Neste trabalho tratamos o assunto de existência e unicidade de estados de equilíbrio para uma classe importante de fluxos e aplicações com singularidades. Mostramos a existência de estados de equilíbrio para potenciais contínuos no contexto de fluxos singular-hiperbólicos, em particular fluxos de Lorenz. Demonstramos um critério para unicidade de estados de equilíbrio para aplicações unidimensionais do tipo Lorenz. Utilizando o critério, provamos que potenciais Hölder por partes com único estado de equilíbrio formam um conjunto aberto na topologia \'C POT.0\' e que a unicidade ainda é garantida para potenciais próximos a uma constante \'K IND. 0\' \' pertence a\' R / In this work we deal with the existence and uniqueness of equilibrium states for an important class of flows and transformations with singularities. In the context of singular-hyperbolic flows, we show the existence of equilibrium states for continuous potentials. In particular, this shows the existence of equilibrium states for Lorenz-like flows. We prove a criterium for the uniqueness of the equilibrium states of one-dimensional Lorenz-like applications. Using such criterium, we prove that piecewise Hölder continuous potentials with unique equilibrium states form an open in the \'C POT. 0\' topology and that the uniqueness is still guaranteed to a potential close to a constant \'K IND.0\' \'it belongs\' R

Neste trabalho tratamos o assunto de existência e unicidade de estados de equilíbrio para uma classe importante de fluxos e aplicações com singularidades. Mostramos a existência de estados de equilíbrio para potenciais contínuos no contexto de fluxos singular-hiperbólicos, em particular fluxos de Lorenz. Demonstramos um critério para unicidade de estados de equilíbrio para aplicações unidimensionais do tipo Lorenz. Utilizando o critério, provamos que potenciais Hölder por partes com único estado de equilíbrio formam um conjunto aberto na topologia \'C POT.0\' e que a unicidade ainda é garantida para potenciais próximos a uma constante \'K IND. 0\' \' pertence a\' R / In this work we deal with the existence and uniqueness of equilibrium states for an important class of flows and transformations with singularities. In the context of singular-hyperbolic flows, we show the existence of equilibrium states for continuous potentials. In particular, this shows the existence of equilibrium states for Lorenz-like flows. We prove a criterium for the uniqueness of the equilibrium states of one-dimensional Lorenz-like applications. Using such criterium, we prove that piecewise Hölder continuous potentials with unique equilibrium states form an open in the \'C POT. 0\' topology and that the uniqueness is still guaranteed to a potential close to a constant \'K IND.0\' \'it belongs\' R

Estruturas líquidas cristalinas estão presentes em materiais compostos por moléculas com anisotropia de forma e são caracterizadas por uma ordem orientacional de longo alcance. Na mesofase nemática as moléculas alongadas tendem a se alinhar paralelas entre si, a direção média de orientação define é caracterizada por um vetor unitário, chamado de diretor n. Os cristais líquidos liotrópicos são obtidos usualmente a partir da dispersão de moléculas anfílicas em água. Essas moléculas anfílicas, por terem uma parte polar e uma parte apolar, tendem a formar agregados anisotrópicos, com a parte polar da molécula na superfície. Esse tipo de estrutura esta presente em todos os seres vivos e o exemplo mais clássico é a membrana da célula. A existência de uma superfície de contorno ou uma fronteira modifica as propriedades de um material na vizinhança dessa fronteira. Isso é particularmente verdadeiro para os cristais líquidos, que são muitos sensíveis as condições de contorno, mesmos quando estas não são tão intensas. De fato essa propriedade e bastante útil para a fabricação de dispositivos eletro-ó pticos. Um dos efeitos de superfície mais evidente é a mudança no ordenamento das moléculas devido a quebra de simetria na superfície. Nas fases nemáticas esse efeito microscópico resulta na formação de uma camada superficial com uma ordem posicional que se estende ao longo de uma certa distância no volume. 0 outro efeito resulta da origem a mudanças significativas no estado orientacional das moléculas no volume devido a presença de forças superficiais. Esse efeito é conhecido como ancoramento. Na ausência de campos extemos ou condições de contorno qualquer orientação é igualmente provável. Neste trabalho serão apresentados os resultados de investigação das propriedades de cristais líquidos liotrópicos na interface com um substrata. Estudamos o comportamento dinâmico da camada superficial quando o campo magnético é aplicado e induz uma re­ orientação do diretor. Nesse estudo são utilizadas amostras de cristal líquidos liotrópicos. / Liquid crystalline structures are found in materials made from molecules which are anisotropic in shape; such material are characterized mainly by a long range orientational order. In the nematic phase, the rodlike molecules tend to align parallel to each other. The average orientation defines a unit vector, called director n. Lyotropic liquid crystals are usually obtained by the dispersion of amphiphilic molecules in water. Due the fact that these molecules present a polar head and a non-polar tail, they tend to form aggregates with the polar part at the aggregate surface. This type of struc­ ture is present in all living being; the most classical example is the cell membrane. The existence of a boundary surface affects the properties of a material close to this boundary. This particularly true for liquid crystals, which are very sensitive to boundary conditions, even when weak. Indeed, this property is quite useful in the fabrication of electro-optic devices. One of the most obvious surface effect is the change in the molecules organization due to a breaking of the symmetry at the boundary surface. In the nematic phases, this microscopic effect results in the formation of a surface la yer with a positional order that extends through the bulk up to a certain distance from the surface. The other effect of the surface results in a change in the orientational state of the molecules in the volume due to the sur face forces. This macroscopic effect is known as anchoring. In the absence of any external field or boundary conditions, all molecular orientation is equally probable. In this work, we will present some results of the investigation of the properties of lyotropic liquid crystals at the interface with a solid substrate. We have studied the dy­ namic of the surface layer when a applied magnetic field induces a reorientation of the nematic director. In this study different systems were used: lyotropic liquid crystals in the nematic phase, ferronematics (nematic phase doped with ferrofluid) and filled nematics (nematic phase doped with silica nano-spheres). By means of transmittance measurements.

