Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais para resolução de um problema de transporte de nêutrons de fonte fixa, definido em meios homogêneos e heterogêneos, em geometria cartesiana bidimensional, com espalhamento isotrópico. A metodologia é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação bidimensional de transporte. Utiliza-se esquemas nodais para obtenção de equações unidimensionais integradas transversalmente, as quais são resolvidas via método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas em termos das variáveis espaciais são determinadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. Para obtenção da solução em todo o domínio, acopla-se as soluções de cada região às regiões vizinhas, através de um sistema linear. Neste contexto, o objetivo principal é o estudo relacionado às equações auxiliares necessárias para aproximação dos termos desconhecidos nos contornos do domínio ou das interfaces, que surgem devido ao processo de integração. Três abordagens distintas para aproximação dos termos de fuga transversais, oriundos da integração transversal, são estudadas: aproximações por constantes, aproximações lineares e aproximações exponenciais, as quais são incorporadas ao termo fonte. Adicionalmente, neste trabalho quatro esquemas de quadraturas numéricas são utilizados para aproximar o termo integral de espalhamento: quadratura Simétrica de Nível (LQN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN) e Quadruple Range (QR). Resultados numéricos são obtidos para o fluxo escalar médio em regiões do domínio e comparados com resultados disponíveis na literatura bem como gerados pelo código AHOT. A análise dos resultados confirma a viabilidade da proposta das equações auxiliares alternativas, mantendo a eficiência computacional já verificada em outras abordagens do método ADO, no entanto indica que estudos complementares necessitam ser realizados para caracterizar vantagens adicionais no uso de tais propostas. / In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for solving xed source neutron transport problems de ned in two-dimensional homogeneous and heterogeneous medium with isotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation. Nodal procedures are performed to derive one-dimensional transverse integrated equations, which are solved by the ADO method. Explicit expressions in terms of the spatial variables are obtained for averaged angular uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution for the whole domain is obtained trough the coupling of the local solutions in a general linear system. In this context, the main goal is to analyse the use of different auxiliary equations to describe the unknown transverse leakage terms on the boundaries and interfaces. Three di erent approaches are used to approximate the unknown transverse leakage terms: constant, linear and exponential approximations, which are incorporated into the source term. Four numerical quadrature schemes are used to approximate the integral scattering term: Level Symmetric quadrature scheme LQN, Legendre-Chebyshev quadrangular PNTN, Legendre-Chebyshev triangular PNTNSN and Quadruple Range (QR). The numerical results obtained for region-averaged scalar uxes are compared with results available in the literature as well as numerical results provided by the AHOT code. The analysis of the results con rm the feasibility with computational e ciency as usual for the ADO method. However subsequent work is indicated to evidence advantages of the proposed auxiliary equations.

Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais para resolução de um problema de transporte de nêutrons de fonte fixa, definido em meios homogêneos e heterogêneos, em geometria cartesiana bidimensional, com espalhamento isotrópico. A metodologia é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação bidimensional de transporte. Utiliza-se esquemas nodais para obtenção de equações unidimensionais integradas transversalmente, as quais são resolvidas via método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas em termos das variáveis espaciais são determinadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. Para obtenção da solução em todo o domínio, acopla-se as soluções de cada região às regiões vizinhas, através de um sistema linear. Neste contexto, o objetivo principal é o estudo relacionado às equações auxiliares necessárias para aproximação dos termos desconhecidos nos contornos do domínio ou das interfaces, que surgem devido ao processo de integração. Três abordagens distintas para aproximação dos termos de fuga transversais, oriundos da integração transversal, são estudadas: aproximações por constantes, aproximações lineares e aproximações exponenciais, as quais são incorporadas ao termo fonte. Adicionalmente, neste trabalho quatro esquemas de quadraturas numéricas são utilizados para aproximar o termo integral de espalhamento: quadratura Simétrica de Nível (LQN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN) e Quadruple Range (QR). Resultados numéricos são obtidos para o fluxo escalar médio em regiões do domínio e comparados com resultados disponíveis na literatura bem como gerados pelo código AHOT. A análise dos resultados confirma a viabilidade da proposta das equações auxiliares alternativas, mantendo a eficiência computacional já verificada em outras abordagens do método ADO, no entanto