Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée. / This thesis contributes to the study of geometric actions of word-hyperbolic groups on finite dimensional CAT(0) cube complexes. We are mainly interested in the case of fundamental groups of closed hyperbolic manifolds. The philosophy coming from pioneer work of M. Sageev is that a hyperbolic group with sufficiently many quasi-convex codimension one subgroups acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. We prove a precise criterion for cubulation in the case of closed hyperbolic manifolds, by constructing spaces with walls quasi-isometric to real hyperbolic space. We next focus on the case of three dimensional closed hyperbolic manifolds which are virtually fibered over the circle. In this setting, we use a construction of incompressibly immersed cut-and-cross-join surfaces due to D. Cooper, D. Long and A. Reid that yields surface subgroups of the fundamental group G of the 3-manifold M. By expanding on work of J. Masters and using the structure of the Cannon-Thurston map, we are able to build many quasi-convex surface subgroups of G whose limits sets may be used to separate any pair of distinct points in the boundary of the universal cover of M. As a consequence, G acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. D. Wise then asks if it is possible that G acts both geometrically and virtually co-specially (in the sense of F. Haglund and D. Wise) on a CAT(0) cube complex. A positive answer would solve the long-standing conjectures that G is large and M has infinite virtual first Betti number. We then explain why finding a virtually embedded cut-and-cross-join surface in a finite cover of M would be enough to solve this problem. Finally, we give some algebraic and then geometric and cohomological sufficient conditions for a given cut-and-cross-join surface to virtually embed.

Dans le premier chapitre, nous définissons la notion d’espaces à partitions pondérées qui généralise la structure d’espaces à murs mesurés et qui fournit un cadre géométrique à l’étude des actions isométriques affines sur des espaces de Banach pour les groupes localement compacts à base dénombrable. Dans un premier temps, nous caractérisons les actions isométriques affines propres sur des espaces de Banach en termes d’actions propres par automorphismes sur des espaces à partitions pondérées. Puis, nous nous intéressons aux structures de partitions pondérées naturelles pour les actions de certaines constructions de groupes : somme directe ; produit semi-directe ; produit en couronne et produit libre. Nous établissons ainsi des résultats de stabilité de la propriété PLp par ces constructions. Notamment, nous généralisons un résultat de Cornulier, Stalder et Valette de la façon suivante : le produit en couronne d’un groupe ayant la propriété PLp par un groupe ayant la propriété de Haagerup possède la propriété PLp. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons aux espaces métriques quasi-médians - une généralisation des espaces hyperboliques à la Gromov et des espaces médians - et à leurs propriétés. Après l’étude de quelques exemples, nous démontrons qu’un espace δ-médian est δ′-médian pour tout δ′ ≥ δ. Ce résultat nous permet par la suite d’établir la stabilité par produit directe et par produit libre d’espaces métriques - notion que nous développons par la même occasion. Le troisième chapitre est consacré à la définition et l’étude d’une distance propre, invariante à gauche et qui engendre la topologie explicite sur les groupes localement compacts, compactement engendrés. Après avoir montré les propriétés précédentes, nous prouvons que cette distance est quasi-isométrique à la distance des mots sur le groupe et que la croissance du volume des boules est contrôlée exponentiellement. / In the first chapter, we define the notion of spaces with labelled partitions which generalizes the structure of spaces with measured walls : it provides a geometric setting to study isometric affine actions on Banach spaces of second countable locally compact groups. First, we characterise isometric affine actions on Banach spaces in terms of proper actions by automorphisms on spaces with labelled partitions. Then, we focus on natural structures of labelled partitions for actions of some group constructions : direct sum ; semi-direct product ; wreath product and free product. We establish stability results for property PLp by these constructions. Especially, we generalize a result of Cornulier, Stalder and Valette in the following way : the wreath product of a group having property PLp by a Haagerup group has property PLp. In the second chapter, we focus on the notion of quasi-median metric spaces - a generalization of both Gromov hyperbolic spaces and median spaces - and its properties. After the study of some examples, we show that a δ-median space is δ′-median for all δ′ ≥ δ. This result gives us a way to establish the stability of the quasi-median property by direct product and by free product of metric spaces - notion that we develop at the same time. The third chapter is devoted to the definition and the study of an explicit proper, left-invariant metric which generates the topology on locally compact, compactly generated groups. Having showed these properties, we prove that this metric is quasi-isometric to the word metric and that the volume growth of the balls is exponentially controlled.