Estruturas líquidas cristalinas estão presentes em materiais compostos por moléculas com anisotropia de forma e são caracterizadas por uma ordem orientacional de longo alcance. Na mesofase nemática as moléculas alongadas tendem a se alinhar paralelas entre si, a direção média de orientação define é caracterizada por um vetor unitário, chamado de diretor n. Os cristais líquidos liotrópicos são obtidos usualmente a partir da dispersão de moléculas anfílicas em água. Essas moléculas anfílicas, por terem uma parte polar e uma parte apolar, tendem a formar agregados anisotrópicos, com a parte polar da molécula na superfície. Esse tipo de estrutura esta presente em todos os seres vivos e o exemplo mais clássico é a membrana da célula. A existência de uma superfície de contorno ou uma fronteira modifica as propriedades de um material na vizinhança dessa fronteira. Isso é particularmente verdadeiro para os cristais líquidos, que são muitos sensíveis as condições de contorno, mesmos quando estas não são tão intensas. De fato essa propriedade e bastante útil para a fabricação de dispositivos eletro-ó pticos. Um dos efeitos de superfície mais evidente é a mudança no ordenamento das moléculas devido a quebra de simetria na superfície. Nas fases nemáticas esse efeito microscópico resulta na formação de uma camada superficial com uma ordem posicional que se estende ao longo de uma certa distância no volume. 0 outro efeito resulta da origem a mudanças significativas no estado orientacional das moléculas no volume devido a presença de forças superficiais. Esse efeito é conhecido como ancoramento. Na ausência de campos extemos ou condições de contorno qualquer orientação é igualmente provável. Neste trabalho serão apresentados os resultados de investigação das propriedades de cristais líquidos liotrópicos na interface com um substrata. Estudamos o comportamento dinâmico da camada superficial quando o campo magnético é aplicado e induz uma re­ orientação do diretor. Nesse estudo são utilizadas amostras de cristal líquidos liotrópicos. / Liquid crystalline structures are found in materials made from molecules which are anisotropic in shape; such material are characterized mainly by a long range orientational order. In the nematic phase, the rodlike molecules tend to align parallel to each other. The average orientation defines a unit vector, called director n. Lyotropic liquid crystals are usually obtained by the dispersion of amphiphilic molecules in water. Due the fact that these molecules present a polar head and a non-polar tail, they tend to form aggregates with the polar part at the aggregate surface. This type of struc­ ture is present in all living being; the most classical example is the cell membrane. The existence of a boundary surface affects the properties of a material close to this boundary. This particularly true for liquid crystals, which are very sensitive to boundary conditions, even when weak. Indeed, this property is quite useful in the fabrication of electro-optic devices. One of the most obvious surface effect is the change in the molecules organization due to a breaking of the symmetry at the boundary surface. In the nematic phases, this microscopic effect results in the formation of a surface la yer with a positional order that extends through the bulk up to a certain distance from the surface. The other effect of the surface results in a change in the orientational state of the molecules in the volume due to the sur face forces. This macroscopic effect is known as anchoring. In the absence of any external field or boundary conditions, all molecular orientation is equally probable. In this work, we will present some results of the investigation of the properties of lyotropic liquid crystals at the interface with a solid substrate. We have studied the dy­ namic of the surface layer when a applied magnetic field induces a reorientation of the nematic director. In this study different systems were used: lyotropic liquid crystals in the nematic phase, ferronematics (nematic phase doped with ferrofluid) and filled nematics (nematic phase doped with silica nano-spheres). By means of transmittance measurements.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

