Submitted by Pedro Barros (pedro.silvabarros@ufpe.br) on 2018-09-26T21:34:19Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) DISSERTAÇÃO Milena Monique de Santana Gomes.pdf: 1660637 bytes, checksum: 6b82b9382d84bf949afbe743eecb76e7 (MD5) / Approved for entry into archive by Alice Araujo (alice.caraujo@ufpe.br) on 2018-09-28T20:25:18Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) DISSERTAÇÃO Milena Monique de Santana Gomes.pdf: 1660637 bytes, checksum: 6b82b9382d84bf949afbe743eecb76e7 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-28T20:25:19Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 811 bytes, checksum: e39d27027a6cc9cb039ad269a5db8e34 (MD5) DISSERTAÇÃO Milena Monique de Santana Gomes.pdf: 1660637 bytes, checksum: 6b82b9382d84bf949afbe743eecb76e7 (MD5) Previous issue date: 2016-07-29 / CAPES / Estudamos propriedades oscilatórias das soluções de uma equação parabólica com impulso, investigando via o método de desigualdades diferenciais, o que nos encaminhou a estudar, principalmente Equações Diferencias com Impulso a fim de entendermos melhor o comportamento das soluções de tais equações quando em determinados instantes estão sujeitas a perturbações. Apresentamos os processos evolutivos que estão sob influência das ações impulsivas, discutindo resultados preliminares por meios de exemplos, de modo a deixar claro o que caracteriza um processo de evolução sujeito a efeitos impulsivos e a alguns fenômenos vindos de sistemas autônomos. Trataremos sobre a existência e continuidade locais de soluções, visto que pode ocorrer da equação diferencial impulsiva não ter solução, deixamos claro quais condições impor a fim de que garanta a existência local e continuidade. Além disso, as soluções de sistemas diferenciais impulsivos podem encontrar determinadas superfícies um número finito ou infinito de vezes, experimentando assim “batidas rítmicas”, as que nos trazem dificuldades no estudo das propriedades, que trataremos com muita atenção. Fazemos uma visitação a algumas desigualdades diferenciais impulsivas básicas, para por fim tratamos de oscilações das soluções de uma Equação Parabólica com Impulsos, tratando das condições suficientes para a oscilação das soluções de dois problemas principais, fazendo entender qualitativamente o comportamento oscilatório das soluções de uma equação parabólica impulsiva. Deixamos assim, uma contribuição ao analisar vários problemas, dados também como exemplos e desenvolvemos uma demonstração própria para um dos principais teoremas desse trabalho, dando assim uma visão reformulada para problemas de equações diferenciais com impulso. / We studied oscillatory properties of the solutions of a impulsive parabolic differential equation, investigating via the differential inequality method, which led us to study mainly differential equations with Impulse in order to better understand the behavior of solutions of such equations when at certain moments they are subject to perturbations. We present evolutionary processes that are under the influence of impulsive actions, discussing preliminary results by means of examples, in order to make clear what characterizes a process of evolution subject to impulsive effects and some phenomena coming from autonomous systems. We will deal with the local existence and continuity of solutions, since it may occur that the impulsive differential equation has no solution, we make clear which conditions to impose in order to guarantee local existence and continuity. Moreover, solutions of impulsive differential systems can find certain surfaces a finite or infinite number of times, thus experiencing "rhythmic beats", which bring us difficulties in the study of properties, which we will treat very carefully. We make a visitation to some basic impulsive differential inequalities, for finally we deal with oscillations of the solutions of a Parabolic Equation with Impulses, treating the sufficient conditions for the oscillation of the solutions of two main problems, making qualitatively understand the oscillatory behavior of the solutions of an equation parabolic impulsive. We thus leave a contribution by analyzing various problems, also given as examples and developing a proper demonstration for one of the main theorems of this work, thus giving a reformulated view to problems of differential equations with momentum.