indica que estudos complementares necessitam ser realizados para caracterizar vantagens adicionais no uso de tais propostas. / In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for solving xed source neutron transport problems de ned in two-dimensional homogeneous and heterogeneous medium with isotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation. Nodal procedures are performed to derive one-dimensional transverse integrated equations, which are solved by the ADO method. Explicit expressions in terms of the spatial variables are obtained for averaged angular uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution for the whole domain is obtained trough the coupling of the local solutions in a general linear system. In this context, the main goal is to analyse the use of different auxiliary equations to describe the unknown transverse leakage terms on the boundaries and interfaces. Three di erent approaches are used to approximate the unknown transverse leakage terms: constant, linear and exponential approximations, which are incorporated into the source term. Four numerical quadrature schemes are used to approximate the integral scattering term: Level Symmetric quadrature scheme LQN, Legendre-Chebyshev quadrangular PNTN, Legendre-Chebyshev triangular PNTNSN and Quadruple Range (QR). The numerical results obtained for region-averaged scalar uxes are compared with results available in the literature as well as numerical results provided by the AHOT code. The analysis of the results con rm the feasibility with computational e ciency as usual for the ADO method. However subsequent work is indicated to evidence advantages of the proposed auxiliary equations.

Neste trabalho, uma abordagem analítica é utilizada juntamente com esquemas nodais para resolução de um problema de transporte de nêutrons de fonte fixa, definido em meios homogêneos e heterogêneos, em geometria cartesiana bidimensional, com espalhamento isotrópico. A metodologia é desenvolvida a partir da versão em ordenadas discretas da equação bidimensional de transporte. Utiliza-se esquemas nodais para obtenção de equações unidimensionais integradas transversalmente, as quais são resolvidas via método ADO (Analytical Discrete Ordinates). Expressões explícitas em termos das variáveis espaciais são determinadas para os fluxos angulares médios em cada região em que o domínio foi subdividido. Para obtenção da solução em todo o domínio, acopla-se as soluções de cada região às regiões vizinhas, através de um sistema linear. Neste contexto, o objetivo principal é o estudo relacionado às equações auxiliares necessárias para aproximação dos termos desconhecidos nos contornos do domínio ou das interfaces, que surgem devido ao processo de integração. Três abordagens distintas para aproximação dos termos de fuga transversais, oriundos da integração transversal, são estudadas: aproximações por constantes, aproximações lineares e aproximações exponenciais, as quais são incorporadas ao termo fonte. Adicionalmente, neste trabalho quatro esquemas de quadraturas numéricas são utilizados para aproximar o termo integral de espalhamento: quadratura Simétrica de Nível (LQN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN) e Quadruple Range (QR). Resultados numéricos são obtidos para o fluxo escalar médio em regiões do domínio e comparados com resultados disponíveis na literatura bem como gerados pelo código AHOT. A análise dos resultados confirma a viabilidade da proposta das equações auxiliares alternativas, mantendo a eficiência computacional já verificada em outras abordagens do método ADO, no entanto indica que estudos complementares necessitam ser realizados para caracterizar vantagens adicionais no uso de tais propostas. / In this work, an analytical approach is used along with nodal schemes for solving xed source neutron transport problems de ned in two-dimensional homogeneous and heterogeneous medium with isotropic scattering. The methodology is developed from the discrete ordinates version of the two-dimensional transport equation. Nodal procedures are performed to derive one-dimensional transverse integrated equations, which are solved by the ADO method. Explicit expressions in terms of the spatial variables are obtained for averaged angular uxes in each region in which the domain is subdivided. The solution for the whole domain is obtained trough the coupling of the local solutions in a general linear system. In this context, the main goal is to analyse the use of different auxiliary equations to describe the unknown transverse leakage terms on the boundaries and interfaces. Three di erent approaches are used to approximate the unknown transverse leakage terms: constant, linear and exponential approximations, which are incorporated into the source term. Four numerical quadrature schemes are used to approximate the integral scattering term: Level Symmetric quadrature scheme LQN, Legendre-Chebyshev quadrangular PNTN, Legendre-Chebyshev triangular PNTNSN and Quadruple Range (QR). The numerical results obtained for region-averaged scalar uxes are compared with results available in the literature as well as numerical results provided by the AHOT code. The analysis of the results con rm the feasibility with computational e ciency as usual for the ADO method. However subsequent work is indicated to evidence advantages of the proposed auxiliary equations.

