Cette thèse est consacrée à l’étude d’équation aux dérivée partielles dy type Hamilton- Jacobi ∂tu - Δu + |∇u|q = 0, in Ω × (0,T), (1) où Ω est un ouvert borné regulier dans ℝN contenant le point 0, ou Ω = ℝN; et q > 0. De plus, nous considérons l’équation parabolique avec un terme singulier {ut - Δu + χ{u>0}u-β = 0; in Ω × (0,T), u = 0, on ∂Ω × (0,T), u(0) = u0, (2) où Ω est un ouvert borné regulier dans ℝN, β ∈ (0,1), χw(x) = { 1, if x ∈ w, 0, if x ∉ w. , et u0 ∈ L1(Ω). Pour l’équation (1), nous étudions les solutions nonnégative avec une donnée initiale mesure de Radon bornée dans Ω, ou mesure de Borel dans Ω. En particulier, nous considérons l’existence de solution très singulière en (x,t) = (0,0) (voir [33]). Nous montrons qu’il existe une solution très singulière unique quand 1 < q < N+2/N+1. Par contre, on prouve la nonexistence d’une solution très singulière dans le cas q ≥ N+2/N+1. Ceci mène à un résultat de singularité éliminable pour solutions singulières qui satisfont la condition en bas u(x,0) = 0, in Ω\{0}, Les résultats ci-dessus nous permettent d’aller plus loin pour étudier le problème de trace initiale (voir chapitre 3). Nous montrons que chaque solution nonnégative faible admet une trace initiale u(0) = (S,µ) comme q > 1, où S est un compact dans Ω, et µ est une mesure nonnegative de Radon dans R = Ω\S. De plus, la condition initiale est compris ensuite lim t→0 ∫R u(x,t)v(x)dx = ∫R v(x)dµ(x), v ∈ Cc(R). lim t→0 ∫w u(x,t)dx = ∞, pour chaque x0 ∈ S, et pour chaque w une voisinage de x0 dans Ω. Par contre, chaque solution nonnegative faible reçoit une initial trace v ∈ M+(Ω) comme q ∈ (0,1]. Par ailleurs, on s’intéresse aussi la regularité de solution faible. On va démontrer que chaque solution faible est une solution classique comme q ≤ 2. De plus, on est consacré à étudier L∞-estimates pour solution faible. Ce résultat joue un role important de montrer la regularité et aussi prouver l’unicité de solution faible (chapitre 4). Enfin, nous considéron l’existence de solution nonnegative d’équation (2). On va démontrer qu’il existe une solution maximal d’équation (2) telle que cela disparaît après un certain temps T* qui dépend seulement de N et ||u0||L1(Ω). / This thesis is devote to study the viscous Hamilton-Jacobi equation ∂tu - Δu + |∇u|q = 0, in Ω × (0,T), (3) where Ω ⊂ ℝN is a bounded smooth domain containing 0 ∈ ℝN, or Ω = ℝN; and q > 0. Moreover, we also consider the singular problem {ut - Δu + χ{u>0}u-β = 0; in Ω × (0,T), u = 0, on ∂Ω × (0,T), u(0) = u0, (4) where Ω is a bounded domain in ℝN, β ∈ (0,1), χw(x) = { 1, if x ∈ w, 0, if x ∉ w. , and u0 ∈ L1(Ω). Concerning equation (3), we study nonnegative solutions with a given initial data which is the nonnegative Radon measure on Ω, even the regular Borel measure on Ω. Particularly, we study the existence of very singular solution at (x,t) = (0,0) (see in [33]). We prove that there exists a unique very singular solution when q ∈ (1, N+2/N+1). While q ≥ N+2/N+1 we show the nonexistence of very singular solution. This leads to a result of removable singularity for singular solutions which satisfy u(x,0) = 0, in Ω\{0}, Besides, we also consider the existence of initial trace of equation (3) (see chapter 3). We demonstrate that any nonnegative solution u admits an initial trace which is presented by a couple (S,µ) as q > 1; where S is a compact in Ω, and µ is a nonnegative Radon measure on R, the complement of S in Ω. Moreover, the initial condition u(0) is described in the following sense lim t→0 ∫R u(x,t)v(x)dx = ∫R v(x)dµ(x), v ∈ Cc(R). lim t→0 ∫w u(x,t)dx = ∞, for any x0 ∈ S, and for any w neighborhood of x0 in Ω. While q ∈ (0,1], we show that any nonnegative solution of equation (3) receives an initial trace which is the nonnegative Radon measure on Ω. In this case, we observe that the set of singular points S = Ø, and the set of regular points R = Ω.

The existence of pathwise stationary solutions of this stochastic partial differential equation (SPDE, for abbreviation) is demonstrated. In Part II, a connection between certain kind of state constrained controlled Forward-Backward Stochastic Differential Equations (FBSDEs) and Hamilton-Jacobi-Bellman equations (HJB equations) are demonstrated. The special case provides a probabilistic representation of some geometric flows, including the mean curvature flows. Part II includes also a probabilistic proof of the finite time existence of the mean curvature flows.

La simulation numérique est indissociable du calcul haute performance. Ces vingt dernières années,l'informatique a connu l'émergence d'architectures parallèles multi-niveaux. Exploiter efficacement lapuissance de calcul de ces machines peut s'avérer être une tâche délicate et requérir une expertise à la foistechnologique sur des notions avancées de parallélisme ainsi que scientifique de part la nature même desproblèmes traités.Le travail de cette thèse est pluri-disciplinaire s'appuyant sur la conception d'une librairie de calculparallèle réutilisable pour la résolution des équations Hamilton-Jacobi-Bellman. Ces équations peuventse retrouver dans des domaines diverses et variés tels qu'en biomédical, géophysique, ou encore robotiqueen l'occurence sur les applications de planification de mouvement et de reconstruction de formestri-dimensionnelles à partir d'images bi-dimensionnelles. Nous montrons que les principaux algorithmesnumériques amenant a résoudre ces équations telles que les méthodes de type fast marching, ne sont pasappropriés pour être efficaces dans un contexte parallèle. Nous proposons la méthode buffered fast iterativequi permet d'obtenir une scalabilité parallèle non obtenue jusqu'alors. Un des points sensibles relevésdans cette thèse est de parvenir à trouver une recette de compromis entre abstraction, performance etmaintenabilité afin de garantir non seulement une réutilisabilitédans le sens classique du domaine de génielogiciel mais également en terme de réutilisabilité séquentielle/parallèle / Numerical simulation is strongly bound with high performance computing. Programming scientificsoftwares requires at the same time good knowledge on the mathematical numerical models and alsoon the techniques to make them efficient on today's computers. Indeed, these last twenty years, wehave experienced the rising of multi-level parallel architectures. The work in this thesis dissertation ismultidisciplinary by designing a reusable parallel numerical library for solving Hamilton-Jacobi-Bellmanequations. Such equations are involved in various fields such as in biomedical, geophysics or robotics. Inparticular, we will show interests in path planning and shape from shading applications. We show thatthe methods to solve these equations such as the widely used fast marching method, are not designedto be used effciently in a parallel context. We propose a buffered fast iterative method which givesan interesting parallel scalability. This dissertation takes interest in the challenge to find compromisesbetween abstraction, performance and maintainability in order to combine both software reusability andalso sequential/parallel reusability. We propose code abstraction allowing algorithmic and data genericitywhile trying to keep a maintainable and performant code potentially parallelizable