Foi encontrada uma simetria exata para o código genético universal sob um grupo finito conhecido em matemática como grupo de Klein. A mesma simetria está também presente em quase todos códigos não universais, mitocondriais e nucleares. A análise da árvore filogenética para a evolução dos códigos mitocondriais revela que mudanças nos códigos mitocondriais com relação ao código universal ao longo da linha principal de evolução preservam esta simetria, com uma tendência de voltar a uma simetria primordial. Nas quebras laterais da árvore evolucionária, a maioria das modificações também respeitam a simetria de Klein. As poucas exceções onde ela é quebrada correspondem a realocações que parecem ser instáveis ou incompletas. Uma vez que o grupo de Klein emerge naturalmente do modelo simplético para a evolução prebiótica levando ao código genético padrão, nós concluímos que princípios de simetria guiam a evolução do código genético não somente antes mas também após o estabelecimento do código padrão. / The standard genetic code is found to exhibit an exact symmetry under a finite group known in mathematics as the Klein group. The same symmetry is also present in almost all non-standard codes, mitochondrial as well nuclear. The analysis of the phylogenetic tree for the evolution of the mitochondrial codes reveals that all changes along the main line of evolution preserve this symmetry, with a tendency towards symmetry enhancement. ln the side branches of the evolutionary tree, the majority of changes also respect the symmetry. The few exceptions where it is broken correspond to reassignments that appear to be unstable or incomplete. Since the Klein group emerge naturally from the sympletic model for the prebiotic evolution leading to the standard code, we conclude that symmetry principles guide the evolution of the genetic code not only before but also after establishment of the standard code

A evolução do código genético foi analisada por Hornos & Hornos segundo um modelo algébrico baseado em um processo de quebra de simetria induzido pela cadeia de álgebras de Lie, sp (6) &#8835 sp (4) &#8853 su (2) &#8835 su (2) &#8853 su (2) &#8853 su (2). Inserindo a álgebra sp (6) numa álgebra unitária de maior dimensão e possível estender a analise, bem conhecida para os grupos unitários, a serie simplética. Construímos aqui polinômios em termos de operadores de destruição que constituem uma base para a representação irredutível da álgebra sp (6) na cadeia canônica. A eles associamos os aminoácidos e os códons, seguindo o principio do modelo algébrico para evolução do código genético. Implementamos toda a ação dos operadores em linguagem algébrica Maple, com o recurso de realizar simplificações por meio de um produto escalar. Podemos, realizar ações de qualquer função analítica dos elementos desta álgebra simplética sobre estes vetores de estado alem do Hamiltoniano de Hornos - que consiste de operadores de Casimir com ação conhecida. Verificamos aqui que algumas transições produzidas pelos geradores seguem simetrias de reflexão no diagrama de pesos. Por outro lado encontramos regras de seleção estabelecidas pela simetria simplética e pela cadeia especifica. Discutimos as ações dos geradores do grupo sp (6) baseado num novo assignment que sob certas hipóteses de simetrias se mostrou único / The evolution of the genetic code has been discussed by Hornos & Hornos with an algebraic model based on the chain of Lie algebras, sp (6) &#8835 sp (4) &#8853 su (2) &#8835 su (2) &#8853 su (2) &#8853 su (2). By embedding the sp(6) algebra into a unitary algebra of larger dimension, it\'s possible to extend a previous analysis, which holds for unitary groups, to the simpletic series. We construct here, following a procedure developed by Marcos Moshinsky, polynomials in terms of creation operators, which form a basis for the irreducible representation of the sp (6) algebra in the canonical chain. To these polynomials, truly vector states, we associate, in the light of the algebraic aproach for the evolution of the genetic code, the amino acids and the codons. All operator action was provided by a maple procedure that uses a scalar product based on simplification routine. Therefore we can perform actions of any analytic function of the simpletic algebra operators on these vector states besides the Hornos\'s Harniltonian - which by its turn consists of Casimirs with a known action. We find here that some transitions produced by the generators follow reflectional symmetries in the weight diagram, together with selection rules imposed by the simpletic underground symmetries of the representation and the specific chain. We discuss the operator actions based on the new assignment, which was proved to be unique under symmetry hypothesis