Este trabalho apresenta novas soluções exatas para a equação de Helmholtz bidimensional transiente, as quais são obtidas através de Split, simetrias de Lie e transformações de Bäcklund. O objetivo do trabalho proposto é obter um procedimento sistemático que permita gerar soluções que descrevam escoamentos tridimensionais, usando grupos de Lie já disponíveis na literatura especializada para o sistema contendo as equações de Navier-Stokes tridimensionais e a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em geometria cartesiana. A principal dificuldade em obter soluções tridimensionais usando grupos de Lie reside na necessidade de se conhecer previamente ao menos uma solução bidimensional transiente que satisfaça as condições de não-deslizamento e não-penetração na interface sólida, bem como a prescrição de escoamento potencial distante do corpo submerso. As soluções para as equações de Navier-Stokes bidimensionais são obtidas resolvendo a equação de Helmholtz para a função corrente. Algumas das soluções foram empregadas para simular escoamentos viscosos em torno de cilindros, reproduzindo características qualitativas do escoamento transversal, e gerando resultados com razoável concordância em relação aos dados experimentais. / This work presents new exact solutions to the unsteady two-dimensional Helmholtz equation, which were obtained by split, Lie Symmetries and Bäcklund transformations. The aim of the proposed work is to obtain a systematic procedure that allows to generate exact solutions which describe three-dimensional flows, using a Lie symmetry group yet available in specialized literature for the system containing the three-dimensional Navier-Stokes equations and the continuity equation for incompressible flows in cartesian geometry. The major difficult in obtaining the three-dimensional solutions using the Lie group relies on the need of knowing beforehand at least one two-dimensional unsteady solution which satisfies the no slip and no penetration conditions at the solid interface, as well as the prescriptions of potential flows far from the immersed body. The two-dimensional solutions for the Navier-Stokes equations are obtained by solving the Helmholtz equation for the stream function . Some of the solutio ns were employed to simulate viscous flows around cylinders, reproducing qualitative features of the crossflow, and generating results which are in reasonable agreement with experimental data.

