Dado um sistema dinâmico g : M → M e uma função A : M → R, chamada de observável, uma medida invariante v que satisfaz ƒ Adv = sup{ RAdµ ; µ ´e invariante para g} é chamada uma medida maximizadora. Neste trabalho vamos analisar medidas maximizadoras em duas classes de sistemas dinãmicos que apresentam pontos fixos indiferentes: Na primeira classe analisada, unidimensional, o sistema dinâmico ƒ é dado por um mapa expansor de grau 2 definido em [0, 1], apresentando derivada maior que 1 em todos os pontos com exceção do ponto fixo 0, onde tem derivada 1. O observável A é dado por uma função α-Hölder em cada ramo injetor, monótona em uma pequena vizinhança de zero. Na segunda classe analisada, bidimensional, o sistema dinâmico B é um mapa bijetor definido em [0, 1)×[0, 1) com o auxílio de uma função ƒ da classe anterior, apresentando ponto fixo indiferente na origem. Trata-se de uma variante fracamente hiperbólica da Baker Map. O observável A agora é uma função α-Hölder, e obedece a uma condição semelhante à monotonicidade do caso unidimensional em um vizinhança de (0, 0). Em ambos os casos mostraremos que a medida maximizadora, se for única, será uma medida unicamente ergódica. O passo mais importante nesta direção, que constitui-se em um resultado de interesse próprio, e que tomará a maior parte de nosso tempo, será, nos dois casos, a obtenção e o estudo da regularidade de uma função a valores reais S, chamada de função de subação, que obedecerá a desigualdade S o g ≥ S + A − m. Em ambos os casos mostraremos que S existe e é α-Hölder-contínua.

Dado um sistema dinâmico g : M → M e uma função A : M → R, chamada de observável, uma medida invariante v que satisfaz ƒ Adv = sup{ RAdµ ; µ ´e invariante para g} é chamada uma medida maximizadora. Neste trabalho vamos analisar medidas maximizadoras em duas classes de sistemas dinãmicos que apresentam pontos fixos indiferentes: Na primeira classe analisada, unidimensional, o sistema dinâmico ƒ é dado por um mapa expansor de grau 2 definido em [0, 1], apresentando derivada maior que 1 em todos os pontos com exceção do ponto fixo 0, onde tem derivada 1. O observável A é dado por uma função α-Hölder em cada ramo injetor, monótona em uma pequena vizinhança de zero. Na segunda classe analisada, bidimensional, o sistema dinâmico B é um mapa bijetor definido em [0, 1)×[0, 1) com o auxílio de uma função ƒ da classe anterior, apresentando ponto fixo indiferente na origem. Trata-se de uma variante fracamente hiperbólica da Baker Map. O observável A agora é uma função α-Hölder, e obedece a uma condição semelhante à monotonicidade do caso unidimensional em um vizinhança de (0, 0). Em ambos os casos mostraremos que a medida maximizadora, se for única, será uma medida unicamente ergódica. O passo mais importante nesta direção, que constitui-se em um resultado de interesse próprio, e que tomará a maior parte de nosso tempo, será, nos dois casos, a obtenção e o estudo da regularidade de uma função a valores reais S, chamada de função de subação, que obedecerá a desigualdade S o g ≥ S + A − m. Em ambos os casos mostraremos que S existe e é α-Hölder-contínua.

Dado um sistema dinâmico g : M → M e uma função A : M → R, chamada de observável, uma medida invariante v que satisfaz ƒ Adv = sup{ RAdµ ; µ ´e invariante para g} é chamada uma medida maximizadora. Neste trabalho vamos analisar medidas maximizadoras em duas classes de sistemas dinãmicos que apresentam pontos fixos indiferentes: Na primeira classe analisada, unidimensional, o sistema dinâmico ƒ é dado por um mapa expansor de grau 2 definido em [0, 1], apresentando derivada maior que 1 em todos os pontos com exceção do ponto fixo 0, onde tem derivada 1. O observável A é dado por uma função α-Hölder em cada ramo injetor, monótona em uma pequena vizinhança de zero. Na segunda classe analisada, bidimensional, o sistema dinâmico B é um mapa bijetor definido em [0, 1)×[0, 1) com o auxílio de uma função ƒ da classe anterior, apresentando ponto fixo indiferente na origem. Trata-se de uma variante fracamente hiperbólica da Baker Map. O observável A agora é uma função α-Hölder, e obedece a uma condição semelhante à monotonicidade do caso unidimensional em um vizinhança de (0, 0). Em ambos os casos mostraremos que a medida maximizadora, se for única, será uma medida unicamente ergódica. O passo mais importante nesta direção, que constitui-se em um resultado de interesse próprio, e que tomará a maior parte de nosso tempo, será, nos dois casos, a obtenção e o estudo da regularidade de uma função a valores reais S, chamada de função de subação, que obedecerá a desigualdade S o g ≥ S + A − m. Em ambos os casos mostraremos que S existe e é α-Hölder-contínua.

O objetivo desta tese é demonstrar que para um subshift de Markov topologicamente transitivo com alfabeto enumerável e um potencial &#402 com pressão de Gurevic finita e variação limitada (&#402) < &#8734, existe um único estado de equilíbrio &#181t&#402 para cada t > 1, e a família (&#181t&#402)t>1 tem um ponto de acumulação quando t > &#8734. Além disso se também supomos que o &#402 é um potencial de Markov, demonstramos que a família de estados de equilíbrio (&#181t&#402)t>1 converge quando t > &#8734. Finalmente demonstramos a continuidade em &#8734 da entropia com respeito ao parâmetro t. Estes resultados não dependem da hipótese de existência de medidas de Gibbs. / The aim of this thesis is to prove that for a topologically transitive Markov subshift with countable alphabet and a summable potential &#402 with finite topological pressure Gurevic and bounded variation (&#402) < &#8734, there exists an equilibrium state &#181t&#402 tf for each t > 1 and the family of equilibrium states (&#181t&#402)t>1 associated to each potential tf has an accumulation point at t > &#8734. Moreover if we also assume that &#402 is a Markov potential we prove that the equilibrium states family (&#181t&#402)t>1 converges when t > &#8734. Finally we prove the continuity at &#8734 of the entropy with respect to the parameter t. These results do not depend on assuming the existence of Gibbs measures.

O objetivo desta tese é demonstrar que para um subshift de Markov topologicamente transitivo com alfabeto enumerável e um potencial &#402 com pressão de Gurevic finita e variação limitada (&#402) < &#8734, existe um único estado de equilíbrio &#181t&#402 para cada t > 1, e a família (&#181t&#402)t>1 tem um ponto de acumulação quando t > &#8734. Além disso se também supomos que o &#402 é um potencial de Markov, demonstramos que a família de estados de equilíbrio (&#181t&#402)t>1 converge quando t > &#8734. Finalmente demonstramos a continuidade em &#8734 da entropia com respeito ao parâmetro t. Estes resultados não dependem da hipótese de existência de medidas de Gibbs. / The aim of this thesis is to prove that for a topologically transitive Markov subshift with countable alphabet and a summable potential &#402 with finite topological pressure Gurevic and bounded variation (&#402) < &#8734, there exists an equilibrium state &#181t&#402 tf for each t > 1 and the family of equilibrium states (&#181t&#402)t>1 associated to each potential tf has an accumulation point at t > &#8734. Moreover if we also assume that &#402 is a Markov potential we prove that the equilibrium states family (&#181t&#402)t>1 converges when t > &#8734. Finally we prove the continuity at &#8734 of the entropy with respect to the parameter t. These results do not depend on assuming the existence of Gibbs measures.