El objetivo de esta tesis es el estudio de la hiperciclicidad y el caos en espacios de Fréchet. Concretamente se abordan las siguientes cuestiones: Estudio de la hiperciclicidad y el caos de operadores backward shift ponderados en espacios escalonados de Kóthe. Se obtienen caracterizaciones haciendo uso de diagramas conmutativos y de un lema de Comparación que generaliza el Principio de Comparación de Hiperciclicidad de Shapiro. Se prueban también resultados sobre la hiperciclicidad y el caos de perturbaciones de la identidad por operadores backward shift. Estudio de la existencia de operadores caóticos en espacios de Fréchet separables de dimensión infinita. Se presenta un ejemplo de espacio de Banach separable de dimensión infinita que no admite ningún operador caótico. La demostración depende de resultados profundos en la teoría de espacios de Banach; se utilizan, por primera vez en este contexto, los espacios de Banach complejos hereditariamente indescomponibles recientemente obtenidos por Gowers y Maurey. Estudio de la incidencia de los productos sensoriales en la hiperciclicidad y el caos. Los resultados probados se pueden aplicar al estudio de la hiperciclicidad de operadores en espacios de funciones de varias variables. También se estudia la universalidad de operadores de composición en distintas álgebras de operadores y como consecuencia se dan condiciones de existencia de subespacios cerrados de vectores universales. Estudio de la hiperciclicidad y el caos de ciertos polinomios (uno homogéneo y otro no / Martínez Jiménez, F. (2000). Universalidad, hiperciclicidad y caos en espacios de Fréchet [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/55405

La primera parte lleva por título Operadores en Espacios de Fréchet y Espacios Localmente Convexos y está dedicada al estudio de las clases de los monomorfismos, de los operadores casi abiertos, de los operadores abiertos y de los operadores sobreyectivos entre espacios de Fréchet y espacios localmente convexos. Se caracteriza que los conjuntos de estas clases de operadores sean abiertos. Se estudian las relaciones entre un operador y su adjunto para estas clases de operadores. Se presenta un análisis completo de las posibles extensiones de resultados en espacios de Banach al contexto de espacios de Fréchet y de espacios (DF) completos. Se definen tres operadores asociados canónicamente con un operador dado usando los espacios de sucesiones acotadas y los espacios de sucesiones convergentes a cero. Se estudian de las relaciones existentes entre las propiedades del operador inicial y las propiedades de los operadores asociados. La segunda parte lleva por título Semigrupos de Operadores Hipercíclicos y Caóticos y está dedicada al estudio de la hiperciclicidad, la propiedad de ser mezclante y la de ser caótico para semigrupos de operadores lineales y continuos de un F-espacio en sí mismo y con semigrupo índice los reales, los reales positivos o sectores del plano complejo. Se recuerdan las nociones básicas de hiperciclicidad, de la propiedad de ser mezclante y de caos para operadores y se generalizan para semigrupos. Se reduce el estudio de la hiperciclicidad y de la propiedad de ser mezclante en semigrupos al estudio de estos conceptos en discretizaciones concretas del semigrupo. Se generalizan los Criterios de Hiperciclicidad para operadores dados por Kitai y Bès a semigrupos. Se investiga la existencia de discretizaciones autónomas hipercíclicas en semigrupos hipercíclicos y mezclantes. Se investiga la hiperciclicidad y el caos para semigrupos de traslación en espacios que sean límites proyectivos ........ / Conejero Casares, JA. (2004). Operadores y semigrupos de operadores en espacios de Fréchet y espacios localmente convexos [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/55923

En el año 1960 Komatsu introdujo ciertas clases de funciones infinitamente derivables definidas mediante estimaciones del crecimiento de los sucesivos iterados de un operador en derivadas parciales cuando estudiaba propiedades de regularidad de las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales. Esta línea de investigación ha sido muy activa hasta la actualidad a través de los trabajos de muchos autores. Destacamos, entre otros, Bolley, Camus, Kotake, Langenbruch, Métivier, Narasimhan, Newberger, Rodino, Zanghirati y Zielezny. Toda esta bibliografía involucra el llamado problema de los iterados que consiste, grosso modo, en caracterizar las funciones de una cierta clase en términos del comportamiento de los iterados de un operador previamente fijado. En la primera parte de esta tesis seguimos con la investigación mencionada antes en un contexto más general: clases no casi analíticas de funciones ultradiferenciables en el sentido de Braun, Meise y Taylor. El estudio de estas clases no casi analíticas es una área de investigación muy activa debido a sus aplicaciones a la teoría de operadores en derivadas parciales: destacamos entre otros el trabajo de Bonet, Braun, Domanski, Fernández, Frerick, Galbis, Taylor y Vogt. En el Capítulo 1 introducimos estas clases y enunciamos las propiedados que utilizaremos a lo largo de esta tesis. En el Capítulo 2 definimos las clases no casi analíticas con respecto a los iterados de un operador en derivadas parciales P(D) y estudiamos sus propiedades topológicas como la completitud y la nuclearidad. En particular, demostramos que estas clases son un espacio localmente convexo completo si y sólo si el operador P(D) es hipoelíptico y vemos que en tal caso son además un espacio nuclear. A continuación, demostramos que estas clases verifican un teorema de tipo Paley-Wiener. En el Capítulo 3 tenemos como objetivo obtener resultados sobre el problema de los iterados en clases no casi analíticas. Generalizamos varios resultados de Newberger, Zielezny, Métivier y Komatsu y damos caracterizaciones de cuándo una clase no casi analítica definida en términos de los iterados de un operador coincide con una clase no casi analítica según Braun, Meise y Taylor. Toda la investigación que se había hecho sobre espacios de funciones definidos por iterados de operadores se había centrado en clases de tipo Roumieu. Sin embargo, demostramos que los resultados dados en los Capítulos 2 y 3 también son válidos para clases de tipo Beurling. En el año 1990, Langenbruch y Voigt demostraron que todo espacio de Fréchet formado por distribuciones que sea invariante bajo la acción de un operador hipoelíptico está continuamente incluido en C¥. En el capítulo 4 introducimos los operadores ultradiferenciales e investigamos extensiones del resultado de Langenbruch y Voigt al contexto ultradiferenciable. El nuevo concepto de espacio de Fréchet (w, P(D))-estable involucra a los iterados de P(D) mediante una condición de equicontinuidad y nos permite mostrar la relación de este tipo de resultados con el problema de los iterados. La segunda parte de esta tesis se centra en el estudio de funciones con valores vectoriales en un espacio localmente convexo. / Juan Huguet, J. (2011). Iterates of differential operators and vector valued functions on non quasi analytic classes [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/9401