Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Simulation techniques with a strategy based on particle dynamics are an interesting alternative approach in describing the behavior of complex fluids. In these systems, phenomena occur typically in the range of mesoscopic size (nanometers to micrometers), where the energies are of the order of the thermal energy kT. In many phenomena the microscopic detail of the interaction between the constituents of the system is crucial for the correct description of the physical processes associated, so that a "coarse-graining" approximation, used in a continuous description based on the Navier-Stokes is not appropriate. It is in this context that the method presented here becomes important. Introduced by Malevanets and Kapral in 1999, the stochastic rotation dynamics, or multiparticle collision dynamics, is a simulation method for mesoscopic fluids; which basically consists of alternating streaming and collisions steps in an ensemble of point particles. The collisions are performed by grouping the particles into cells, in which there is conservation of mass, momentum and energy, in addition to meeting the hydrodynamic equations and taking into account the thermal fluctuations of the system. In this work we aim at presenting the multiparticle collision dynamics, through a discussion of its details, features and how the implementation is done in numerical simulations. Moreover, we present some classical hydrodynamics results, obtained from the method presented in this work. / TÃcnicas de simulaÃÃo com uma abordagem fundamentada na dinÃmica de partÃculas sÃo uma alternativa interessante na descriÃÃo do comportamento de fluidos complexos. Nesses sistemas, fenÃmenos ocorrem tipicamente na escala de tamanho mesoscÃpica (nanometros a micrometros), onde as energias sÃo da ordem da energia tÃrmica kT. Em diversos fenÃmenos o detalhe microscÃpico da interaÃÃo entre os constituintes do sistema à de fundamental importÃncia para a descriÃÃo correta dos processos fÃsicos associados, de modo que uma aproximaÃÃo do tipo "coarse-graining", usada em uma descriÃÃo contÃnua baseada na equaÃÃo de Navier-Stokes, nÃo à adequada. à neste contexto que o mÃtodo aqui apresentado se faz importante. Introduzido por Malevanets e Kapral em 1999, a dinÃmica de rotaÃÃo estocÃstica (stochastic rotation dynamics) ou dinÃmica de colisÃo de multipartÃculas (multiparticle collision dynamics), à um mÃtodo de simulaÃÃo para fluidos mesoscÃpicos que basicamente consiste em alternar etapas de fluxo (streaming) e colisÃes num ensemble de partÃculas pontuais. As colisÃes sÃo realizadas agrupando as partÃculas em cÃlulas, nas quais hà conservaÃÃo de massa, momento linear e energia, alÃm de satisfazer as equaÃÃes hidrodinÃmicas e levar em conta as flutuaÃÃes tÃrmicas do sistema. Neste trabalho temos como objetivo a apresentaÃÃo da dinÃmica de colisÃo de multipartÃculas, atravÃs de uma discussÃo sobre seus detalhes, particularidades e como à feita a implementaÃÃo em simulaÃÃes numÃricas. AlÃm disso, apresentamos como exemplo alguns resultados clÃssicos da hidrodinÃmica, obtidos a partir do mÃtodo abordado neste trabalho.

FundaÃÃo de Amparo à Pesquisa do Estado do Cearà / CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Na natureza todo material se quebra dependendo do valor de tensÃo aplicada. Dependendo do tipo, forma e outras caracterÃsticas do material ou atà mesmo do ponto de tensÃo, podemos produzir {it fraturas} distintas, como um rasgo em uma folha de papel tensionada, um congestionamento na rede de trÃnsito de uma cidade ou solos rachados por climas Ãridos. Tais fraturas se relacionam economicamente com a extraÃÃo de petrÃleo de reservatÃrios subterrÃneos, com a extraÃÃo de calor e vapor de reservatÃrios geotÃrmicos e atà mesmo com a preservaÃÃo dos lenÃÃis freÃticos. Fenomenologicamente, podemos imaginar que processos de fraturas sÃo aqueles que dividem o sistema em duas ou mais partes, destruindo sua conectividade global. Nesse contexto, construÃmos dois modelos computacionais para estudar, caracterizar e elucidar o comportamento de fenÃmenos naturais semelhantes aos processos de fraturas. No primeiro modelo, exploramos conceitos de percolaÃÃo invasiva aplicados à descriÃÃo da geometria irregular das cumeeiras de montanhas que dividem bacias hidrogrÃficas. Mostramos de forma robusta o carÃcter auto-similar das linhas de divisores de Ãguas, com expoente fractal $D=1.21pm0.001$ para paisagens artificiais nÃo-correlacionadas e, $D=1.10pm0.01$ e $D=1.11pm0.01$ para paisagens correlacionadas reais dos Alpes SuÃÃos e das Montanhas do Himalaia, respectivamente. No segundo modelo, utilizamos caminhos Ãtimos que sÃo sequencialmente interrompidos, levando ao colapso do sistema, produzindo uma fratura percolante. No caso bidimensional, consideramos paisagens artificiais nÃo-correlacionadas com desordem fraca e forte. Em ambos os regimes obtivemos o mesmo expoente fractal para o esqueleto da fratura, $D=1.22pm0.01$. Para paisagens artificiais correlacionadas, encontramos que a dimensÃo fractal do esqueleto da fratura decresce com o aumento do expoente de {it Hurst}. No caso tridimensional, consideramos