O paradigma de sistemas de moléculas auto-replicantes é o modelo de quase-espécies, no qual as moléculas são representadas por seqüências binárias de tamanho L e o mecanismo de replicação é suposto imperfeito. Em particular, cada seqüência é gerada corretamente com probabilidade Q = qL, onde q é a probabilidade de cópia exata por dígito. Um dos resultados mais intrigantes no modelo para o relevo de replicação de pico único, no qual há apenas um tipo de molécula com vantagem seletiva a em relação aos outros tipos, é a observação de um limiar de erro a partir do qual toda informação biológica relevante é perdida. A transição de limiar de erro verificada para Qc = l /a pode ser visualizada como uma transição de fase do tipo ordem-desordem. Verificamos que a largura dessa transição decresce com L de acordo com L-1. Concluímos também que as grandezas físicas de interesse são bem descritas por meio de funções de escala. Elaboramos ainda uma versão estocástica (isto é, tamanho de população N finito) para o modelo de quase-espécies, no qual a dinâmica é descrita por uma cadeia de Markov. Mostramos que o tempo característico &#964 para o desaparecimento de seqüências mestras na população obedece uma relação de escala bem definida. A transição em nosso modelo é constatada através da divergência de &#964 em Qc no limite de N &#8594 &#8734 ,sendo que a largura da transição decresce de acordo com N -1/2. Em nossa abordagem não utilizamos nenhuma definição arbitrária para o limiar de erro para população finita. Como solução para o problema da crise de informação associada ao limiar de erro estudamos o modelo de hiperciclos. Neste modelo, as macromoléculas se replicam com o auxílio de outros membros do hiperciclo por meio do mecanismo de catálise. Estudamos analiticamente a propagação de erro no hiperciclo e obtemos os diagramas de fases no espaço de parâmetros para vários tamanhos de hiperciclo n. Esses diagramas descrevem as regiões de estabilidade das diversas soluções de estado estacionário do sistema. Constatamos que para hiperciclos com n &#8804 4 existe um limiar de erro menor que aquele verificado no modelo de quase-espécies. Desde que o suporte catalítico realizado por uma molécula no hiperciclo pode ser considerado de fato um comportamento altruísta, modelos para evolução do altruísmo como, a teoria de seleção de grupos, têm sido utilizados no contexto de evolução pré-biótica. Aqui investigamos a evolução da produção de enzimas e os efeitos de sinergia utilizando esses conceitos. / The quasi-species model is the paradigm of systems composed of self-replicating molecules, which are represented by sequences of fixed length L. The replication machinery is assumed to be imperfect. Particularly, each sequence is copied exactly with probability Q=qL, where q denotes the probability of exact copy per digit. One of the most intriguing results of the model for the single-peak replication landscape, which considers the existence of a master sequence that has a selective advantage a in comparison to the other types, is the occurrence of an error threshold phenomenon beyond the biological information is completely lost. The error threshold transition can be viewed as an order-disorder phase-transition. We investigated the sharpness of the threshold and found that its characteristics persist across a range of Q of order L-1 about Qc. Other physical quantities of interest are also well described by universal functions. We formulate a stochastic version (i.e., finite population size N) for the quasispecies model, in which a Markov chain defines the dynamics. We show that the characteristic time r for the disappearance of master sequences in the population obeys a well defined scaling relation. The transition in this model is signalized by the divergente of t at Qc in the limit N &#8594 &#8734, and the sharpness of the transition decreases like N -1/2. In our approach we do not use any arbitrary definition of the error threshold for finite population. As a solution for the information crisis associated to the error threshold, here we considered the hypercycle model, where the macromolecules self-replicate with the catalytic support of the other members of the hypercycle. We study analytically the error propagation in the hypercycle and obtain the phases diagrams in the space of parameters for several hypercycle sizes n. These diagrams describe the stability regions of the steady state solutions of the system. We find that for hypercicle size n &#8804 4 the error threshold is smaller than that for the quasispecies model. Since the catalytic support developed by a molecule is in fact an altruistic behavior, some models for the evolution of altruism, for instance, the selection group theory, have been investigated in the context of pre-biotic evolution. Specifically, here we analyze the evolution of enzyme production and the effects of synergism.

