Zugl.: Bochum, Univ., Diss., 2008

This thesis is concerned with motion planning for the classical two-phase Stefan problem in level set formulation. The interface separating the fluid phases from the solid phases is represented as the zero level set of a continuous function whose evolution is described by the level set equation. Heat conduction in the two phases is modeled by the heat equation. A quadratic tracking-type cost functional that incorporates temperature tracking terms and a control cost term that expresses the desire to have the interface follow a prescribed trajectory by adjusting the heat flux through part of the boundary of the computational domain. The formal Lagrange approach is used to establish a first-order optimality system by applying shape calculus tools. For the numerical solution, the level set equation and its adjoint are discretized in space by discontinuous Galerkin methods that are combined with suitable explicit Runge-Kutta time stepping schemes, while the temperature and its adjoint are approximated in space by the extended finite element method (which accounts for the weak discontinuity of the temperature by a dynamic local modification of the underlying finite element spaces) combined with the implicit Euler method for the temporal discretization. The curvature of the interface which arises in the adjoint system is discretized by a finite element method as well. The projected gradient method, and, in the absence of control constraints, the limited memory BFGS method are used to solve the arising optimization problems. Several numerical examples highlight the potential of the proposed optimal control approach. In particular, they show that it inherits the geometric flexibility of the level set method. Thus, in addition to unidirectional solidification, closed interfaces and changes of topology can be tracked. Finally, the Moreau-Yosida regularization is applied to transform a state constraint on the position of the interface into a penalty term that is added to the cost functional. The optimality conditions for this penalized optimal control problem and its numerical solution are discussed. An example confirms the efficacy of the state constraint. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Optimalsteuerungsproblem für das klassische Stefan-Problem in zwei Phasen. Die Phasengrenze wird als Niveaulinie einer stetigen Funktion modelliert, was die Lösung der so genannten Level-Set-Gleichung erfordert. Durch Anpassen des Wärmeflusses am Rand des betrachteten Gebiets soll ein gewünschter Verlauf der Phasengrenze angesteuert werden. Zusammen mit dem Wunsch, ein vorgegebenes Temperaturprofil zu approximieren, wird dieses Ziel in einem quadratischen Zielfunktional formuliert. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden formal mit Hilfe der entsprechenden Lagrange-Funktion und unter Benutzung von Techniken aus der Formoptimierung hergeleitet. Für die numerische Lösung müssen die auftretenden partiellen Differentialgleichungen diskretisiert werden. Dies geschieht im Falle der Level-Set-Gleichung und ihrer Adjungierten auf Basis von unstetigen Galerkin-Verfahren und expliziten Runge-Kutta-Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung und die entsprechende Gleichung im adjungierten System werden mit einer erweiterten Finite-Elemente-Methode im Ort sowie dem impliziten Euler-Verfahren in der Zeit diskretisiert. Dieser Zugang umgeht die aufwändige Adaption des Gitters, die normalerweise bei der FE-Diskretisierung von Phasenübergangsproblemen unvermeidbar ist. Auch die Krümmung der Phasengrenze wird numerisch mit Hilfe der Methode der finiten Elemente angenähert. Zur Lösung der auftretenden Optimierungsprobleme werden ein Gradienten-Projektionsverfahren und, im Fall dass keine Kontrollschranken vorliegen, die BFGS-Methode mit beschränktem Speicherbedarf eingesetzt. Numerische Beispiele beleuchten die Stärken des vorgeschlagenen Zugangs. Es stellt sich insbesondere heraus, dass sich die geometrische Flexibilität der Level-Set-Methode auf den vorgeschlagenen Zugang zur optimalen Steuerung vererbt. Zusätzlich zur gerichteten Bewegung einer flachen Phasengrenze können somit auch geschlossene Phasengrenzen sowie topologische Veränderungen angesteuert werden. Exemplarisch, und zwar an Hand einer Beschränkung an die Lage der Phasengrenze, wird auch noch die Behandlung von Zustandsbeschränkungen mittels der Moreau-Yosida-Regularisierung diskutiert. Ein numerisches Beispiel demonstriert die Wirkung der Zustandsbeschränkung.