Neste trabalho é feito um estudo sobre a discretização angular da equa- ção bidimensional de transporte de nêutrons e os erros de truncamento associados, decorrentes da representação da variável angular contínua por um conjunto de direções discretas. Estes erros incluem a aproximação da integral do termo de espalhamento por um conjunto de quadratura numérica, técnica que caracteriza o chamado método de ordenadas discretas. Quatro esquemas de quadraturas numéricas disponíveis na literatura são empregados no estudo: Simétrica de nível (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), e Quadruple Range (QR), para a aproximação angular da equação de transporte. O uso do esquema de quadratura LQN, é limitado até ordem N = 20, enquanto que os demais permitem ordens de quadratura superiores. As variáveis espaciais da equação de transporte angularmente discretizada são tratadas através de técnicas nodais e resultados numéricos são obtidos a partir de dois métodos: o método nodal Arbitrarily High Order Transport (AHOT) e o método Analítico de Ordenadas Discretas (ADO). Além do fato do método ADO não utilizar algoritmos de varredura numérica ou métodos iterativos para resolu- ção das equações discretizadas resultantes, o mesmo determina soluções explícitas em termos das variáveis espaciais, via resolução de um problema de autovalores de ordem reduzida à metade do número de direções utilizadas na discretização angular. O estudo é focado em problemas de fonte xa, onde uma análise assint ótica espacial e angular é feita a m de determinar a ordem de convergência dos métodos e uma solução de referência para comparação dos resultados. Foi observado que para um determinado esquema de quadratura, a propriedade de integrar exatamente polinômios de alta ordem nos cossenos diretores não é su ciente para garantir uma maior precisão em termos de convergência espacial para a solução de referência. Ainda assim, os resultados numéricos mostram que o uxo escalar médio ao longo de toda a região de fonte do problema, converge assintoticamente com discretização espacial quase idêntica para todas as quadraturas angulares consideradas, mas o erro assintótico angular (calculado em relação ao valor de referência espacial para cada conjunto de quadratura utilizada), não diminui consideravelmente com o aumento do número de direções angulares. Por outro lado, a utilização do conjunto de quadratura QR, indicou redução da utuação dos valores dos uxos, os chamados efeitos raio, para ordens de aproximação angular mais baixas do que os outros três esquemas de quadratura considerados. No entanto, com base nos resultados numéricos obtidos até agora, não é possível determinar a taxa de convergência assintótica do erro devido à discretização angular. Além disso, foi possível incorporar quadraturas numéricas de ordem superior na formulação ADO, preservando propriedades importantes do método, tais como a redução da ordem do problema de autovalores, resultando uma maior e ciência computacional. As soluções ADO foram obtidas a partir da divisão do domínio em um número menor de regiões (até 2 × 2), mesmo assim apresentando boa precisão em comparação com a solução de referência espacial obtida através da extrapolação das soluções AHOT para sucessivos re namentos de malhas (até 64 × 64). / In this work, we study the angular discretization of two-dimensional neutron transport equation and the associated truncation errors, deriving from the representation of continuous angular variable by a set of discrete directions. These errors comprise the approximation of the integral of the scattering term by a set of numerical quadrature, a technique that characterizes the so-called method of discrete ordinates. Four numerical quadrature schemes available in the literature are employed in our study: Level symmetric (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), and Quadruple Range (QR), for the angular approximation of the transport equation. The use of the LQN quadrature scheme, is limited to order N = 20, while the others allow for arbitrarily high order quadratures. The spatial variables of the angularly discretized transport equation are handled through nodal techniques and numerical results are obtained with two methods: the Arbitrarily High Order Transport methods of the nodal type (AHOT) and the Analytical Discrete Ordinates method (ADO). In addition to the fact that ADO does not require a mesh sweep algorithm or iterative methods for solving the resulting discretized equations, the method presents explicit solutions in terms of spatial variables via eigenvalue problem resolution of reduced order to half the number of directions used in the angular discretization. The study is focused on xed-source problems, where a spatial and angular asymptotic analysis is done in order to determine the convergence order of the methods and a reference solution for comparison of the results. It was observed that, for a given quadrature scheme, the property of exactly integrating highest order direction cosines polynomials is not su cient to ensure higher accuracy in terms of spatial convergence to the reference solution. Still, numerical results show that the average scalar ux over the entire source region of the problem, converges asymptotically with the re nement of the spatial discretization almost identically for all angular quadratures considered, but the angular asymptotic error (computed against the reference value for each utilized quadrature set), does not decrease considerably with increasing number of angle directions. On the other hand, the use of QR quadrature set indicates larger reduction in the ux uctuations known as ray e ects for lower order angular approximation schemes than the other three sets considered. However, based on the numerical results we obtained so far, we are unable to determine the asymptotic convergence rate of the error due to angular discretization. Furthermore, it was possible to incorporate the numerical high order quadrature in the ADO formulation, preserving important properties of the method, such as reducing the order of the eigenvalue problem that results in a higher computational e ciency. The ADO solutions were obtained by dividing the domain in a fewer number of regions (up to 2 × 2), still exhibiting good accuracy compared with the spatial reference solution obtained via extrapolation of AHOT solutions obtained on successively re ned meshes (up to 64 × 64).

