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Ciclos limite para a equação de Abel generalizada / Limit cycles for generalized Abel equationBelisário, Hugo Leonardo da Silva 30 October 2009 (has links)
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Previous issue date: 2009-10-30 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we conducted a study on the equations of the type
dx
dt
=
nå
i=0
ai(t)xi; (A)
where ai 2 C1, i = 0; ;n and 0 t 1. An equation of the form (A) is called a
generalized Abel equation. Our study refers to the problem proposed by C. Pugh: There
is a natural number N depending only on n, such that the equation (A) has at most N limit
cycles?
Initially we study the problem of C. Pugh for n = 1 and n = 2, for which the equation
(A) has at most one and two limit cycles, respectively. For n = 3, A. Lins Neto shows
that if a3(t) does not change sign on [0;1], then the equation (A) has at most three limit
cycles. Also A. Lins Neto shows that, given a natural number l, it is possible to construct
an equation of the form (A) with n = 3 that has at least l limit cycles. Still for n = 3, A.
Gasull and J. Llibre study the problem of C. Pugh considering that a2(t) does not change
sign on [0;1], and M. J. Alvarez, A. Gasull and H. Giacomini also study the problem of
C. Pugh considering that there are real numbers a and b such that aa3(t)+ba2(t) does
not change sign on [0;1] and a1(t) = a0(t) = 0. Besides this, we study some more general
results studied by A. Gasull and A. Guillamon. / Neste trabalho realizamos um estudo sobre as equações do tipo
dx
dt
=
nå
i=0
ai(t)xi; (A)
onde ai 2 C1, i = 0; ;n e 0 t 1. Uma equação da forma (A) é denominada
equação de Abel generalizada. Nosso estudo se refere ao problema proposto por C. Pugh:
existe um número natural N dependendo apenas de n, tal que a equação (A) possui no
máximo N ciclos limites?
Inicialmente estudamos o problema de C. Pugh para n=1 e n=2, para os quais a equação
(A) possui, no máximo, um e dois ciclos limite, respectivamente. Para n = 3, A. Lins
Neto mostra que, se a3(t) não muda de sinal em [0;1], então a equação (A) possui no
máximo três ciclos limite. Além disso A. Lins Neto mostra que, dado um número natural
l, é possível construir uma equação da forma (A) com n = 3 que possui no mínimo l
ciclos limites. Ainda para n = 3, A. Gasull e J. Llibre estudam o problema de C. Pugh
considerando que a2(t) não muda de sinal em [0;1], e M. J. Álvarez, A. Gasull e H.
Giacomini também estudam o problema de C. Pugh considerando que existem números
reais a e b tais que aa3(t)+ba2(t) não muda de sinal em [0;1] e a1(t) = a0(t) = 0. Além
destes resultados, estudamos alguns resultados mais gerais estudados por A. Gasull e A.
Guillamon.
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