Consideramos nesse trabalho questões relativas a parte inferior do espectro de energia-momento para o modelo de teoria campos na rede com tempo imaginário, associado ao sistema ferromagnético de spins clássicos de $N$-compontentes definido na rede $d$ dimensional: O Modelo de Spin O$(N)$. Esses sistemas são caracterizados por uma distribuição de probabilidade de spin por sítio. Tratamos apenas da região de altas temperaturas. O espectro de energia e momento deste modelo apresenta curvas de dispersão isoladas, que podem ser interpretadas como quasi-partículas. Em particular, estudaremos os estados de uma e duas quasi-partículas. Para o espectro de uma partícula, obteremos a curva de dispersão e a massa de uma partícula. Esse resultado mostra a existência da chamada 'lacuna espectral'. Ainda trabalhando no espectro de uma partícula, demonstraremos a existência de uma banda de espectro contínuo, associada a estados de duas partículas livres, e determinaremos a largura desta banda. Nossa análise de duas partículas é restrita a uma aproximação em escada da equação Bethe-Salpeter. Usando essa aproximação mostraremos que a existência e a localização de estados ligados depende da verificação da dominação gaussiana para a função de correlação de quatro pontos. É sabido que estados ligados de duas partículas aparecem abaixo da banda de duas partículas se não vale a dominação gaussiana. Mostraremos que estados ligados de duas partículas aparecem acima da banda de duas partículas, caso a dominação gaussiana seja verificada. Além disso, mostramos como o padrão espectral de duas partículas para desses modelos podem ser compreendido através da correspondência entre a equação Bethe-Salpeter e um operador hamiltoniano de Schrödinger de duas partículas na rede com potenciais atrativos ou repulsivos do tipo delta e dependentes dos indices de spin. Uma transformação de staggering é utilizada para relacionar os casos de potenciais atrativos e repulsivos e o espectro dos hamiltonianos e suas autofunções. / In this work, we consider the low-lying energy-momentum spectrum for the imaginary-time lattice quantum field model associated with d-dimensional lattice ferromagnetic classical N-component vector spin systems: The O(N) Spin Model. Each system is characterized by a single site 'a priori' spin probability distribution. We work only at high temperature region (0<&#946;<=1). The energy-momentum spectrum exhibits isolated dispersion curves which are identified as single particles and multi-particle bands. In particular, we study states of one and two-particles. For the single particle spectrum, we obtain the dispersion curve and the particle mass. This result show the existence of the so called 'low spectral gap'. Still working with the single particle spectrum, e show the existence of a continuum spectra band, associated to states of two free partciles, and we obtain the band width. Our two-particle bound state analysis is restricted to a ladder approximation of the Bethe-Salpeter equation, and the existence of bound states depend on whether or not Gaussian domination for the four-point function is verified. It is known that two-particle bound states appear below the two-particle band if Gaussian domination does not hold. Here, we show that two two-particle bound states appear above the two-particle band if Gaussian domination is verified. We also show how the complete two-particle spectral pattern for these models can be understood by making a correspondence between the Bethe-Salpeter equation and a two-particle lattice Schrödinger Hamiltonian operator with attractive or repulsive spin-dependent delta potentials at the origin. A staggering transformation is used to relate the attractive and repulsive potential cases, as well as their associated Hamiltonians spectrum and eigenfunctions.

Consideramos nesse trabalho questões relativas a parte inferior do espectro de energia-momento para o modelo de teoria campos na rede com tempo imaginário, associado ao sistema ferromagnético de spins clássicos de $N$-compontentes definido na rede $d$ dimensional: O Modelo de Spin O$(N)$. Esses sistemas são caracterizados por uma distribuição de probabilidade de spin por sítio. Tratamos apenas da região de altas temperaturas. O espectro de energia e momento deste modelo apresenta curvas de dispersão isoladas, que podem ser interpretadas como quasi-partículas. Em particular, estudaremos os estados de uma e duas quasi-partículas. Para o espectro de uma partícula, obteremos a curva de dispersão e a massa de uma partícula. Esse resultado mostra a existência da chamada 'lacuna espectral'. Ainda trabalhando no espectro de uma partícula, demonstraremos a existência de uma banda de espectro contínuo, associada a estados de duas partículas livres, e determinaremos a largura desta banda. Nossa análise de duas partículas é restrita a uma aproximação em escada da equação Bethe-Salpeter. Usando essa aproximação mostraremos que a existência e a localização de estados ligados depende da verificação da dominação gaussiana para a função de correlação de quatro pontos. É sabido que estados ligados de duas partículas aparecem abaixo da banda de duas partículas se não vale a dominação