A evolução do código genético foi analisada por Hornos & Hornos segundo um modelo algébrico baseado em um processo de quebra de simetria induzido pela cadeia de álgebras de Lie, sp (6) &#8835 sp (4) &#8853 su (2) &#8835 su (2) &#8853 su (2) &#8853 su (2). Inserindo a álgebra sp (6) numa álgebra unitária de maior dimensão e possível estender a analise, bem conhecida para os grupos unitários, a serie simplética. Construímos aqui polinômios em termos de operadores de destruição que constituem uma base para a representação irredutível da álgebra sp (6) na cadeia canônica. A eles associamos os aminoácidos e os códons, seguindo o principio do modelo algébrico para evolução do código genético. Implementamos toda a ação dos operadores em linguagem algébrica Maple, com o recurso de realizar simplificações por meio de um produto escalar. Podemos, realizar ações de qualquer função analítica dos elementos desta álgebra simplética sobre estes vetores de estado alem do Hamiltoniano de Hornos - que consiste de operadores de Casimir com ação conhecida. Verificamos aqui que algumas transições produzidas pelos geradores seguem simetrias de reflexão no diagrama de pesos. Por outro lado encontramos regras de seleção estabelecidas pela simetria simplética e pela cadeia especifica. Discutimos as ações dos geradores do grupo sp (6) baseado num novo assignment que sob certas hipóteses de simetrias se mostrou único / The evolution of the genetic code has been discussed by Hornos & Hornos with an algebraic model based on the chain of Lie algebras, sp (6) &#8835 sp (4) &#8853 su (2) &#8835 su (2) &#8853 su (2) &#8853 su (2). By embedding the sp(6) algebra into a unitary algebra of larger dimension, it\'s possible to extend a previous analysis, which holds for unitary groups, to the simpletic series. We construct here, following a procedure developed by Marcos Moshinsky, polynomials in terms of creation operators, which form a basis for the irreducible representation of the sp (6) algebra in the canonical chain. To these polynomials, truly vector states, we associate, in the light of the algebraic aproach for the evolution of the genetic code, the amino acids and the codons. All operator action was provided by a maple procedure that uses a scalar product based on simplification routine. Therefore we can perform actions of any analytic function of the simpletic algebra operators on these vector states besides the Hornos\'s Harniltonian - which by its turn consists of Casimirs with a known action. We find here that some transitions produced by the generators follow reflectional symmetries in the weight diagram, together with selection rules imposed by the simpletic underground symmetries of the representation and the specific chain. We discuss the operator actions based on the new assignment, which was proved to be unique under symmetry hypothesis

Foi encontrada uma simetria exata para o código genético universal sob um grupo finito conhecido em matemática como grupo de Klein. A mesma simetria está também presente em quase todos códigos não universais, mitocondriais e nucleares. A análise da árvore filogenética para a evolução dos códigos mitocondriais revela que mudanças nos códigos mitocondriais com relação ao código universal ao longo da linha principal de evolução preservam esta simetria, com uma tendência de voltar a uma simetria primordial. Nas quebras laterais da árvore evolucionária, a maioria das modificações também respeitam a simetria de Klein. As poucas exceções onde ela é quebrada correspondem a realocações que parecem ser instáveis ou incompletas. Uma vez que o grupo de Klein emerge naturalmente do modelo simplético para a evolução prebiótica levando ao código genético padrão, nós concluímos que princípios de simetria guiam a evolução do código genético não somente antes mas também após o estabelecimento do código padrão. / The standard genetic code is found to exhibit an exact symmetry under a finite group known in mathematics as the Klein group. The same symmetry is also present in almost all non-standard codes, mitochondrial as well nuclear. The analysis of the phylogenetic tree for the evolution of the mitochondrial codes reveals that all changes along the main line of evolution preserve this symmetry, with a tendency towards symmetry enhancement. ln the side branches of the evolutionary tree, the majority of changes also respect the symmetry. The few exceptions where it is broken correspond to reassignments that appear to be unstable or incomplete. Since the Klein group emerge naturally from the sympletic model for the prebiotic evolution leading to the standard code, we conclude that symmetry principles guide the evolution of the genetic code not only before but also after establishment of the standard code