Este trabalho apresenta novas soluções exatas para a equação de Helmholtz bidimensional transiente, as quais são obtidas através de Split, simetrias de Lie e transformações de Bäcklund. O objetivo do trabalho proposto é obter um procedimento sistemático que permita gerar soluções que descrevam escoamentos tridimensionais, usando grupos de Lie já disponíveis na literatura especializada para o sistema contendo as equações de Navier-Stokes tridimensionais e a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em geometria cartesiana. A principal dificuldade em obter soluções tridimensionais usando grupos de Lie reside na necessidade de se conhecer previamente ao menos uma solução bidimensional transiente que satisfaça as condições de não-deslizamento e não-penetração na interface sólida, bem como a prescrição de escoamento potencial distante do corpo submerso. As soluções para as equações de Navier-Stokes bidimensionais são obtidas resolvendo a equação de Helmholtz para a função corrente. Algumas das soluções foram empregadas para simular escoamentos viscosos em torno de cilindros, reproduzindo características qualitativas do escoamento transversal, e gerando resultados com razoável concordância em relação aos dados experimentais. / This work presents new exact solutions to the unsteady two-dimensional Helmholtz equation, which were obtained by split, Lie Symmetries and Bäcklund transformations. The aim of the proposed work is to obtain a systematic procedure that allows to generate exact solutions which describe three-dimensional flows, using a Lie symmetry group yet available in specialized literature for the system containing the three-dimensional Navier-Stokes equations and the continuity equation for incompressible flows in cartesian geometry. The major difficult in obtaining the three-dimensional solutions using the Lie group relies on the need of knowing beforehand at least one two-dimensional unsteady solution which satisfies the no slip and no penetration conditions at the solid interface, as well as the prescriptions of potential flows far from the immersed body. The two-dimensional solutions for the Navier-Stokes equations are obtained by solving the Helmholtz equation for the stream function . Some of the solutio ns were employed to simulate viscous flows around cylinders, reproducing qualitative features of the crossflow, and generating results which are in reasonable agreement with experimental data.

Neste trabalho é feito um estudo sobre a discretização angular da equa- ção bidimensional de transporte de nêutrons e os erros de truncamento associados, decorrentes da representação da variável angular contínua por um conjunto de direções discretas. Estes erros incluem a aproximação da integral do termo de espalhamento por um conjunto de quadratura numérica, técnica que caracteriza o chamado método de ordenadas discretas. Quatro esquemas de quadraturas numéricas disponíveis na literatura são empregados no estudo: Simétrica de nível (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), e Quadruple Range (QR), para a aproximação angular da equação de transporte. O uso do esquema de quadratura LQN, é limitado até ordem N = 20, enquanto que os demais permitem ordens de quadratura superiores. As variáveis espaciais da equação de transporte angularmente discretizada são tratadas através de técnicas nodais e resultados numéricos são obtidos a partir de dois métodos: o método nodal Arbitrarily High Order Transport (AHOT) e o método Analítico de Ordenadas Discretas (ADO). Além do fato do método ADO não utilizar algoritmos de varredura numérica ou métodos iterativos para resolu- ção das equações discretizadas resultantes, o mesmo determina soluções explícitas em termos das variáveis espaciais, via resolução de um problema de autovalores de ordem reduzida à metade do número de direções utilizadas na discretização angular. O estudo é focado em problemas de fonte xa, onde uma análise assint ótica espacial e angular é feita a m de determinar a ordem de convergência dos métodos e uma solução de referência para comparação dos resultados. Foi observado que para um determinado esquema de quadratura, a propriedade de integrar exatamente polinômios de alta ordem nos cossenos diretores não é su ciente para garantir uma maior precisão em termos de convergência espacial para a solução de referência. Ainda assim, os resultados numéricos mostram que o uxo escalar médio ao longo de toda a região