apenas paisagens nÃo-correlacionadas artificiais com desordem forte. Nesse caso, obtivemos uma superfÃcie percolante com dimensÃo fractal $D=2.47pm0.05$ que fratura o sistema em duas partes. / In the nature all material breaks down depending on the value of stress applied. Depending of kind, shape and other characteristics of the material or even the stress point, we can produce distinct {it fractures}, like a tear on stressed sheet of paper, a congestion in the network traffic of a city or cracked soils by arid climates. Such fractures are economically related with the extraction of oil from the underground reservoirs, with the extraction of heat and steam from geothermal reservoirs and even the preservation of the groundwater. Phenomenologically, we can imagine that fracture processes are the ones that divides the system in two or more parts, destroying its global connectivity. In this context, we built two computer models to study, characterize and elucidate the behavior of natural phenomena similar to fracture processes. In the first model, we explored concepts of invasion percolation applied to description of the irregular geometry of the ridge of mountains that divides hydrographic basins. We shown robustly the self-similar nature of the watershed lines, with fractal exponent $D=1.21pm0.001$ for artificial uncorrelated landscapes and, $D=1.10pm0.01$ and $D=1.11pm0.01$, for real correlated landscapes of the Swiss Alps and the Himalaya Mountains, respectively. In the second model, we used optimal paths that are cracked sequentialy providing the collapse of the system, producing a percolating fracture. In the two-dimensional case, we considered artificial uncorrelated landscapes in the weak and strong disorder. In both regimes, we obtained the same fractal exponent for the backbone fracture, $D=1.22pm0.01$. For artificial correlated landscapes, we found that the fractal dimension of the backbone decreases with increasing of the {it Hurst} exponent. In the three-dimensional case, we considered only artificial uncorrelated landscapes with strong disorder. In this case, we obtained a percolating surface with fractal dimension $D=2.47pm0.05$ that cracks the system in two parts.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Um nÃmero significativo de redes reais apresentam caracterÃsticas espaciais bem definidas. NÃs estudamos como topologias de redes espacialmente correlacionadas podem influenciar processos de navegaÃÃo atravÃs das mesmas. Para isso estudamos o comportamento do mÃnimo caminho mÃdio para redes definidas dentro de modelo de Kleinberg para analisar a navegaÃÃo ditada por regras de conhecimento global. O modelo que Kleinberg caracteriza-se por permitir conexÃes de longo alcance entre dois vÃrtices u e v distribuÃdas por uma distribuiÃÃo de probabilidade em lei de potÃncia. Para um melhor entendimento das caracterÃsticas topolÃgicas apresentadas por essa famÃlia de redes, nÃs aplicamos o modelo epidÃmico suscetÃvel-infectado-suscetÃvel (SIS), e com isso verificamos que o modelo de Kleinberg apresenta fenÃmeno de mundo pequeno apenas para uma determinada faixa de valores assumidos pelo expoente de agregaÃÃo α. Em seguida, introduzimos um modelo de redes espacialmente embutidas, conceitualmente inspirado no modelo de Kleinberg. Este traduz-se na introduÃÃo de um vÃnculo para a distribuiÃÃo das conexÃes de longo alcance. Associamos este vÃnculo a um possÃvel custo envolvido no processo de adiÃÃo de novas conexÃes de longo alcance à rede. Estudamos como esse vÃnculo no custo afeta a navegaÃÃo na rede, tendo como base de comparaÃÃo os trabalhos de Kleinberg para a navegaÃÃo com conhecimento local da topologia, e nossos resultados considerando a navegaÃÃo com conhecimento global. / A significant number of real networks have well-defined spatial characteristics. We studied how network with spatially correlated topolgies can influence the processes of navigation through them. For this, we study the behavior of the average shortest-path length to networks defined within Kleinbergâs model [1, 2] to analyze the navigation dictated by rules of global knowledge. The Kleinbergâs model is characterized by allowing long-range connections between two vertices u and v distributed by a power-law probability distribution. For a better understanding of the topological characteristics presented by this family of networks, we applied the epidemic model susceptible-infected-susceptible (SIS) and we found that, we see that the Kleinbergâs model presents the small-world phenomenon only for a certain range of values of the clustering exponent α. We introduced a model of spatially embedded networks, conceptually based on the Kleinbergâs model. This model consist in introduction of a constrain to the distribution of long-range connections. We associate his constrain to a possible cost involved in the process of adding new long-range connections to the network. We studied how this cost constrain affects the navigation through the system, taking as a basis for comparison the work of Kleinberg for navigation with local knowledge, and our results conserning for navigation with global knowledge.