This thesis is concerned with motion planning for the classical two-phase Stefan problem in level set formulation. The interface separating the fluid phases from the solid phases is represented as the zero level set of a continuous function whose evolution is described by the level set equation. Heat conduction in the two phases is modeled by the heat equation. A quadratic tracking-type cost functional that incorporates temperature tracking terms and a control cost term that expresses the desire to have the interface follow a prescribed trajectory by adjusting the heat flux through part of the boundary of the computational domain. The formal Lagrange approach is used to establish a first-order optimality system by applying shape calculus tools. For the numerical solution, the level set equation and its adjoint are discretized in space by discontinuous Galerkin methods that are combined with suitable explicit Runge-Kutta time stepping schemes, while the temperature and its adjoint are approximated in space by the extended finite element method (which accounts for the weak discontinuity of the temperature by a dynamic local modification of the underlying finite element spaces) combined with the implicit Euler method for the temporal discretization. The curvature of the interface which arises in the adjoint system is discretized by a finite element method as well. The projected gradient method, and, in the absence of control constraints, the limited memory BFGS method are used to solve the arising optimization problems. Several numerical examples highlight the potential of the proposed optimal control approach. In particular, they show that it inherits the geometric flexibility of the level set method. Thus, in addition to unidirectional solidification, closed interfaces and changes of topology can be tracked. Finally, the Moreau-Yosida regularization is applied to transform a state constraint on the position of the interface into a penalty term that is added to the cost functional. The optimality conditions for this penalized optimal control problem and its numerical solution are discussed. An example confirms the efficacy of the state constraint. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Optimalsteuerungsproblem für das klassische Stefan-Problem in zwei Phasen. Die Phasengrenze wird als Niveaulinie einer stetigen Funktion modelliert, was die Lösung der so genannten Level-Set-Gleichung erfordert. Durch Anpassen des Wärmeflusses am Rand des betrachteten Gebiets soll ein gewünschter Verlauf der Phasengrenze angesteuert werden. Zusammen mit dem Wunsch, ein vorgegebenes Temperaturprofil zu approximieren, wird dieses Ziel in einem quadratischen Zielfunktional formuliert. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden formal mit Hilfe der entsprechenden Lagrange-Funktion und unter Benutzung von Techniken aus der Formoptimierung hergeleitet. Für die numerische Lösung müssen die auftretenden partiellen Differentialgleichungen diskretisiert werden. Dies geschieht im Falle der Level-Set-Gleichung und ihrer Adjungierten auf Basis von unstetigen Galerkin-Verfahren und expliziten Runge-Kutta-Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung und die entsprechende Gleichung im adjungierten System werden mit einer erweiterten Finite-Elemente-Methode im Ort sowie dem impliziten Euler-Verfahren in der Zeit diskretisiert. Dieser Zugang umgeht die aufwändige Adaption des Gitters, die normalerweise bei der FE-Diskretisierung von Phasenübergangsproblemen unvermeidbar ist. Auch die Krümmung der Phasengrenze wird numerisch mit Hilfe der Methode der finiten Elemente angenähert. Zur Lösung der auftretenden Optimierungsprobleme werden ein Gradienten-Projektionsverfahren und, im Fall dass keine Kontrollschranken vorliegen, die BFGS-Methode mit beschränktem Speicherbedarf eingesetzt. Numerische Beispiele beleuchten die Stärken des vorgeschlagenen Zugangs. Es stellt sich insbesondere heraus, dass sich die geometrische Flexibilität der Level-Set-Methode auf den vorgeschlagenen Zugang zur optimalen Steuerung vererbt. Zusätzlich zur gerichteten Bewegung einer flachen Phasengrenze können somit auch geschlossene Phasengrenzen sowie topologische Veränderungen angesteuert werden. Exemplarisch, und zwar an Hand einer Beschränkung an die Lage der Phasengrenze, wird auch noch die Behandlung von Zustandsbeschränkungen mittels der Moreau-Yosida-Regularisierung diskutiert. Ein numerisches Beispiel demonstriert die Wirkung der Zustandsbeschränkung.