de fonte do problema, converge assintoticamente com discretização espacial quase idêntica para todas as quadraturas angulares consideradas, mas o erro assintótico angular (calculado em relação ao valor de referência espacial para cada conjunto de quadratura utilizada), não diminui consideravelmente com o aumento do número de direções angulares. Por outro lado, a utilização do conjunto de quadratura QR, indicou redução da utuação dos valores dos uxos, os chamados efeitos raio, para ordens de aproximação angular mais baixas do que os outros três esquemas de quadratura considerados. No entanto, com base nos resultados numéricos obtidos até agora, não é possível determinar a taxa de convergência assintótica do erro devido à discretização angular. Além disso, foi possível incorporar quadraturas numéricas de ordem superior na formulação ADO, preservando propriedades importantes do método, tais como a redução da ordem do problema de autovalores, resultando uma maior e ciência computacional. As soluções ADO foram obtidas a partir da divisão do domínio em um número menor de regiões (até 2 × 2), mesmo assim apresentando boa precisão em comparação com a solução de referência espacial obtida através da extrapolação das soluções AHOT para sucessivos re namentos de malhas (até 64 × 64). / In this work, we study the angular discretization of two-dimensional neutron transport equation and the associated truncation errors, deriving from the representation of continuous angular variable by a set of discrete directions. These errors comprise the approximation of the integral of the scattering term by a set of numerical quadrature, a technique that characterizes the so-called method of discrete ordinates. Four numerical quadrature schemes available in the literature are employed in our study: Level symmetric (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), and Quadruple Range (QR), for the angular approximation of the transport equation. The use of the LQN quadrature scheme, is limited to order N = 20, while the others allow for arbitrarily high order quadratures. The spatial variables of the angularly discretized transport equation are handled through nodal techniques and numerical results are obtained with two methods: the Arbitrarily High Order Transport methods of the nodal type (AHOT) and the Analytical Discrete Ordinates method (ADO). In addition to the fact that ADO does not require a mesh sweep algorithm or iterative methods for solving the resulting discretized equations, the method presents explicit solutions in terms of spatial variables via eigenvalue problem resolution of reduced order to half the number of directions used in the angular discretization. The study is focused on xed-source problems, where a spatial and angular asymptotic analysis is done in order to determine the convergence order of the methods and a reference solution for comparison of the results. It was observed that, for a given quadrature scheme, the property of exactly integrating highest order direction cosines polynomials is not su cient to ensure higher accuracy in terms of spatial convergence to the reference solution. Still, numerical results show that the average scalar ux over the entire source region of the problem, converges asymptotically with the re nement of the spatial discretization almost identically for all angular quadratures considered, but the angular asymptotic error (computed against the reference value for each utilized quadrature set), does not decrease considerably with increasing number of angle directions. On the other hand, the use of QR quadrature set indicates larger reduction in the ux uctuations known as ray e ects for lower order angular approximation schemes than the other three sets considered. However, based on the numerical results we obtained so far, we are unable to determine the asymptotic convergence rate of the error due to angular discretization. Furthermore, it was possible to incorporate the numerical high order quadrature in the ADO formulation, preserving important properties of the method, such as reducing the order of the eigenvalue problem that results in a higher computational e ciency. The ADO solutions were obtained by dividing the domain in a fewer number of regions (up to 2 × 2), still exhibiting good accuracy compared with the spatial reference solution obtained via extrapolation of AHOT solutions obtained on successively re ned meshes (up to 64 × 64).