As equações diferenciais impulsivas (EDIs) modelam fenômenos que são contínuos por partes, isto é, que evoluem continuamente mas em certos momentos sofrem mudanças abruptas (impulsos) consideradas instantâneas quando comparadas à duração total do processo. Surgem nas mais diversas áreas das ciências, como na modelagem de concentração de medicamentos no corpo humano e no impacto de propaganda nas vendas de uma empresa. O problema direto associado a uma EDI com instantes de impulsos pré-fixados consiste em, fornecidos a equação diferencial, a condição inicial, os momentos de impulso e os saltos, determinar a solução do problema. Por outro lado, as incógnitas dos problemas inversos associados são os saltos e/ou os momentos de impulso. Em geral, os problemas inversos não podem ser resolvidos diretamente por meio de técnicas convencionais. A abordagem funcional é uma alternativa baseada na minimização de um funcional de erro que confronta dados do fenômeno real e do modelo matemático. O mínimo global deste funcional corresponde à solução do problema inverso. O objetivo principal desta dissertação é investigar os problemas inversos de identificação dos parâmetros saltos e momentos de impulso. Buscamos descrever uma técnica que permita tratar de problemas inversos associados às EDIs de forma bem geral, que não utilize informações específicas da aplicação além das medidas no tempo inicial e final do processo. Para isso, desenvolvemos um programa computacional composto por uma função para solução numérica do problema direto usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, função esta que é chamada diversas vezes para cada resolução do problema direto com diferentes valores para as incógnitas; e pelo método de otimização Simulated Annealing que altera sistematicamente os valores das incógnitas. Os resultados mostram que resolver os problemas inversos que surgem das EDIs não é uma tarefa simples, que a técnica estudada é promissora e que pode ser aperfeiçoada / Impulsive differential equations (IDEs) model piecewise continuous phenomena, that is, that evolve continuously but at certain moments suffer abrupt changes (impulses) considered instantaneous when compared to the total duration of the process. They arise in several areas of science, such as the modeling of drug concentration in the human body and the impact of advertising on a companys sales. The direct problem associated with an IDE with impulses at fixed times consists of determining the solution to the problem, provided the differential equation, the initial condition, the moments of impulse and the jumps. On the other hand, the unknowns of the associated inverse problems are the jumps and/or the moments of impulse. In general, the inverse problems cannot be solved directly by conventional techniques. The functional approach is an alternative based on the minimization of an error functional that confronts data of the real phenomenon and the mathematical model. The global minimum of this functional corresponds to the solution of the inverse problem. The main objective of this dissertation is to investigate the inverse problems of jumps and moments of impulse parameters identification. We have attempted to describe a technique that allows treating of the inverse problems associated with IDEs in a general way, which does not use particular information of the application besides the measurements in the initial and final time of the process. For this, we developed a computer program composed by a function to solve the direct problem numerically using the fourth-order Runge-Kutta method, which is called several times for each resolution of the direct problem with different values for the unknowns; and by the Simulated Annealing optimization method which changes the values of the unknowns systematically. The results show that solving the inverse problems that arise from IDEs is not a simple task and that the technique studied is promising and can be improved

Neste trabalho, nós consideramos o seguinte problema de valor inicial para uma equação diferencial funcional retardada com impulsos { \'x PONTO\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFERENTE\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', onde f está definida em um aberto \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\') e assume valores em \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, onde \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denota o espaço das funções de [ - r, 0] em \' R POT. n\' que estão regradas e contínuas à esquerda. Além disso, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... são momentos pré determinados de impulsos tais que \'lim SOBRE k SETA + \' INFINITO\' \'t IND. k = + \' INFINITO\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND > k) - x (\'t IND. k). Os operadores de impulso \' I IND. k\', k = 0, 1, ... são funções contínuas de \'R POT. n\' em \' R POT. n\'. Consideramos, também, que para cada x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' INFINITO\'), \'R POT. n\'), t \'SETA\' f (t, \'x IND. t\') é uma função localmente Lebesgue integrável e sua integral indefinida satisfaz uma condição do tipo Carathéodory. Além disso, f é Lipschitziana na segunda variável. Definimos \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim SOBRE T \' SETA\' \' INFINITO\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt e \' I IND. 0(x) = \' lim SOBRE T \'SETA\' \' INFINITO\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < ou = \' t IND. i\' < T onde \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', e consideremos a seguinte equação diferencial funcioonal autônoma \" média\" y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Então provamos que, sob certas condições, a solução x(t) de (1) se aproxima da solução y(t) de (2) em tempo assintoticamente grande / In this present work, we condider the following initial value problem for a retarded functional differential equation with impulses { \'x POINT\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFFERENT\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', where f está defined in a open set \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\'), r >0, and takes values in \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, where \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denotes the space of regulated functions from [ - r, 0] to \' R POT. n\' which are left continuous. Furthermore, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... are pre-assigned moments of impulse effects such that \'lim ON k ARROW + \' THE INFINITE\' \'t IND. k = + \' THE INFINITE\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND>k) - x (\'t IND. k). The impulse operators \' I IND. k\', k = 0, 1, ... are continuous mappings from \'R POT. n\' to \' R POT. n\'. For each x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' THE INFINITE\'), \'R POT. n\'), t \'ARROW\' f (t, \'x IND. t\') is locally Lebesgue integrable and its indefinite integral satisfies a Carathéodory. Moreover, f é Lipschitzian with respect to the second variable. We define \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim ON T \' ARROW\' \' THE INFINITE\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt and \' I IND. 0(x) = \' lim ON T \'ARROW\' \' THE INFINITE\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < or = \' t IND. i\' < T where \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', and consider the \"averaged\" autonomous functional differential equation \'y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Then we prove that, under certain conditions, the solution x(t) of (1) in aproximates the solution y(t) de (2) in an asymptotically large time interval