gaussiana. Mostraremos que estados ligados de duas partículas aparecem acima da banda de duas partículas, caso a dominação gaussiana seja verificada. Além disso, mostramos como o padrão espectral de duas partículas para desses modelos podem ser compreendido através da correspondência entre a equação Bethe-Salpeter e um operador hamiltoniano de Schrödinger de duas partículas na rede com potenciais atrativos ou repulsivos do tipo delta e dependentes dos indices de spin. Uma transformação de staggering é utilizada para relacionar os casos de potenciais atrativos e repulsivos e o espectro dos hamiltonianos e suas autofunções. / In this work, we consider the low-lying energy-momentum spectrum for the imaginary-time lattice quantum field model associated with d-dimensional lattice ferromagnetic classical N-component vector spin systems: The O(N) Spin Model. Each system is characterized by a single site 'a priori' spin probability distribution. We work only at high temperature region (0<&#946;<=1). The energy-momentum spectrum exhibits isolated dispersion curves which are identified as single particles and multi-particle bands. In particular, we study states of one and two-particles. For the single particle spectrum, we obtain the dispersion curve and the particle mass. This result show the existence of the so called 'low spectral gap'. Still working with the single particle spectrum, e show the existence of a continuum spectra band, associated to states of two free partciles, and we obtain the band width. Our two-particle bound state analysis is restricted to a ladder approximation of the Bethe-Salpeter equation, and the existence of bound states depend on whether or not Gaussian domination for the four-point function is verified. It is known that two-particle bound states appear below the two-particle band if Gaussian domination does not hold. Here, we show that two two-particle bound states appear above the two-particle band if Gaussian domination is verified. We also show how the complete two-particle spectral pattern for these models can be understood by making a correspondence between the Bethe-Salpeter equation and a two-particle lattice Schrödinger Hamiltonian operator with attractive or repulsive spin-dependent delta potentials at the origin. A staggering transformation is used to relate the attractive and repulsive potential cases, as well as their associated Hamiltonians spectrum and eigenfunctions.

Nesta tese obtemos, de um ponto de vista matemáticamente rigoroso, a parte inferior do espectro de energia-momento de dois modelos de teorias quânticas de campo com tempo imaginário em redes de dimensão $d+1$ (resultados explícitos para o caso $d = 3$ e matrizes de Dirac) que contém férmions: um modelo puramente fermiônico com interação quártica nos campos fermiônicos de $N$ componentes (modelo de Quatro-Férmions) e um modelo de cromodinâmica quântica. Para o modelo de Quatro-Férmions, $\\kappa$ é o parâmetro de hopping, $M_0$ é a massa bare dos férmions e $\\lambda$ é o parâmetro de interação. Uma expansão de polímeros garante a existência das funções de correlação no limite termodinâmico, na região onde $|\\frac{\\kappa}|$ é pequeno. A análise do espectro é baseada em representações espectrais para funções de correlação de dois e quatro férmions. A análise das funções de correlação adequadas é simplificada pelo uso de simetrias, em particular, de uma {\\em nova} simetria de Reflexão Temporal que aparece no nível das funções de correlação. A determinação do espectro é executada através de um estudo detalhado das taxas de decaimento das funções de correlação. Até próximo ao limiar de três partículas, o espectro de energia e momento exibe curvas de dispersão isoladas que são identificadas com partículas e estados ligados de duas partículas. No subespaço de uma partícula, o espectro consiste em uma curva de dispersão isolada. A massa da partícula é de ordem $-\\ln \\kappa$. O espectro de duas partículas aparece como soluções de uma equação de Bethe-Salpeter, resolvida primeiro em uma aproximação em escada. O espectro de duas partículas contém uma banda de duas partículas livres de largura finita. A existência de estados ligados acima ou abaixo da banda de duas partículas depende do fato do modelo apresentar ou não dominação gaussiana. Um parâmetro $\\aleph$ é dado para medir a dominação gaussiana. Para $\\aleph=0$, nenhum estado ligado ocorre. Para $\\aleph>0$, o estado ligado ocorre abaixo da banda de duas partículas. Para $\\aleph<0$, o estado ligado aparecem acima desta banda. Os resultados obtidos nesta aproximação em escada podem ser estendidos para o modelo completo através de um controle rigoroso das contribuições que diferenciam essas duas situações. Em uma segunda parte, idéias análogas são aplicadas para analisar o espectro do modelo de cromodinâmica quântica. Em particular, nós mostramos a existência dos pentaquarks no regime de acoplamento forte (acoplamento entre as plaquetas $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). O modelo possui simetria de calibre $SU(3)_c$ e de sabor $SU(2)_f$. Os pentaquark revelados são superposições de estados ligados de mésons e bárions. Apenas estados com um número ímpar de férmions