Este trabalho apresenta novas soluções exatas para a equação de Helmholtz bidimensional transiente, as quais são obtidas através de Split, simetrias de Lie e transformações de Bäcklund. O objetivo do trabalho proposto é obter um procedimento sistemático que permita gerar soluções que descrevam escoamentos tridimensionais, usando grupos de Lie já disponíveis na literatura especializada para o sistema contendo as equações de Navier-Stokes tridimensionais e a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis em geometria cartesiana. A principal dificuldade em obter soluções tridimensionais usando grupos de Lie reside na necessidade de se conhecer previamente ao menos uma solução bidimensional transiente que satisfaça as condições de não-deslizamento e não-penetração na interface sólida, bem como a prescrição de escoamento potencial distante do corpo submerso. As soluções para as equações de Navier-Stokes bidimensionais são obtidas resolvendo a equação de Helmholtz para a função corrente. Algumas das soluções foram empregadas para simular escoamentos viscosos em torno de cilindros, reproduzindo características qualitativas do escoamento transversal, e gerando resultados com razoável concordância em relação aos dados experimentais. / This work presents new exact solutions to the unsteady two-dimensional Helmholtz equation, which were obtained by split, Lie Symmetries and Bäcklund transformations. The aim of the proposed work is to obtain a systematic procedure that allows to generate exact solutions which describe three-dimensional flows, using a Lie symmetry group yet available in specialized literature for the system containing the three-dimensional Navier-Stokes equations and the continuity equation for incompressible flows in cartesian geometry. The major difficult in obtaining the three-dimensional solutions using the Lie group relies on the need of knowing beforehand at least one two-dimensional unsteady solution which satisfies the no slip and no penetration conditions at the solid interface, as well as the prescriptions of potential flows far from the immersed body. The two-dimensional solutions for the Navier-Stokes equations are obtained by solving the Helmholtz equation for the stream function . Some of the solutio ns were employed to simulate viscous flows around cylinders, reproducing qualitative features of the crossflow, and generating results which are in reasonable agreement with experimental data.

Neste trabalho é feito um estudo sobre a discretização angular da equa- ção bidimensional de transporte de nêutrons e os erros de truncamento associados, decorrentes da representação da variável angular contínua por um conjunto de direções discretas. Estes erros incluem a aproximação da integral do termo de espalhamento por um conjunto de quadratura numérica, técnica que caracteriza o chamado método de ordenadas discretas. Quatro esquemas de quadraturas numéricas disponíveis na literatura são empregados no estudo: Simétrica de nível (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), e Quadruple Range (QR), para a aproximação angular da equação de transporte. O uso do esquema de quadratura LQN, é limitado até ordem N = 20, enquanto que os demais permitem ordens de quadratura superiores. As variáveis espaciais da equação de transporte angularmente discretizada são tratadas através de técnicas nodais e resultados numéricos são obtidos a partir de dois métodos: o método nodal Arbitrarily High Order Transport (AHOT) e o método Analítico de Ordenadas Discretas (ADO). Além do fato do método ADO não utilizar algoritmos de varredura numérica ou métodos iterativos para resolu- ção das equações discretizadas resultantes, o mesmo determina soluções explícitas em termos das variáveis espaciais, via resolução de um problema de autovalores de ordem reduzida à metade do número de direções utilizadas na discretização angular. O estudo é focado em problemas de fonte xa, onde uma análise assint ótica espacial e angular é feita a m de determinar a ordem de convergência dos métodos e uma solução de referência para comparação dos resultados. Foi observado que para um determinado esquema de quadratura, a propriedade de integrar exatamente polinômios de alta ordem nos cossenos diretores não é su ciente para garantir uma maior precisão em termos de convergência espacial para a solução de referência. Ainda assim, os resultados numéricos mostram que o uxo escalar médio ao longo de toda a região de fonte do problema, converge assintoticamente com discretização espacial quase idêntica para todas as quadraturas angulares consideradas, mas o erro assintótico angular (calculado em relação ao valor de referência espacial para cada conjunto de quadratura utilizada), não diminui consideravelmente com o aumento do número de direções angulares. Por outro lado, a utilização do conjunto de quadratura QR, indicou redução da utuação dos valores dos uxos, os chamados efeitos raio, para ordens de aproximação angular mais baixas do que os outros três esquemas de quadratura