L'équation intégrale du champ électrique (EFIE) et l'équation intégrale du champ combiné (CFIE) souffrent d'un mauvais conditionnement à haute discrétisation et à bassefréquence : si la taille moyenne des arrêtes du maillage est réduite ou si la fréquence est diminuée le conditionnement du système se dégrade rapidement. Cela provoque le ralentissement ou la non convergence des solveurs itératifs. Cette dissertation présente de nouveaux paradigmes permettant l'obtention de solveurs à convergence rapide pour équations intégrales; pour prévenir la dégradation du conditionnement nous avançons l'état de l'art des techniques de préconditionnement dites de Calderon et de celles reposant sur l'utilisation des bases hiérarchiques. Pour traiter l'EFIE, nous introduisons une base hiérarchique pour maillages structurés et non-structurés dérivant des pré-ondelettes primaires et duales de Haar. De plus, nous introduisons un nouveau cadre permettant de préconditionner efficacement l'EFIE dans le cas d'objets à connexion multiples. L'applicabilité à la CFIE des préconditionneurs à bases hiérarchiques fait l'objet d'une étude aboutissant à la formalisation d'une technique de préconditionnement. Nous présentons aussi un préconditionneur multiplicatif de type Calderon (RF-CMP) qui permet l'obtention d'une matrice système Hermitienne, définie positive (HDP) et bien conditionnée, sans avoir recours, contrairement aux préconditionneurs existants, au raffinement du maillage ni à l'utilisation de fonction duales. Puisque la matrice est HPD, la méthode du gradient conjugué peut servir de solveur itératif avec une convergence garantie. / The electric field integral equation (EFIE) and the combined field integral equation(CFIE) suffer from the dense-discretization and the low-frequency breakdown: if the average edgelength of the mesh is reduced, or if the frequency is decreased, then the condition number of the system matrix grows. This leads to slowly or non-converging iterative solvers. This dissertation presents new paradigms for rapidly converging integral equation solvers: to overcome the illconditioning, we advance and extend the state of the art both in hierarchical basis and in Calderón preconditioning techniques. For the EFIE, we introduce a hierarchical basis for structured and unstructured meshes based on generalized primal and dual Haar prewavelets. Furthermore, a framework is introduced which renders the hierarchical basis able to efficiently precondition the EFIE in the case that the scatterer is multiply connected. The applicability of hierarchical basis preconditioners to the CFIE is analyzed and an efficient preconditioning scheme is derived. In addition, we present a refinement-free Calderón multiplicative preconditioner (RF-CMP) that yields a system matrix which is Hermitian, positive definite (HPD), and well-conditioned. Different from existing Calderón preconditioners, no dual basis functions and thus no refinement of the mesh is required. Since the matrix is HPD—in contrast to standard discretizations of the EFIE—we can apply the conjugate gradient (CG) method as iterative solver, which guarantees convergence. Eventually, the RF-CMP is extended to the CFIE.

Dans le domaine de l’électromagnétisme computationnel, les équations intégrales de frontière sont très largement utilisées pour résoudre certains des plus grands problèmes directs, grâce à leur grande efficacité. Cependant les équations intégrales du champ électrique et du champ combiné (EFIE et CFIE), deux des formulations les plus employées, souffrent d’instabilités à basse fréquence et à haute discrétisation, ce qui limite leur versatilité. Dans cette thèse différentes approches sont présentées pour obtenir des algorithmes applicables aussi bien à des problèmes de compatibilité électromagnétique qu’à des applications radar. Les solutions présentées incluent (i) l’extension des projecteurs dit quasi-Helmholtz (qH) aux modélisations d’ordre supérieur ; (ii) l’utilisation de ces projecteurs pour stabiliser l’équation intégrale du champ magnétique et former une CFIE extrêmement précise, augmentée par des techniques de type Calderón, qui ne souffre de problèmes ni à basse fréquence ni à haute discrétisation et qui n’est pas sujette aux résonances artificielles ; (iii) le développement d’une EFIE filaire, basée sur des B-splines linéaires et les projecteurs qH, stable aux deux extrémités du spectre. Ces travaux ont été suivis de l’ouverture d’un nouvel axe de recherche visant l’amélioration des techniques de résolution des problèmes inverses en électromagnétique, avec pour objectif principal l’augmentation des performances des interfaces cerveau machine (BCIs). Les premiers résultats obtenus incluent le développement de l’un des premiers systèmes libres de simulation de bout en bout de session de BCI ayant été publié après revue par les pairs. / In computational electromagnetics, boundary integral equations are the scheme of choice for solving extremely large forward electromagnetic problems due to their high efficiency. However, two of the most used of these formulations, the electric and combined field integral equations (EFIE and CFIE), suffer from stability issues at low frequency and dense discretization, limiting their applicability at both ends of the spectrum. This thesis focusses on remedying these issues to obtain full-wave solvers stable from low to high frequencies, capable of handling scenarios ranging from electromagnetic compatibility to radar applications. The solutions presented include (i) extending the quasi-Helmholtz (qH) projectors to higher order modeling thus combining stability with high order convergence rates; (ii) leveraging on the qH projectors to numerically stabilize the magnetic field integral equation and obtain a highly accurate and provably resonance-free Calderón-augmented CFIE immune to both of the aforementioned problems; and(iii) introducing a new low frequency and dense discretization stable wire EFIE based on projectors and linear B-splines. In addition, a research axis focused on enhancing Brain Computer Interface (BCIs) with high resolution electromagnetic modeling of the brain has been opened ; a particular attention is dedicated to the inverse problem of electromagnetics and the associated integral equation-based forward problem. The first results of this new line of investigations include the development of one of the first peer-reviewed, freely available framework for end-to-end simulation of BCI experiments.