e abaixo do limiar de energia meson-bárion são considerados. O pentaquark é determinado usando uma aproximação em escada para uma equação Bethe-Salpeter. Na ordem dominante em $\\beta$, a massa deste estado é aproximadamente $-5 \\ln\\kappa$ e sua energia de ligação é de ordem $\\textrm(\\kappa^2)$. O estado mais fortemente ligado tem isospin $I=\\frac$. Para $I=\\frac$ não há estados ligados. Estes resultados mostram uma dependência nos spins dos méson e bárion. Esta análise mostra que um potencial de troca de quark-anti-quark de $\\textrm(\\kappa^2)$ é a interação dominante, mas não há uma interpretação de troca de mésons. / In this thesis, we obtain, from a mathematically rigorous point of view, the low-lying energy-momentum spectrum of two $3+1$ dimensional imaginary time lattice quantum filed theory with fermion fields (we give explicit results for the case $d = 3$ and Dirac matrices): a pure fermionic model with quartic interaction in the $N$-component fermion field and a quantum chromodynamics model. For the Four-Fermion model, $\\kappa$ denotes the hopping parameter, $M_0$ the fermion bare mass and $\\lambda$ the interaction parameter. A polymer expansion show the existence of the model correlation functions in the thermodynamic limit, in the region where $|\\frac{\\kappa}|$ is small enough. The analysis of the spectrum is based on spectral representations of two- and four- point correlation functions. The analysis of such adequate correlation functions is simplified by the help of symmetries, in particular, by a {\\em new} Time Reflection symmetry, which appear in the level of correlation functions. The exact determination of the spectrum is done using a detailed study of the decay rates of the correlations. Up to near the 3 particle threshold, the energy-momentum spectrum exhibits isolated dispersion curves that are identified as particles and bound states. In the one-particle subspace, the spectrum consist in just a isolated dispersion curve. The mass of the associated particle is of order $-\\ln \\kappa$. The two-particle spectrum shows up as solutions of a Bethe-Salpeter equation, which is solved first in a ladder approximation. The two-particle spectrum contains a two free particles band of finite width. The existence of bound states above or below the band depends on wherever the model Gaussian domination holds. A parameter $\\aleph$ is given to measure the Gaussian domination. For $\\aleph=0$, no bound state occurs. For $\\aleph>0$, a bound state appears bellow the two-particles band. For $\\aleph<0$, the bound state appears above this band. The result obtained in this ladder approximation can be extended to the full model by a rigorous control of the contributions that differ these two cases. In a second part, analog ideas are applied to analyze the spectrum of a quantum chromodynamics model. In particular, we show the existence of pentaquarks in the strong coupling regime (plaquette coupling $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). The model has a $SU(3)_c$ gauge symmetry and a $SU(2)_f$ flavor symmetry. The reveled pentaquarks are superpositions of meson-baryon bound states. Only states with an odd number of fermions and bellow the meson-baryon threshold are considered. The pentaquark are determined using a ladder approximation to the Bethe-Salpeter equation. In the dominant order in $\\beta$, the bound state mass is $\\approx -5 \\ln\\kappa$ and the binding energy is of order $\\textrm(\\kappa^2)$. The most strongly bounded bound state has isospin $I=\\frac$. For $I=\\frac$, there is no bound state. These results shows a dependence in the spins of the meson and baryon. This analysis show that a $\\textrm(\\kappa^2)$ quark-anti-quark exchange potential is the dominant interaction, although there is not a meson exchange interpretation.

Nesta tese obtemos, de um ponto de vista matemáticamente rigoroso, a parte inferior do espectro de energia-momento de dois modelos de teorias quânticas de campo com tempo imaginário em redes de dimensão $d+1$ (resultados explícitos para o caso $d = 3$ e matrizes de Dirac) que contém férmions: um modelo puramente fermiônico com interação quártica nos campos fermiônicos de $N$ componentes (modelo de Quatro-Férmions) e um modelo de cromodinâmica quântica. Para o modelo de Quatro-Férmions, $\\kappa$ é o parâmetro de hopping, $M_0$ é a massa bare dos férmions e $\\lambda$ é o parâmetro de interação. Uma expansão de polímeros garante a existência das funções de correlação no limite termodinâmico, na região onde $|\\frac{\\kappa}|$ é pequeno. A análise do espectro é baseada em representações espectrais para funções de correlação de dois e quatro férmions. A análise das funções de correlação adequadas é simplificada pelo uso de simetrias, em particular, de uma {\\em nova} simetria de Reflexão Temporal que aparece no nível das funções de correlação. A determinação do espectro é executada através de um estudo detalhado das taxas de decaimento das funções de correlação. Até próximo ao limiar de três partículas, o espectro de energia e momento exibe curvas de dispersão isoladas que são identificadas com partículas e estados ligados de duas partículas. No subespaço de uma