considerados. No entanto, com base nos resultados numéricos obtidos até agora, não é possível determinar a taxa de convergência assintótica do erro devido à discretização angular. Além disso, foi possível incorporar quadraturas numéricas de ordem superior na formulação ADO, preservando propriedades importantes do método, tais como a redução da ordem do problema de autovalores, resultando uma maior e ciência computacional. As soluções ADO foram obtidas a partir da divisão do domínio em um número menor de regiões (até 2 × 2), mesmo assim apresentando boa precisão em comparação com a solução de referência espacial obtida através da extrapolação das soluções AHOT para sucessivos re namentos de malhas (até 64 × 64). / In this work, we study the angular discretization of two-dimensional neutron transport equation and the associated truncation errors, deriving from the representation of continuous angular variable by a set of discrete directions. These errors comprise the approximation of the integral of the scattering term by a set of numerical quadrature, a technique that characterizes the so-called method of discrete ordinates. Four numerical quadrature schemes available in the literature are employed in our study: Level symmetric (LQN), Legendre-Chebyshev triangular (PNTNSN), Legendre-Chebyshev quadrangular (PNTN), and Quadruple Range (QR), for the angular approximation of the transport equation. The use of the LQN quadrature scheme, is limited to order N = 20, while the others allow for arbitrarily high order quadratures. The spatial variables of the angularly discretized transport equation are handled through nodal techniques and numerical results are obtained with two methods: the Arbitrarily High Order Transport methods of the nodal type (AHOT) and the Analytical Discrete Ordinates method (ADO). In addition to the fact that ADO does not require a mesh sweep algorithm or iterative methods for solving the resulting discretized equations, the method presents explicit solutions in terms of spatial variables via eigenvalue problem resolution of reduced order to half the number of directions used in the angular discretization. The study is focused on xed-source problems, where a spatial and angular asymptotic analysis is done in order to determine the convergence order of the methods and a reference solution for comparison of the results. It was observed that, for a given quadrature scheme, the property of exactly integrating highest order direction cosines polynomials is not su cient to ensure higher accuracy in terms of spatial convergence to the reference solution. Still, numerical results show that the average scalar ux over the entire source region of the problem, converges asymptotically with the re nement of the spatial discretization almost identically for all angular quadratures considered, but the angular asymptotic error (computed against the reference value for each utilized quadrature set), does not decrease considerably with increasing number of angle directions. On the other hand, the use of QR quadrature set indicates larger reduction in the ux uctuations known as ray e ects for lower order angular approximation schemes than the other three sets considered. However, based on the numerical results we obtained so far, we are unable to determine the asymptotic convergence rate of the error due to angular discretization. Furthermore, it was possible to incorporate the numerical high order quadrature in the ADO formulation, preserving important properties of the method, such as reducing the order of the eigenvalue problem that results in a higher computational e ciency. The ADO solutions were obtained by dividing the domain in a fewer number of regions (up to 2 × 2), still exhibiting good accuracy compared with the spatial reference solution obtained via extrapolation of AHOT solutions obtained on successively re ned meshes (up to 64 × 64).

A preservação e o armazenamento de células e tecidos têm sido utilizados largamente em pesquisa científica e aplicações clínicas. No entanto, há uma aparente contradição entre o conceito de preservaão e as conclusões baseadas em resultados experimentais que materiais biológicos criopreservados podem ser danificados pelo próprio processo de preservação. A compreensão do processo de solidificação de soluções salinas é fundamental para a proposição de novos protocolos de criopreservação. No presente estudo, o congelamento de uma solução de cloreto de sódio a 1% em massa é simulado. As equações de conservação de massa, momentum, energia, e espécies químicas foram discretizadas e resolvidas numericamente utilizando-se o método dos volumes de controle para um domínio bidimensional que contém a parede da bolsa plástica e a solução salina. A perda de água da célula foi calculada a partir da história de temperatura e concentração durante o processo de solidificação e verificou-se que, dependendo da posição inicial da célula na bolsa, a célula tem probabilidades diferentes de sobreviver durante o processo.