Orientador: Reginaldo Palazzo Júnior / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-19T17:49:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Oliveira_AndersonJosede_M.pdf: 1619063 bytes, checksum: 79a49301084eecde745f0e73cddfc1fa (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Uma área de pesquisa em franca expansão é a modelagem matemática do código genético, por meio da qual pode-se identificar as características e propriedades do mesmo. Neste trabalho apresentamos alguns modelos matemáticos aplicados à biologia, especificamente relacionado ao código genético. Os objetivos deste trabalho são: a) caracterização da hidropaticidade dos aminoácidos através da construção de reticulados booleanos e diagramas de Hasse associados a cada rotulamento do código genético, b) proposta de um algoritmo soma com transporte para efetuar a soma entre códons, ferramenta importante em análises mutacionais, c) representação polinomial dos códons do código genético, d) comparação dos resultados dos rotulamentos A, B e C em cada uma das modelagens construídas, e) análise do comportamento dos aminoácidos em cada um dos rotulamentos do código genético. Os resultados encontrados permitem a utilização de tais ferramentas em diversas áreas do conhecimento como bioinformática, biomatemática, engenharia genética, etc, devido a interdisciplinaridade do trabalho, onde elementos de biologia, matemática e engenharia foram utilizados / Abstract: A research area in frank expansion is the mathematical modeling of the genetic code, through can identify the characteristics and properties of them. In this paper we present some mathematical models applied to biology, specifically related to the genetic code. The aims of this work are: a) a characterization of the hydropathy of the amino acids through the construction of boolean lattices and Hasse diagrams associated with each labeling of the genetic code, b) the proposal of a sum algorithm of transportation to make the sum of codons, important tool in mutational analysis, c) a polynomial representation of the codons of the genetic code, d) a comparing of the results of the A, B and C labels in each of the built modeling, e) an analysis of the behavior of the amino acids in each of the labels of the genetic code. The results allow the use of such tools in a lot of areas like bio informatics, biomathematics, genetic engineering, etc., due to the interdisciplinary of the paper, where elements of biology, mathematics and engineering were used / Mestrado / Telecomunicações e Telemática / Mestre em Engenharia Elétrica

O estudo dos processos quebra espontânea de simetria na natureza têm atraído interesse em diversas áreas da física, como por exemplo em física quântica no estudo das energias de um átomo tal como em física de altas energias, no estudo das partículas elementares. Esses processos até então envolviam sistemas físicos microscópicos, em 1993 surge uma proposta de agregar as idéias de quebra de simetria à um sistema macroscópico, o código genético. A idéia básica é que os códons que formam código se diferenciam em um processo de quebra de simetria, preservando suas propriedades de degenerescência, nos dando uma \"picture\" de como se fez essa diferenciação que resultam nos 20 aminoácidos e do sinal de terminação que se conhece nos dias atuais. Esse modelo nos diz por exemplo, quantos eram os aminoácidos primordiais. Nosso interesse está na verificação dessa quebra de simetria e estudar as relações entre os códons do ponto de vista temporal para tanto, usamos aqui um sistema dinâmico. Esse sistema conserva no princípio de sua evolução a simetria proposta pelo modelo e através de um processo de quebra de simetria estudaremos se esse processo reproduz a cadeia de quebra de simetria proposta no modelo. Como primeiro passo estudamos a representação tridimensional do grupo Sp( 6), que serve como ponto de partida no processo de quebra de simetria no modelo, essa representação é conhecida como grupo de Weyl do Sp(6). É possível construir um sistema dinâmico ou mapa, que na verdade é uma função do R3, com as mesmas propriedades de simetria do grupo de Weyl do Sp(6). A construção desse sistema e seu estudo matemático acarreta no segundo passo deste trabalho. O mapa construído depende de parâmetros que variados de forma correta produzem uma cadeia de quebra de simetria. O estudo dessa quebras consiste no terceiro passo deste trabalho. Por fim determinamos a ação ou seja, como esse sistema muda a rotulação dos códons anteriormente proposta no modelo e mais ainda, que informação biológica poderá ser extraída desse sistema. Como resultado obtivemos em grande parte a ratificação do modelo proposto mostrando que a quebra proposta e a rotulação dos códons de acordo com a ordem evolutiva dada pela quebra de simetria segue também uma coerência dinâmica. / The study of natural symmetry breaking processes have attracted interest in many physics areas including energy atoms studies in quantum physics as well elementary particles in high energy physics. These processes were related with microscpics physic systems, in 1993 appears one propose