We address the problem of existence and uniqueness (or finiteness) of ergodic equilibrium states for a natural class of partially hyperbolic diffeomorphisms homotopic to Anosov. We propose to study the disintegration of equilibrium states along the central foliation as a tool to develop the theory of equilibrium states for partially hyperbolic dynamics. For a large class of low variational potentials we obtain existence and uniqueness of the equilibrium state and we also obtain a dichotomy between finiteness of ergodic equilibrium states and hyperbolicity of such measures. We also prove that the measure of maximal entropy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-manifold having compact center leaves can be written locally as the product of three measures defined on the local stable, central and unstable foliations provided that such measure is unique. We verify that the local product structure does not hold when the number of measures of maximal entropy is larger than one. / Abordamos o problema de existência e unicidade (ou finitude) dos estados de equilíbrio ergódicos para uma classe natural de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos homotópicos a um Anosov. Propomos estudar a desintegração dos estados de equilíbrio ao longo da folheação central como uma ferramenta para desenvolver a teoria de estados de equilíbrio para sistemas parcialmente hiperbólicos. Para uma classe de potenciais com variação pequena obtemos existência e unicidade de estados de equilíbrio e também obtemos uma dicotomia entre finitude dos estados de equilíbrio ergódicos e hiperbolicidade de tais medidas. Obtemos também que as medidas de máxima entropia para difeomorfismos parcialmente hiperbólicos acessíveis definidos numa 3-variedade tendo folhas centrais compactas podem ser escritas localmente como o produto de três medidas definidas nas folheações stável, central e instável locais sempre que tal medida é única. Verificamos que a estrutura de produto local não é valida quando o número de medidas de máxima entropia é maior que um.

O objetivo desta tese é demonstrar que para um subshift de Markov topologicamente transitivo com alfabeto enumerável e um potencial &#402 com pressão de Gurevic finita e variação limitada (&#402) < &#8734, existe um único estado de equilíbrio &#181t&#402 para cada t > 1, e a família (&#181t&#402)t>1 tem um ponto de acumulação quando t > &#8734. Além disso se também supomos que o &#402 é um potencial de Markov, demonstramos que a família de estados de equilíbrio (&#181t&#402)t>1 converge quando t > &#8734. Finalmente demonstramos a continuidade em &#8734 da entropia com respeito ao parâmetro t. Estes resultados não dependem da hipótese de existência de medidas de Gibbs. / The aim of this thesis is to prove that for a topologically transitive Markov subshift with countable alphabet and a summable potential &#402 with finite topological pressure Gurevic and bounded variation (&#402) < &#8734, there exists an equilibrium state &#181t&#402 tf for each t > 1 and the family of equilibrium states (&#181t&#402)t>1 associated to each potential tf has an accumulation point at t > &#8734. Moreover if we also assume that &#402 is a Markov potential we prove that the equilibrium states family (&#181t&#402)t>1 converges when t > &#8734. Finally we prove the continuity at &#8734 of the entropy with respect to the parameter t. These results do not depend on assuming the existence of Gibbs measures.

O objetivo desta tese é demonstrar que para um subshift de Markov topologicamente transitivo com alfabeto enumerável e um potencial &#402 com pressão de Gurevic finita e variação limitada (&#402) < &#8734, existe um único estado de equilíbrio &#181t&#402 para cada t > 1, e a família (&#181t&#402)t>1 tem um ponto de acumulação quando t > &#8734. Além disso se também supomos que o &#402 é um potencial de Markov, demonstramos que a família de estados de equilíbrio (&#181t&#402)t>1 converge quando t > &#8734. Finalmente demonstramos a continuidade em &#8734 da entropia com respeito ao parâmetro t. Estes resultados não dependem da hipótese de existência de medidas de Gibbs. / The aim of this thesis is to prove that for a topologically transitive Markov subshift with countable alphabet and a summable potential &#402 with finite topological pressure Gurevic and bounded variation (&#402) < &#8734, there exists an equilibrium state &#181t&#402 tf for each t > 1 and the family of equilibrium states (&#181t&#402)t>1 associated to each potential tf has an accumulation point at t > &#8734. Moreover if we also assume that &#402 is a Markov potential we prove that the equilibrium states family (&#181t&#402)t>1 converges when t > &#8734. Finally we prove the continuity at &#8734 of the entropy with respect to the parameter t. These results do not depend on assuming the existence of Gibbs measures.