O estudo dos processos quebra espontânea de simetria na natureza têm atraído interesse em diversas áreas da física, como por exemplo em física quântica no estudo das energias de um átomo tal como em física de altas energias, no estudo das partículas elementares. Esses processos até então envolviam sistemas físicos microscópicos, em 1993 surge uma proposta de agregar as idéias de quebra de simetria à um sistema macroscópico, o código genético. A idéia básica é que os códons que formam código se diferenciam em um processo de quebra de simetria, preservando suas propriedades de degenerescência, nos dando uma \"picture\" de como se fez essa diferenciação que resultam nos 20 aminoácidos e do sinal de terminação que se conhece nos dias atuais. Esse modelo nos diz por exemplo, quantos eram os aminoácidos primordiais. Nosso interesse está na verificação dessa quebra de simetria e estudar as relações entre os códons do ponto de vista temporal para tanto, usamos aqui um sistema dinâmico. Esse sistema conserva no princípio de sua evolução a simetria proposta pelo modelo e através de um processo de quebra de simetria estudaremos se esse processo reproduz a cadeia de quebra de simetria proposta no modelo. Como primeiro passo estudamos a representação tridimensional do grupo Sp( 6), que serve como ponto de partida no processo de quebra de simetria no modelo, essa representação é conhecida como grupo de Weyl do Sp(6). É possível construir um sistema dinâmico ou mapa, que na verdade é uma função do R3, com as mesmas propriedades de simetria do grupo de Weyl do Sp(6). A construção desse sistema e seu estudo matemático acarreta no segundo passo deste trabalho. O mapa construído depende de parâmetros que variados de forma correta produzem uma cadeia de quebra de simetria. O estudo dessa quebras consiste no terceiro passo deste trabalho. Por fim determinamos a ação ou seja, como esse sistema muda a rotulação dos códons anteriormente proposta no modelo e mais ainda, que informação biológica poderá ser extraída desse sistema. Como resultado obtivemos em grande parte a ratificação do modelo proposto mostrando que a quebra proposta e a rotulação dos códons de acordo com a ordem evolutiva dada pela quebra de simetria segue também uma coerência dinâmica. / The study of natural symmetry breaking processes have attracted interest in many physics areas including energy atoms studies in quantum physics as well elementary particles in high energy physics. These processes were related with microscpics physic systems, in 1993 appears one propose to use the ideas of symmetry breaking in one macroscopic system the genetic code. The basic idea is that the differentiation of the codons wich are components of the code was done in a process of symmetry breaking preserving the degeneracy properties given to us one picture of how this process occour resulting in 20 aminoacids and termination sign known in the present days. With this model for example, we can predict how many aminoacids were primordial\'s. Our interest is in verify this symmetry breaking and study the codon temporal relations for this we use a dynamical system. The preservation of the starting symmetry proposed by the model is the main caracteristic of our system and through of the symmetry breaking we will study what relations between the symmetry breaking proposed by the model and the dynamical symmetry breaking. As a first step we will study the group Sp(6) in its tridimensional representation which is the starting point in the symmetry breaking process in the mode!. This representation in known as Weyl group of Sp(6). It is possible construct this dynamical system or map, which is one function in the R3 with the same symmetry properties of the Weyl group of Sp(6). The construction of this map and its mathematical study is our second step of this work. The map depends on parameter\'s which are changed in a correct way to produce some symmetry breaking chain. The symmetry breaking studies is our third step. At the end we look at the action of our map in the codons, in other words, how this action change the codons labelling proposed by the model Moreover, what kind of biological information can be extract from this action. As a result the symmetry breaking and the labelling of codons proposed by the model are isomophics, with little restrictions, when compared with the dynamical systems.