to use the ideas of symmetry breaking in one macroscopic system the genetic code. The basic idea is that the differentiation of the codons wich are components of the code was done in a process of symmetry breaking preserving the degeneracy properties given to us one picture of how this process occour resulting in 20 aminoacids and termination sign known in the present days. With this model for example, we can predict how many aminoacids were primordial\'s. Our interest is in verify this symmetry breaking and study the codon temporal relations for this we use a dynamical system. The preservation of the starting symmetry proposed by the model is the main caracteristic of our system and through of the symmetry breaking we will study what relations between the symmetry breaking proposed by the model and the dynamical symmetry breaking. As a first step we will study the group Sp(6) in its tridimensional representation which is the starting point in the symmetry breaking process in the mode!. This representation in known as Weyl group of Sp(6). It is possible construct this dynamical system or map, which is one function in the R3 with the same symmetry properties of the Weyl group of Sp(6). The construction of this map and its mathematical study is our second step of this work. The map depends on parameter\'s which are changed in a correct way to produce some symmetry breaking chain. The symmetry breaking studies is our third step. At the end we look at the action of our map in the codons, in other words, how this action change the codons labelling proposed by the model Moreover, what kind of biological information can be extract from this action. As a result the symmetry breaking and the labelling of codons proposed by the model are isomophics, with little restrictions, when compared with the dynamical systems.

O código genético é altamente conservado e está presente na maior parte dos organismos vivos. Uma questão que tem intrigado os cientistas é se o código genético é fruto do acaso ou de um processo evolutivo. Se qualquer associação entre aminoácidos e códons é possível, então existem cerca de 1, 51 × 1084 códigos possíveis. A hipótese de que o código genético evoluiu é suportada por sua robustez frente a mutações. Duas metodologias tem sido utilizadas para estudar esta hipótese: a abordagem estatística, que estima o número de códigos aleatórios melhores que o código genético padrão, e a abordagem por engenharia, que compara o código padrão com os melhores códigos hipotéticos obtidos por meio de um algoritmo de otimização. A utilização de ambas abordagens têm sido feita considerando-se apenas uma função objetivo, baseada na robustez frente a mutações quando uma determinada propriedade dos aminoácidos é considerada. Neste trabalho, propõe-se considerar mais de um objetivo simultaneamente para a avaliação dos códigos genéticos. Para isso, três abordagens multiobjetivo utilizando Algoritmos Genéticos são empregadas. São elas: abordagem lexicográfica, ponderada e de Pareto. Os resultados indicam que a utilização de mais de um objetivo é promissor, sendo os códigos hipotéticos gerados mais similares ao código genético padrão, quando comparados com os resultados obtidos por outros autores. / The genetic code is highly preserved and it is present in most living organisms. If we consider all codes mapping the 64 codes into 20 amino acids and one stop codon, there are more than 1.51 × 1084 possible genetic codes. The main question related to the organization of the genetic code is why exactly the standard code was selected among this huge number of possible genetic codes.The hypothesis that the genetic code has evolved is supported by its robustness against mutations. Many researchers argue that the organization of the standard code is a product of natural selection and that the codes robustness against mutations would support this hypothesis. Two methodologies have been used to investigate this hypothesis: the first one is the statistical approach which estimates the number of random codes which are better than the standard genetic code. The second is the engineering approach, which compare the standard code with the best hypothetical codes obtained by an optimization algorithm. Both approaches have been used considering only one objective function, which is usually based on the robustness against changes using the polar requirement. In this research, we propose to consider more than one objective simultaneously for the evaluation of genetic codes. For this purpose, three approaches using multi-objective genetic algorithms were employed, are they: lexicographic, weighted, and Pareto-based. The results indicate that considering more than one objective function is promising: the hypothetical codes generated are more similar to the standard genetic code, when compared with the results obtained by the monoobjective approach.