Recentemente, Ben-Ari e Schinazi (2016) propuseram um modelo estocástico em tempo discreto para a evolução da população de espécies com alta possibilidade de mutação. Neste trabalho, é proposto essencialmente o mesmo modelo, mas em tempo contínuo e com atribuição não-uniforme de indivíduos. Nesse modelo, novas espécies surgem com taxa r, 0<r<1, e a cada nova espécie é atribuída, no instante de nascimento, uma aptidão uniforme em [0,1], independente das demais espécies presentes no sistema naquele instante. No instante de surgimento de uma nova espécie, aquela nova espécie passa a contar com 1 indivíduo no sistema. Além disso, com taxa 1-r a atribuição de 1 novo indivíduo é feita a uma espécie presente no sistema; cada espécie tem probabilidade proporcional a uma dada função f de sua aptidão de receber o novo indivíduo. Finalmente, com taxa , com <r, ocorrem eventos de extinção, quando a espécie presente com menor aptidão é removida do sistema (incluindo todos os seus indivíduos). Estudamos o comportamento assintótico da distribuição do tamanho de uma espécie escolhida ao acaso em um tempo grande: determinamos a forma assintótica desta distribuição sob certas condições sobre a função f. / Recently, Ben-Ari and Schinazi (2016) proposed a discrete time stochastic model for high mutation rate species. Essentially, we propose the same model for the continuous time. In this model, the birth rate of a species is r, 0 <r<1, and each species receives at birth a uniform fitness in [0,1], independent of the other species of the process at that time. Each new species has 1 individual at the moment of birth. Furthermore, an assignment of a new individual to a species present in the system occurs with rate 1-r. Each species has a probability of assignment weighted by a given function f, that depends on species fitness. Finally, the death rate is , <r. When a death event occurs, the species with the lowest fitness of the system is removed with all individuals. We study the asymptotic behavior of the distribution of the size of a species chosen randomly for a big time: we characterize the asymptotic form of this distribution under certain conditions on the function f.

O paradigma de sistemas de moléculas auto-replicantes é o modelo de quase-espécies, no qual as moléculas são representadas por seqüências binárias de tamanho L e o mecanismo de replicação é suposto imperfeito. Em particular, cada seqüência é gerada corretamente com probabilidade Q = qL, onde q é a probabilidade de cópia exata por dígito. Um dos resultados mais intrigantes no modelo para o relevo de replicação de pico único, no qual há apenas um tipo de molécula com vantagem seletiva a em relação aos outros tipos, é a observação de um limiar de erro a partir do qual toda informação biológica relevante é perdida. A transição de limiar de erro verificada para Qc = l /a pode ser visualizada como uma transição de fase do tipo ordem-desordem. Verificamos que a largura dessa transição decresce com L de acordo com L-1. Concluímos também que as grandezas físicas de interesse são bem descritas por meio de funções de escala. Elaboramos ainda uma versão estocástica (isto é, tamanho de população N finito) para o modelo de quase-espécies, no qual a dinâmica é descrita por uma cadeia de Markov. Mostramos que o tempo característico &#964 para o desaparecimento de seqüências mestras na população obedece uma relação de escala bem definida. A transição em nosso modelo é constatada através da divergência de &#964 em Qc no limite de N &#8594 &#8734 ,sendo que a largura da transição decresce de acordo com N -1/2. Em nossa abordagem não utilizamos nenhuma definição arbitrária para o limiar de erro para população finita. Como solução para o problema da crise de informação associada ao limiar de erro estudamos o modelo de hiperciclos. Neste modelo, as macromoléculas se replicam com o auxílio de outros membros do hiperciclo por meio do mecanismo de catálise. Estudamos analiticamente a propagação de erro no hiperciclo e obtemos os diagramas de fases no espaço de parâmetros para vários tamanhos de hiperciclo n. Esses diagramas descrevem as regiões de estabilidade das diversas soluções de estado estacionário do sistema. Constatamos que para hiperciclos com n &#8804 4 existe um limiar de erro menor que aquele verificado no modelo de quase-espécies. Desde que o suporte catalítico realizado por uma molécula no hiperciclo pode ser considerado de fato um comportamento altruísta, modelos para evolução do altruísmo como, a teoria de seleção de grupos, têm sido utilizados no contexto de evolução pré-biótica. Aqui investigamos a evolução da produção de enzimas e os efeitos de sinergia utilizando esses conceitos. / The quasi-species model is the paradigm of systems composed of self-replicating molecules, which are represented by sequences of fixed length L. The replication machinery is assumed to be imperfect. Particularly, each sequence is copied exactly with probability Q=qL, where q denotes the probability of exact copy per digit. One of the most intriguing results of the model for the single-peak replication landscape, which considers the existence of a master sequence that has a selective advantage a in comparison to the other types, is the occurrence of an error threshold phenomenon beyond the biological information is completely lost. The error threshold transition can be viewed as an order-disorder phase-transition. We investigated the sharpness of the threshold and found that its characteristics persist across a range of Q of order L-1 about Qc. Other physical quantities of interest are also well described by universal functions. We formulate a stochastic version (i.e., finite population size N) for the quasispecies model, in which a Markov chain defines the dynamics. We show that the characteristic time r for the disappearance of master sequences in the population obeys a well defined scaling relation. The transition in this model is signalized by the divergente of t at Qc in the limit N &#8594 &#8734, and the sharpness of the transition decreases like N -1/2. In our approach we do not use any arbitrary definition of the error threshold for finite population. As a solution for the information crisis associated to the error threshold, here we considered the hypercycle model, where the macromolecules self-replicate with the catalytic support of the other members of the hypercycle. We study analytically the error propagation in the hypercycle and obtain the phases diagrams in the space of parameters for several hypercycle sizes n. These diagrams describe the stability regions of the steady state solutions of the system. We find that for hypercicle size n &#8804 4 the error threshold is smaller than that for the quasispecies model. Since the catalytic support developed by a molecule is in fact an altruistic behavior, some models for the evolution of altruism, for instance, the selection group theory, have been investigated in the context of pre-biotic evolution. Specifically, here we analyze the evolution of enzyme production and the effects of synergism.