O estudo dos processos quebra espontânea de simetria na natureza têm atraído interesse em diversas áreas da física, como por exemplo em física quântica no estudo das energias de um átomo tal como em física de altas energias, no estudo das partículas elementares. Esses processos até então envolviam sistemas físicos microscópicos, em 1993 surge uma proposta de agregar as idéias de quebra de simetria à um sistema macroscópico, o código genético. A idéia básica é que os códons que formam código se diferenciam em um processo de quebra de simetria, preservando suas propriedades de degenerescência, nos dando uma \"picture\" de como se fez essa diferenciação que resultam nos 20 aminoácidos e do sinal de terminação que se conhece nos dias atuais. Esse modelo nos diz por exemplo, quantos eram os aminoácidos primordiais. Nosso interesse está na verificação dessa quebra de simetria e estudar as relações entre os códons do ponto de vista temporal para tanto, usamos aqui um sistema dinâmico. Esse sistema conserva no princípio de sua evolução a simetria proposta pelo modelo e através de um processo de quebra de simetria estudaremos se esse processo reproduz a cadeia de quebra de simetria proposta no modelo. Como primeiro passo estudamos a representação tridimensional do grupo Sp( 6), que serve como ponto de partida no processo de quebra de simetria no modelo, essa representação é conhecida como grupo de Weyl do Sp(6). É possível construir um sistema dinâmico ou mapa, que na verdade é uma função do R3, com as mesmas propriedades de simetria do grupo de Weyl do Sp(6). A construção desse sistema e seu estudo matemático acarreta no segundo passo deste trabalho. O mapa construído depende de parâmetros que variados de forma correta produzem uma cadeia de quebra de simetria. O estudo dessa quebras consiste no terceiro passo deste trabalho. Por fim determinamos a ação ou seja, como esse sistema muda a rotulação dos códons anteriormente proposta no modelo e mais ainda, que informação biológica poderá ser extraída desse sistema. Como resultado obtivemos em grande parte a ratificação do modelo proposto mostrando que a quebra proposta e a rotulação dos códons de acordo com a ordem evolutiva dada pela quebra de simetria segue também uma coerência dinâmica. / The study of natural symmetry breaking processes have attracted interest in many physics areas including energy atoms studies in quantum physics as well elementary particles in high energy physics. These processes were related with microscpics physic systems, in 1993 appears one propose to use the ideas of symmetry breaking in one macroscopic system the genetic code. The basic idea is that the differentiation of the codons wich are components of the code was done in a process of symmetry breaking preserving the degeneracy properties given to us one picture of how this process occour resulting in 20 aminoacids and termination sign known in the present days. With this model for example, we can predict how many aminoacids were primordial\'s. Our interest is in verify this symmetry breaking and study the codon temporal relations for this we use a dynamical system. The preservation of the starting symmetry proposed by the model is the main caracteristic of our system and through of the symmetry breaking we will study what relations between the symmetry breaking proposed by the model and the dynamical symmetry breaking. As a first step we will study the group Sp(6) in its tridimensional representation which is the starting point in the symmetry breaking process in the mode!. This representation in known as Weyl group of Sp(6). It is possible construct this dynamical system or map, which is one function in the R3 with the same symmetry properties of the Weyl group of Sp(6). The construction of this map and its mathematical study is our second step of this work. The map depends on parameter\'s which are changed in a correct way to produce some symmetry breaking chain. The symmetry breaking studies is our third step. At the end we look at the action of our map in the codons, in other words, how this action change the codons labelling proposed by the model Moreover, what kind of biological information can be extract from this action. As a result the symmetry breaking and the labelling of codons proposed by the model are isomophics, with little restrictions, when compared with the dynamical systems.