Neste trabalho resolvemos o problema da classicação dos possíveis esquemas de quebra de simetria que reproduzem as degenerescências do código genético na categoria dos grupos finitos simples, contribuindo assim para a busca de modelos algébricos para a evolução do código genético, iniciada por Hornos & Hornos. / In this work we solve the problem of classifying the possible symmetry breaking schemes based on simple finite groups that reproduce the degeneracies of the genetic code, thus contributing to the search for algebraic models that describe the evolution of the genetic code, initiated by Hornos & Hornos.

O código genético é altamente conservado e está presente na maior parte dos organismos vivos. Uma questão que tem intrigado os cientistas é se o código genético é fruto do acaso ou de um processo evolutivo. Se qualquer associação entre aminoácidos e códons é possível, então existem cerca de 1, 51 × 1084 códigos possíveis. A hipótese de que o código genético evoluiu é suportada por sua robustez frente a mutações. Duas metodologias tem sido utilizadas para estudar esta hipótese: a abordagem estatística, que estima o número de códigos aleatórios melhores que o código genético padrão, e a abordagem por engenharia, que compara o código padrão com os melhores códigos hipotéticos obtidos por meio de um algoritmo de otimização. A utilização de ambas abordagens têm sido feita considerando-se apenas uma função objetivo, baseada na robustez frente a mutações quando uma determinada propriedade dos aminoácidos é considerada. Neste trabalho, propõe-se considerar mais de um objetivo simultaneamente para a avaliação dos códigos genéticos. Para isso, três abordagens multiobjetivo utilizando Algoritmos Genéticos são empregadas. São elas: abordagem lexicográfica, ponderada e de Pareto. Os resultados indicam que a utilização de mais de um objetivo é promissor, sendo os códigos hipotéticos gerados mais similares ao código genético padrão, quando comparados com os resultados obtidos por outros autores. / The genetic code is highly preserved and it is present in most living organisms. If we consider all codes mapping the 64 codes into 20 amino acids and one stop codon, there are more than 1.51 × 1084 possible genetic codes. The main question related to the organization of the genetic code is why exactly the standard code was selected among this huge number of possible genetic codes.The hypothesis that the genetic code has evolved is supported by its robustness against mutations. Many researchers argue that the organization of the standard code is a product of natural selection and that the codes robustness against mutations would support this hypothesis. Two methodologies have been used to investigate this hypothesis: the first one is the statistical approach which estimates the number of random codes which are better than the standard genetic code. The second is the engineering approach, which compare the standard code with the best hypothetical codes obtained by an optimization algorithm. Both approaches have been used considering only one objective function, which is usually based on the robustness against changes using the polar requirement. In this research, we propose to consider more than one objective simultaneously for the evaluation of genetic codes. For this purpose, three approaches using multi-objective genetic algorithms were employed, are they: lexicographic, weighted, and Pareto-based. The results indicate that considering more than one objective function is promising: the hypothetical codes generated are more similar to the standard genetic code, when compared with the results obtained by the monoobjective approach.