Die Arbeit beschreibt eine Modellierung des Materialverhaltens von Faser-Kunststoff-Verbunden unter Berücksichtigung der lokalen Materialstruktur, den konstitutiven Eigenschaften der Verbundbestandteile sowie charakteristischer Schädigungsphönomene. Die Diskretisierung eines repräsentativen Ausschnitts der Materialstruktur erfolgt unter Verwendung der erweiterten Finiten-Elemente-Methode (XFEM). Sie ermöglicht die effiziente Modellierung des Steifigkeitssprunges an den inneren Materialgrenzen und deren Versagen. Der Verlauf der Elementgrenzen muss dabei nicht an die Materialstruktur angepasst werden. Für die Beschreibung der Dehnratenabhängigkeit der polymeren Matrix wird ein Modell der nichtlinearen fraktionalen Viskoelastizität angewendet. Die Kombination mit einem nichtlokalen Kontinuumsschädigungsmodell ermöglicht weiterhin die Modellierung einer verzerrungsgesteuerten Schädigung des Matrixwerkstoffs. Die Parametrisierung, Validierung des Gesamtmodells erfolgt anhand ausgewählter experimenteller Untersuchungen an einem unidirektional verstärkten Glasfaser-Polypropylen-Verbund. / The thesis addresses the modelling of the material behavior of fibre reinforced polymers. It systematically includes the influence of the local material structure, the mechanical behaviour of the consituents and characteristic damage phenomena. The diskretisation of a representative volume element of the material structure is based on the extended finite element method (XFEM). It allows for an efficient modelling of the stiffness jump at internal material boundaries as well as their damage. With the XFEM, the element boundaries are no longer required to coincide with the material structure. The approximation of the strain rate dependence of the polymeric matrix is based on a nonlinear, fractional viscoelasticity approach. Its combination with a nonlocal strain driven continuum damage modell allows for the modelling of damage effects. The parametrisation and validation of the overall approach is based on a comparison with experimental results for a unidirectional reinforced glass-fibre-polypropylene composite.

Die Arbeit beschreibt eine Modellierung des Materialverhaltens von Faser-Kunststoff-Verbunden unter Berücksichtigung der lokalen Materialstruktur, den konstitutiven Eigenschaften der Verbundbestandteile sowie charakteristischer Schädigungsphönomene. Die Diskretisierung eines repräsentativen Ausschnitts der Materialstruktur erfolgt unter Verwendung der erweiterten Finiten-Elemente-Methode (XFEM). Sie ermöglicht die effiziente Modellierung des Steifigkeitssprunges an den inneren Materialgrenzen und deren Versagen. Der Verlauf der Elementgrenzen muss dabei nicht an die Materialstruktur angepasst werden. Für die Beschreibung der Dehnratenabhängigkeit der polymeren Matrix wird ein Modell der nichtlinearen fraktionalen Viskoelastizität angewendet. Die Kombination mit einem nichtlokalen Kontinuumsschädigungsmodell ermöglicht weiterhin die Modellierung einer verzerrungsgesteuerten Schädigung des Matrixwerkstoffs. Die Parametrisierung, Validierung des Gesamtmodells erfolgt anhand ausgewählter experimenteller Untersuchungen an einem unidirektional verstärkten Glasfaser-Polypropylen-Verbund. / The thesis addresses the modelling of the material behavior of fibre reinforced polymers. It systematically includes the influence of the local material structure, the mechanical behaviour of the consituents and characteristic damage phenomena. The diskretisation of a representative volume element of the material structure is based on the extended finite element method (XFEM). It allows for an efficient modelling of the stiffness jump at internal material boundaries as well as their damage. With the XFEM, the element boundaries are no longer required to coincide with the material structure. The approximation of the strain rate dependence of the polymeric matrix is based on a nonlinear, fractional viscoelasticity approach. Its combination with a nonlocal strain driven continuum damage modell allows for the modelling of damage effects. The parametrisation and validation of the overall approach is based on a comparison with experimental results for a unidirectional reinforced glass-fibre-polypropylene composite.