Impulsos são perturbações abruptas que ocorrem em curto espaço de tempo e podem ser consideradas instantâneas. E os mercados financeiros estão sujeitos a choques bruscos como mudanças de governos, quebra de empresas, entre outros. Assim, é natural considerarmos a ação de tais eventos na precificação de ativos financeiros. Nosso objetivo neste trabalho é obtermos uma formulação para a equação diferencial parcial de Black-Scholes com ação impulsiva de modo que os impulsos representem estes choques. Utilizaremos a teoria de integração não-absoluta em espaço de funções para obtenção desta formulação / Impulses describe the evolution of systems where the continuous development of a process is interrupted by abrupt changes of state. Financial markets are subject to extreme events or shocks as government changes, companies colapse, etc. Thus it seems natural to consider the action of these events in the valuation of derivative securities. The aim of this work is to obtain a formulation for the Black-Scholes equation with impulse action where the impulses can represent these shocks. We use the non-absolute integration theory in functional spaces to obtain such formulation

Neste trabalho, nós consideramos o seguinte problema de valor inicial para uma equação diferencial funcional retardada com impulsos { \'x PONTO\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFERENTE\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', onde f está definida em um aberto \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\') e assume valores em \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, onde \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denota o espaço das funções de [ - r, 0] em \' R POT. n\' que estão regradas e contínuas à esquerda. Além disso, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... são momentos pré determinados de impulsos tais que \'lim SOBRE k SETA + \' INFINITO\' \'t IND. k = + \' INFINITO\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND > k) - x (\'t IND. k). Os operadores de impulso \' I IND. k\', k = 0, 1, ... são funções contínuas de \'R POT. n\' em \' R POT. n\'. Consideramos, também, que para cada x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' INFINITO\'), \'R POT. n\'), t \'SETA\' f (t, \'x IND. t\') é uma função localmente Lebesgue integrável e sua integral indefinida satisfaz uma condição do tipo Carathéodory. Além disso, f é Lipschitziana na segunda variável. Definimos \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim SOBRE T \' SETA\' \' INFINITO\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt e \' I IND. 0(x) = \' lim SOBRE T \'SETA\' \' INFINITO\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < ou = \' t IND. i\' < T onde \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', e consideremos a seguinte equação diferencial funcioonal autônoma \" média\" y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Então provamos que, sob certas condições, a solução x(t) de (1) se aproxima da solução y(t) de (2) em tempo assintoticamente grande / In this present work, we condider the following initial value problem for a retarded functional differential equation with impulses { \'x POINT\' = \'varepsilon\' f (t, \'x IND.t\'), t \' DIFFERENT\' \'t IND. k\', \'DELTA\' x(\'t IND. k\') = \'varepsilon\' \' I IND. k\' (x ( \'t IND.k\')), k = 0, 1, 2, ... \'x IND. t IND.0\' = \' phi\', where f está defined in a open set \' OMEGA\' de R x \' G POT. -\' ([- r, 0], \' R POT. n\'), r >0, and takes values in \'R POT. n\', \' \'varepsilon\' \'G POT. - ([ - r, 0], \'R POT.n\'), r .0, where \' G POT -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\') denotes the space of regulated functions from [ - r, 0] to \' R POT. n\' which are left continuous. Furthermore, \' t IND.0 < \' t IND. 1\'< ... \'t IND. k\' < ... are pre-assigned moments of impulse effects such that \'lim ON k ARROW + \' THE INFINITE\' \'t IND. k = + \' THE INFINITE\' e \'DELTA\'x (\' t IND.k\') = x ( \'t POT. + IND>k) - x (\'t IND. k). The impulse operators \' I IND. k\', k = 0, 1, ... are continuous mappings from \'R POT. n\' to \' R POT. n\'. For each x \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([- r, \' THE INFINITE\'), \'R POT. n\'), t \'ARROW\' f (t, \'x IND. t\') is locally Lebesgue integrable and its indefinite integral satisfies a Carathéodory. Moreover, f é Lipschitzian with respect to the second variable. We define \' f IND. 0\' ( \'phi\') = \' lim ON T \' ARROW\' \' THE INFINITE\' \'1 SUP. T \' INT. SUP. T INF. \' T IND.0\' f (t, \' PSI\') dt and \' I IND. 0(x) = \' lim ON T \'ARROW\' \' THE INFINITE\' \' 1 SUP. T\' \' SIGMA\' IND. 0 < or = \' t IND. i\' < T where \' psi\' \'varepsilon\' \' G POT. -\' ([ - r, 0], \' R POT. n\', and consider the \"averaged\" autonomous functional differential equation \'y PONTO = \' varepsilon\' [ \' f IND. 0\' (\' y IND. t\' + \' I IND> 0\' (y (t))], \'y IND. t IND. 0 = \' phi\'. Then we prove that, under certain conditions, the solution x(t) of (1) in aproximates the solution y(t) de (2) in an asymptotically large time interval