O estudo dos processos quebra espontânea de simetria na natureza têm atraído interesse em diversas áreas da física, como por exemplo em física quântica no estudo das energias de um átomo tal como em física de altas energias, no estudo das partículas elementares. Esses processos até então envolviam sistemas físicos microscópicos, em 1993 surge uma proposta de agregar as idéias de quebra de simetria à um sistema macroscópico, o código genético. A idéia básica é que os códons que formam código se diferenciam em um processo de quebra de simetria, preservando suas propriedades de degenerescência, nos dando uma \"picture\" de como se fez essa diferenciação que resultam nos 20 aminoácidos e do sinal de terminação que se conhece nos dias atuais. Esse modelo nos diz por exemplo, quantos eram os aminoácidos primordiais. Nosso interesse está na verificação dessa quebra de simetria e estudar as relações entre os códons do ponto de vista temporal para tanto, usamos aqui um sistema dinâmico. Esse sistema conserva no princípio de sua evolução a simetria proposta pelo modelo e através de um processo de quebra de simetria estudaremos se esse processo reproduz a cadeia de quebra de simetria proposta no modelo. Como primeiro passo estudamos a representação tridimensional do grupo Sp( 6), que serve como ponto de partida no processo de quebra de simetria no modelo, essa representação é conhecida como grupo de Weyl do Sp(6). É possível construir um sistema dinâmico ou mapa, que na verdade é uma função do R3, com as mesmas propriedades de simetria do grupo de Weyl do Sp(6). A construção desse sistema e seu estudo matemático acarreta no segundo passo deste trabalho. O mapa construído depende de parâmetros que variados de forma correta produzem uma cadeia de quebra de simetria. O estudo dessa quebras consiste no terceiro passo deste trabalho. Por fim determinamos a ação ou seja, como esse sistema muda a rotulação dos códons anteriormente proposta no modelo e mais ainda, que informação biológica poderá ser extraída desse sistema. Como resultado obtivemos em grande parte a ratificação do modelo proposto mostrando que a quebra proposta e a rotulação dos códons de acordo com a ordem evolutiva dada pela quebra de simetria segue também uma coerência dinâmica. / The study of natural symmetry breaking processes have attracted interest in many physics areas including energy atoms studies in quantum physics as well elementary particles in high energy physics. These processes were related with microscpics physic systems, in 1993 appears one propose to use the ideas of symmetry breaking in one macroscopic system the genetic code. The basic idea is that the differentiation of the codons wich are components of the code was done in a process of symmetry breaking preserving the degeneracy properties given to us one picture of how this process occour resulting in 20 aminoacids and termination sign known in the present days. With this model for example, we can predict how many aminoacids were primordial\'s. Our interest is in verify this symmetry breaking and study the codon temporal relations for this we use a dynamical system. The preservation of the starting symmetry proposed by the model is the main caracteristic of our system and through of the symmetry breaking we will study what relations between the symmetry breaking proposed by the model and the dynamical symmetry breaking. As a first step we will study the group Sp(6) in its tridimensional representation which is the starting point in the symmetry breaking process in the mode!. This representation in known as Weyl group of Sp(6). It is possible construct this dynamical system or map, which is one function in the R3 with the same symmetry properties of the Weyl group of Sp(6). The construction of this map and its mathematical study is our second step of this work. The map depends on parameter\'s which are changed in a correct way to produce some symmetry breaking chain. The symmetry breaking studies is our third step. At the end we look at the action of our map in the codons, in other words, how this action change the codons labelling proposed by the model Moreover, what kind of biological information can be extract from this action. As a result the symmetry breaking and the labelling of codons proposed by the model are isomophics, with little restrictions, when compared with the dynamical systems.