Cette thèse est consacrée à l’étude d’équation aux dérivée partielles dy type Hamilton- Jacobi ∂tu - Δu + |∇u|q = 0, in Ω × (0,T), (1) où Ω est un ouvert borné regulier dans ℝN contenant le point 0, ou Ω = ℝN; et q > 0. De plus, nous considérons l’équation parabolique avec un terme singulier {ut - Δu + χ{u>0}u-β = 0; in Ω × (0,T), u = 0, on ∂Ω × (0,T), u(0) = u0, (2) où Ω est un ouvert borné regulier dans ℝN, β ∈ (0,1), χw(x) = { 1, if x ∈ w, 0, if x ∉ w. , et u0 ∈ L1(Ω). Pour l’équation (1), nous étudions les solutions nonnégative avec une donnée initiale mesure de Radon bornée dans Ω, ou mesure de Borel dans Ω. En particulier, nous considérons l’existence de solution très singulière en (x,t) = (0,0) (voir [33]). Nous montrons qu’il existe une solution très singulière unique quand 1 < q < N+2/N+1. Par contre, on prouve la nonexistence d’une solution très singulière dans le cas q ≥ N+2/N+1. Ceci mène à un résultat de singularité éliminable pour solutions singulières qui satisfont la condition en bas u(x,0) = 0, in Ω\{0}, Les résultats ci-dessus nous permettent d’aller plus loin pour étudier le problème de trace initiale (voir chapitre 3). Nous montrons que chaque solution nonnégative faible admet une trace initiale u(0) = (S,µ) comme q > 1, où S est un compact dans Ω, et µ est une mesure nonnegative de Radon dans R = Ω\S. De plus, la condition initiale est compris ensuite lim t→0 ∫R u(x,t)v(x)dx = ∫R v(x)dµ(x), v ∈ Cc(R). lim t→0 ∫w u(x,t)dx = ∞, pour chaque x0 ∈ S, et pour chaque w une voisinage de x0 dans Ω. Par contre, chaque solution nonnegative faible reçoit une initial trace v ∈ M+(Ω) comme q ∈ (0,1]. Par ailleurs, on s’intéresse aussi la regularité de solution faible. On va démontrer que chaque solution faible est une solution classique comme q ≤ 2. De plus, on est consacré à étudier L∞-estimates pour solution faible. Ce résultat joue un role important de montrer la regularité et aussi prouver l’unicité de solution faible (chapitre 4). Enfin, nous considéron l’existence de solution nonnegative d’équation (2). On va démontrer qu’il existe une solution maximal d’équation (2) telle que cela disparaît après un certain temps T* qui dépend seulement de N et ||u0||L1(Ω). / This thesis is devote to study the viscous Hamilton-Jacobi equation ∂tu - Δu + |∇u|q = 0, in Ω × (0,T), (3) where Ω ⊂ ℝN is a bounded smooth domain containing 0 ∈ ℝN, or Ω = ℝN; and q > 0. Moreover, we also consider the singular problem {ut - Δu + χ{u>0}u-β = 0; in Ω × (0,T), u = 0, on ∂Ω × (0,T), u(0) = u0, (4) where Ω is a bounded domain in ℝN, β ∈ (0,1), χw(x) = { 1, if x ∈ w, 0, if x ∉ w. , and u0 ∈ L1(Ω). Concerning equation (3), we study nonnegative solutions with a given initial data which is the nonnegative Radon measure on Ω, even the regular Borel measure on Ω. Particularly, we study the existence of very singular solution at (x,t) = (0,0) (see in [33]). We prove that there exists a unique very singular solution when q ∈ (1, N+2/N+1). While q ≥ N+2/N+1 we show the nonexistence of very singular solution. This leads to a result of removable singularity for singular solutions which satisfy u(x,0) = 0, in Ω\{0}, Besides, we also consider the existence of initial trace of equation (3) (see chapter 3). We demonstrate that any nonnegative solution u admits an initial trace which is presented by a couple (S,µ) as q > 1; where S is a compact in Ω, and µ is a nonnegative Radon measure on R, the complement of S in Ω. Moreover, the initial condition u(0) is described in the following sense lim t→0 ∫R u(x,t)v(x)dx = ∫R v(x)dµ(x), v ∈ Cc(R). lim t→0 ∫w u(x,t)dx = ∞, for any x0 ∈ S, and for any w neighborhood of x0 in Ω. While q ∈ (0,1], we show that any nonnegative solution of equation (3) receives an initial trace which is the nonnegative Radon measure on Ω. In this case, we observe that the set of singular points S = Ø, and the set of regular points R = Ω.