Impulsos são perturbações abruptas que ocorrem em curto espaço de tempo e podem ser consideradas instantâneas. E os mercados financeiros estão sujeitos a choques bruscos como mudanças de governos, quebra de empresas, entre outros. Assim, é natural considerarmos a ação de tais eventos na precificação de ativos financeiros. Nosso objetivo neste trabalho é obtermos uma formulação para a equação diferencial parcial de Black-Scholes com ação impulsiva de modo que os impulsos representem estes choques. Utilizaremos a teoria de integração não-absoluta em espaço de funções para obtenção desta formulação / Impulses describe the evolution of systems where the continuous development of a process is interrupted by abrupt changes of state. Financial markets are subject to extreme events or shocks as government changes, companies colapse, etc. Thus it seems natural to consider the action of these events in the valuation of derivative securities. The aim of this work is to obtain a formulation for the Black-Scholes equation with impulse action where the impulses can represent these shocks. We use the non-absolute integration theory in functional spaces to obtain such formulation

Neste trabalho, estabelecemos a teoria de dicotomias para equações diferenciais ordinárias generalizadas, introduzindo os conceitos de dicotomias para essas equações generalizadas, estudando as suas propriedades e propondo resultados novos. Investigamos condições para a existência de soluções limitadas e condições para a existência de dicotomia exponencial. Utilizando teoremas de correspondência entre equações diferenciais ordinárias generalizadas e outras equações, traduzimos os resultados obtidos para os casos particulares de dicotomias para equações diferenciais em medida e para equações diferenciais com impulsos. O fato de trabalharmos no ambiente das equações diferenciais ordinárias generalizadas faz com que os resultados obtidos para os casos particulares possam envolver funções com muitas descontinuidades e de variação ilimitada. / In this work we establish the theory of dichotomies for generalized ordinary dierential equations, introducing the concepts of dichotomies for these equations, studying their properties and proposing new results. We investigate conditions of existence of exponential dichotomies and bounded solutions. Using correspondence theorems between generalized ordinary dierential equations and other equations, we translate the obtained results to the particular cases of dichotomies for measure dierential equations and for impulsive dierential equations. The fact that we work in the framework of generalized ordinary dierential equations allows us to obtain results for the particular cases where the functions involved can have many discontinuities and be of unbounded variation.

Neste trabalho, estabelecemos a teoria de dicotomias para equações diferenciais ordinárias generalizadas, introduzindo os conceitos de dicotomias para essas equações generalizadas, estudando as suas propriedades e propondo resultados novos. Investigamos condições para a existência de soluções limitadas e condições para a existência de dicotomia exponencial. Utilizando teoremas de correspondência entre equações diferenciais ordinárias generalizadas e outras equações, traduzimos os resultados obtidos para os casos particulares de dicotomias para equações diferenciais em medida e para equações diferenciais com impulsos. O fato de trabalharmos no ambiente das equações diferenciais ordinárias generalizadas faz com que os resultados obtidos para os casos particulares possam envolver funções com muitas descontinuidades e de variação ilimitada. / In this work we establish the theory of dichotomies for generalized ordinary dierential equations, introducing the concepts of dichotomies for these equations, studying their properties and proposing new results. We investigate conditions of existence of exponential dichotomies and bounded solutions. Using correspondence theorems between generalized ordinary dierential equations and other equations, we translate the obtained results to the particular cases of dichotomies for measure dierential equations and for impulsive dierential equations. The fact that we work in the framework of generalized ordinary dierential equations allows us to obtain results for the particular cases where the functions involved can have many discontinuities and be of unbounded variation.