A proposta deste trabalho é apresentar resultados para o estudo sistemático de sistemas dinâmicos reversíveis-equivariantes, ou seja, em presença simultânea de simetrias e antisimetrias. Este é o caso em que o domínio e as equações que regem o sistema são invariantes pela ação de um grupo de Lie compacto Γ formado pelas simetrias e anti-simetrias do problema. Apresentamos métodos de teoria de Singularidades e teoria de invariantes para classificar bifurcações a um parâmetro de pontos de equilíbrio destes sistemas. Para isso, separamos o estudo de aplicações Γ-reversíveis-equivariantes em dois casos: auto-dual e não auto-dual. No primeiro caso, a existência de um isomorfismo linear Γ-reversível-equivariante estabelece uma correspondência entre a classificação de problemas Γ-reversíveis-equivariantes e a classificação de problemas Γ-equivariantes associados, para os quais todos os elementos de Γ agem como simetria. Os resultados obtidos para o caso não auto-dual se baseiam em teoria de invariantes e envolvem técnicas algébricas que reduzem a análise ao caso polinomial invariante. Dois algoritmos simbólicos são estabelecidos para o cálculo de geradores para o módulo das funções anti-invariantes e para o módulo das aplicações reversíveis-equivariantes. / The purpose of this work is to present results for the sistematic study of reversible-equivariant dynamical systems, namely in simultaneous presence of symmetries and reversing simmetries. This is the case when the domain and the equations modeling the system are invariant under the action of a compact Lie group Γ formed by the symmetries and reversing symmetries of the problem. We present methods in Singularities and Invariant theory to classify oneparameter steady-state bifurcations of these systems. For that, we split the study of the ¡¡reversible-equivariant mapping into two cases: self-dual and non self-dual. In the first case, the existence of a Γ-reversible-equivariant linear isomorphism establishes a one-toone correspondence between the classification of Γ-reversible-equivariant problems and the classification of the associated Γ-equivariant problems, for which all elements in Γ act as symmetries. The results obtained for the non self-dual case are based on Invariant theory and involve algebraic techniques that reduce the analysis to the invariant polynomial case. Two symbolic algorithms are established for the computation of generators for the module of anti-invariant functions and for the module of reversible-equivariant mappings.

A proposta deste trabalho é apresentar resultados para o estudo sistemático de sistemas dinâmicos reversíveis-equivariantes, ou seja, em presença simultânea de simetrias e antisimetrias. Este é o caso em que o domínio e as equações que regem o sistema são invariantes pela ação de um grupo de Lie compacto Γ formado pelas simetrias e anti-simetrias do problema. Apresentamos métodos de teoria de Singularidades e teoria de invariantes para classificar bifurcações a um parâmetro de pontos de equilíbrio destes sistemas. Para isso, separamos o estudo de aplicações Γ-reversíveis-equivariantes em dois casos: auto-dual e não auto-dual. No primeiro caso, a existência de um isomorfismo linear Γ-reversível-equivariante estabelece uma correspondência entre a classificação de problemas Γ-reversíveis-equivariantes e a classificação de problemas Γ-equivariantes associados, para os quais todos os elementos de Γ agem como simetria. Os resultados obtidos para o caso não auto-dual se baseiam em teoria de invariantes e envolvem técnicas algébricas que reduzem a análise ao caso polinomial invariante. Dois algoritmos simbólicos são estabelecidos para o cálculo de geradores para o módulo das funções anti-invariantes e para o módulo das aplicações reversíveis-equivariantes. / The purpose of this work is to present results for the sistematic study of reversible-equivariant dynamical systems, namely in simultaneous presence of symmetries and reversing simmetries. This is the case when the domain and the equations modeling the system are invariant under the action of a compact Lie group Γ formed by the symmetries and reversing symmetries of the problem. We present methods in Singularities and Invariant theory to classify oneparameter steady-state bifurcations of these systems. For that, we split the study of the ¡¡reversible-equivariant mapping into two cases: self-dual and non self-dual. In the first case, the existence of a Γ-reversible-equivariant linear isomorphism establishes a one-toone correspondence between the classification of Γ-reversible-equivariant problems and the classification of the associated Γ-equivariant problems, for which all elements in Γ act as symmetries. The results obtained for the non self-dual case are based on Invariant theory and involve algebraic techniques that reduce the analysis to the invariant polynomial case. Two symbolic algorithms are established for the computation of generators for the module of anti-invariant functions and for the module of reversible-equivariant mappings.