partícula, o espectro consiste em uma curva de dispersão isolada. A massa da partícula é de ordem $-\\ln \\kappa$. O espectro de duas partículas aparece como soluções de uma equação de Bethe-Salpeter, resolvida primeiro em uma aproximação em escada. O espectro de duas partículas contém uma banda de duas partículas livres de largura finita. A existência de estados ligados acima ou abaixo da banda de duas partículas depende do fato do modelo apresentar ou não dominação gaussiana. Um parâmetro $\\aleph$ é dado para medir a dominação gaussiana. Para $\\aleph=0$, nenhum estado ligado ocorre. Para $\\aleph>0$, o estado ligado ocorre abaixo da banda de duas partículas. Para $\\aleph<0$, o estado ligado aparecem acima desta banda. Os resultados obtidos nesta aproximação em escada podem ser estendidos para o modelo completo através de um controle rigoroso das contribuições que diferenciam essas duas situações. Em uma segunda parte, idéias análogas são aplicadas para analisar o espectro do modelo de cromodinâmica quântica. Em particular, nós mostramos a existência dos pentaquarks no regime de acoplamento forte (acoplamento entre as plaquetas $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). O modelo possui simetria de calibre $SU(3)_c$ e de sabor $SU(2)_f$. Os pentaquark revelados são superposições de estados ligados de mésons e bárions. Apenas estados com um número ímpar de férmions e abaixo do limiar de energia meson-bárion são considerados. O pentaquark é determinado usando uma aproximação em escada para uma equação Bethe-Salpeter. Na ordem dominante em $\\beta$, a massa deste estado é aproximadamente $-5 \\ln\\kappa$ e sua energia de ligação é de ordem $\\textrm(\\kappa^2)$. O estado mais fortemente ligado tem isospin $I=\\frac$. Para $I=\\frac$ não há estados ligados. Estes resultados mostram uma dependência nos spins dos méson e bárion. Esta análise mostra que um potencial de troca de quark-anti-quark de $\\textrm(\\kappa^2)$ é a interação dominante, mas não há uma interpretação de troca de mésons. / In this thesis, we obtain, from a mathematically rigorous point of view, the low-lying energy-momentum spectrum of two $3+1$ dimensional imaginary time lattice quantum filed theory with fermion fields (we give explicit results for the case $d = 3$ and Dirac matrices): a pure fermionic model with quartic interaction in the $N$-component fermion field and a quantum chromodynamics model. For the Four-Fermion model, $\\kappa$ denotes the hopping parameter, $M_0$ the fermion bare mass and $\\lambda$ the interaction parameter. A polymer expansion show the existence of the model correlation functions in the thermodynamic limit, in the region where $|\\frac{\\kappa}|$ is small enough. The analysis of the spectrum is based on spectral representations of two- and four- point correlation functions. The analysis of such adequate correlation functions is simplified by the help of symmetries, in particular, by a {\\em new} Time Reflection symmetry, which appear in the level of correlation functions. The exact determination of the spectrum is done using a detailed study of the decay rates of the correlations. Up to near the 3 particle threshold, the energy-momentum spectrum exhibits isolated dispersion curves that are identified as particles and bound states. In the one-particle subspace, the spectrum consist in just a isolated dispersion curve. The mass of the associated particle is of order $-\\ln \\kappa$. The two-particle spectrum shows up as solutions of a Bethe-Salpeter equation, which is solved first in a ladder approximation. The two-particle spectrum contains a two free particles band of finite width. The existence of bound states above or below the band depends on wherever the model Gaussian domination holds. A parameter $\\aleph$ is given to measure the Gaussian domination. For $\\aleph=0$, no bound state occurs. For $\\aleph>0$, a bound state appears bellow the two-particles band. For $\\aleph<0$, the bound state appears above this band. The result obtained in this ladder approximation can be extended to the full model by a rigorous control of the contributions that differ these two cases. In a second part, analog ideas are applied to analyze the spectrum of a quantum chromodynamics model. In particular, we show the existence of pentaquarks in the strong coupling regime (plaquette coupling $0 <\\beta= \\frac{g^2_0} \\ll \\kappa $). The model has a $SU(3)_c$ gauge symmetry and a $SU(2)_f$ flavor symmetry. The reveled pentaquarks are superpositions of meson-baryon bound states. Only states with an odd number of fermions and bellow the meson-baryon threshold are considered. The pentaquark are determined using a ladder approximation to the Bethe-Salpeter equation. In the dominant order in $\\beta$, the bound state mass is $\\approx -5 \\ln\\kappa$ and the binding energy is of order $\\textrm(\\kappa^2)$. The most strongly bounded bound state has isospin $I=\\frac$. For $I=\\frac$, there is no bound state. These results shows a dependence in the spins of the meson and baryon. This analysis show that a $\\textrm(\\kappa^2)$ quark-anti-quark exchange potential is the dominant interaction, although there is not a meson exchange interpretation.