Recentemente, Ben-Ari e Schinazi (2016) propuseram um modelo estocástico em tempo discreto para a evolução da população de espécies com alta possibilidade de mutação. Neste trabalho, é proposto essencialmente o mesmo modelo, mas em tempo contínuo e com atribuição não-uniforme de indivíduos. Nesse modelo, novas espécies surgem com taxa r, 0<r<1, e a cada nova espécie é atribuída, no instante de nascimento, uma aptidão uniforme em [0,1], independente das demais espécies presentes no sistema naquele instante. No instante de surgimento de uma nova espécie, aquela nova espécie passa a contar com 1 indivíduo no sistema. Além disso, com taxa 1-r a atribuição de 1 novo indivíduo é feita a uma espécie presente no sistema; cada espécie tem probabilidade proporcional a uma dada função f de sua aptidão de receber o novo indivíduo. Finalmente, com taxa , com <r, ocorrem eventos de extinção, quando a espécie presente com menor aptidão é removida do sistema (incluindo todos os seus indivíduos). Estudamos o comportamento assintótico da distribuição do tamanho de uma espécie escolhida ao acaso em um tempo grande: determinamos a forma assintótica desta distribuição sob certas condições sobre a função f. / Recently, Ben-Ari and Schinazi (2016) proposed a discrete time stochastic model for high mutation rate species. Essentially, we propose the same model for the continuous time. In this model, the birth rate of a species is r, 0 <r<1, and each species receives at birth a uniform fitness in [0,1], independent of the other species of the process at that time. Each new species has 1 individual at the moment of birth. Furthermore, an assignment of a new individual to a species present in the system occurs with rate 1-r. Each species has a probability of assignment weighted by a given function f, that depends on species fitness. Finally, the death rate is , <r. When a death event occurs, the species with the lowest fitness of the system is removed with all individuals. We study the asymptotic behavior of the distribution of the size of a species chosen randomly for a big time: we characterize the asymptotic form of this distribution under certain conditions on the function f.

Apresentamos nesse trabalho uma proposta de dois modelos aleatórios para a evolução de espécies. O primeiro para a evolução via seleção natural por meio de competição entre espécies e o segundo por mutação. No primeiro caso consideramos uma versão do modelo proposto por Guiol, Machado e Schinazi no caso subcrítico. Para tal modelo derivamos a distribuição da aptidão de sobrevivência ao meio do indivíduo mais forte ao longo de uma excursão ao zero. Para o segundo modelo proposto, consideramos a mutação como uma estratégia para sobrevivência ao meio e provamos condições para sobrevivência e morte quando o modelo evolui sobre a árvore binária orientada com raiz, provando a existência de transição de fase no modelo. / Here we present a proposal for two random models for the evolution of species. To the first one we consider the evolution via natural selection through competition between species and to the second one by mutation. In the first case we consider a version of the model proposed by Guiol, Machado and Schinazi at the subcritical case. For this model we derive the distribution of fitness of the strongest individual along a excursion to zero. For the second one we consider mutation as a strategy for survival and we prove conditions for death and survival when the model evolves on the binary tree with root oriented and we prove the existence of phase transitions in the model.

Apresentamos nesse trabalho uma proposta de dois modelos aleatórios para a evolução de espécies. O primeiro para a evolução via seleção natural por meio de competição entre espécies e o segundo por mutação. No primeiro caso consideramos uma versão do modelo proposto por Guiol, Machado e Schinazi no caso subcrítico. Para tal modelo derivamos a distribuição da aptidão de sobrevivência ao meio do indivíduo mais forte ao longo de uma excursão ao zero. Para o segundo modelo proposto, consideramos a mutação como uma estratégia para sobrevivência ao meio e provamos condições para sobrevivência e morte quando o modelo evolui sobre a árvore binária orientada com raiz, provando a existência de transição de fase no modelo. / Here we present a proposal for two random models for the evolution of species. To the first one we consider the evolution via natural selection through competition between species and to the second one by mutation. In the first case we consider a version of the model proposed by Guiol, Machado and Schinazi at the subcritical case. For this model we derive the distribution of fitness of the strongest individual along a excursion to zero. For the second one we consider mutation as a strategy for survival and we prove conditions for death and survival when the model evolves on the binary tree with root oriented and we prove the existence of phase transitions in the model.