de soluciones periódicas bifurcadas utilizando técnicas numéricas junto con diferentes aproximaciones de balance armónico ,y 4) La comparación de resultados numéricos entre la formulación propuesta y el programa más completo y preciso de continuación de soluciones periódicas hasta el presente, el conocido código AUTO.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria busca ser un aporte en el estudio matemático de las ecuaciones de Pitcher, cuya finalidad es predecir la dinámica delictual asociada a robos residenciales. Los supuestos involucrados en su formulación muestran que este modelo constituye una aproximación en el análisis de esta realidad, lejos aún de reflejar a cabalidad su naturaleza. En el modelo están involucradas dos variables. La primera hace referencia a la atractividad de la región, mientras la segunda es la densidad de población criminal presente en el medio. La interacción entre ambas es gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo reacción-difusión, que incluyen términos no lineales. Pitcher también propone incluir como una tercera variable al efecto disuasivo que produce la presencia de una fuerza policial en el medio, pero tal situación no se considerará debido a los alcances de este trabajo. Entender como se comportan las soluciones asociadas a las ecuaciones de Pitcher es fundamental por varios motivos, entre los cuales está situar los focos delictivos (hot spots) dentro de una región. Por ello, dotando al problema de condiciones de borde Neumann, la motivación central de esta memoria es contribuir a un estudio riguroso de la existencia de soluciones no constantes en el caso estacionario. El primer capítulo consta de una revisión y análisis de los modelos de Short et al., Pitcher, y Jones, Brantingham y Chayes, donde se establecen sus principales similitudes y diferencias. A continuación, en el segundo capítulo se presentan y demuestran los dos resultados centrales obtenidos en este trabajo: la existencia de ramas de bifurcación, que dependen tanto de los valores propios simples y positivos del operador $-\lap$ como de los parámetros del problema; y la estabilidad de tales ramas. Ambos resultados se derivan del uso de la teoría de bifurcaciones desarrollada por Shi y Wang y los teoremas clásicos de estabilidad de Crandall y Rabinowitz, y en conjunto proveen mayor información respecto al uso de inestabilidades de Turing en el caso no estacionario. Finalmente, se incluyen algunas simulaciones numéricas que, usando el método de elementos finitos y un algoritmo de punto fijo alternante, permiten visualizar el origen de tales ramas.