This work is a numerical study of the 2-D heat equation with Dirichlet boundary conditions over a polygonal domain. The motivation for this study is a chemical vapor deposition (CVD) reactor in which a substrate is heated while being exposed to a gas containing precursor molecules. The interaction between the gas and the substrate results in the deposition of a compound thin film on the substrate. Two different numerical approximations are implemented to produce numerical solutions describing the conduction of thermal energy in the reactor. The first method used is a Crank-Nicholson finite difference technique which tranforms the 2-D heat equation into an algebraic system of equations. For the second method, a semi-discrete method is used which transforms the partial differential equation into a system of ordinary differential equations. The goal of this work is to investigate the influence of boundary conditions, domain geometry, and initial condition on thermal conduction throughout the reactor. Once insight is gained with respect to the aforementioned conditions, optimal design and control can be investigated. This work represents a first step in our long term goal of developing optimal design and control of such CVD systems. This work has been funded through Partnerships in Research Excellence and Transition (PRET) grant number F49620-96-1-0329. / Master of Science

[EN] In the stock markets, the process of estimating a fair price for a stock, option or commodity is consider the corner stone for this trade. There are several attempts to obtain a suitable mathematical model in order to enhance the estimation process for evaluating the options for short or long periods. The Black-Scholes partial differential equation (PDE) and its analytical solution, 1973, are considered a breakthrough in the mathematical modeling for the stock markets. Because of the ideal assumptions of Black-Scholes several alternatives have been developed to adequate the models to the real markets. Two strategies have been done to capture these behaviors; the first modification is to add jumps into the asset following Lévy processes, leading to a partial integro-differential equation (PIDE); the second is to allow the volatility to evolve stochastically leading to a PDE with two spatial variables. Here in this work, we solve numerically PIDEs for a wide class of Lévy processes using finite difference schemes for European options and also, the associated linear complementarity problem (LCP) for American option. Moreover, the models for options under stochastic volatility incorporated with jump-diffusion are considered. Numerical analysis for the proposed schemes is studied since it is the efficient and practical way to guarantee the convergence and accuracy of numerical solutions. In fact, without numerical analysis, careless computations may waste good mathematical models. This thesis consists of four chapters; the first chapter is an introduction containing historically review for stochastic processes, Black-Scholes equation and preliminaries on numerical analysis. Chapter two is devoted to solve the PIDE for European option under CGMY process. The PIDE for this model is solved numerically using two distinct discretization approximations; the first approximation guarantees unconditionally consistency while the second approximation provides unconditional positivity and stability. In the first approximation, the differential part is approximated using the explicit scheme and the integral part is approximated using the trapezoidal rule. In the second approximation, the differential part is approximated using the Patankar-scheme and the integral part is approximated using the four-point open type formula. Chapter three provides a unified treatment for European and American options under a wide class of Lévy processes as CGMY, Meixner and Generalized Hyperbolic. First, the reaction and convection terms of the differential part of the PIDE are removed using appropriate mathematical transformation. The differential part for European case is explicitly discretized , while the integral part is approximated using Laguerre-Gauss quadrature formula. Numerical properties such as positivity, stability and consistency for this scheme are studied. For the American case, the differential part of the LCP is discretized using a three-time level approximation with the same integration technique. Next, the Projected successive over relaxation and multigrid techniques have been implemented to obtain the numerical solution. Several numerical examples are given including discussion of the errors and computational cost. Finally in Chapter four, the PIDE for European option under Bates model is considered. Bates model combines both stochastic volatility and jump diffusion approaches resulting in a PIDE with a mixed derivative term. Since the presence of cross derivative terms involves the existence of negative coefficient terms in the numerical scheme deteriorating the quality of the numerical solution, the mixed derivative is eliminated using suitable mathematical transformation. The new PIDE is solved numerically and the numerical analysis is provided. Moreover, the LCP for American option under Bates model is studied. / [ES] El proceso de estimación del precio de una acción, opción u otro derivado en los mercados de valores es objeto clave de estudio de las matemáticas financieras. Se pueden encontrar diversas técnicas para obtener un modelo matemático adecuado con el fin de mejorar el proceso de valoración de las opciones para periodos cortos o largos. Históricamente, la ecuación de Black-Scholes (1973) fue un gran avance en la elaboración de modelos matemáticos para los mercados de valores. Es un modelo práctico para estimar el valor razonable de una opción. Sobre unos supuestos determinados, F. Black y M. Scholes obtuvieron una ecuación diferencial parcial lineal y su solución analítica. Desde entonces se han desarrollado modelos más complejos para adecuarse a la realidad de los mercados. Un tipo son los modelos con volatilidad estocástica que vienen descritos por una ecuación en derivadas parciales con dos variables espaciales. Otro enfoque consiste en añadir saltos en el precio del subyacente por medio de modelos de Lévy lo que lleva a resolver una ecuación integro-diferencial parcial (EIDP). En esta memoria se aborda la resolución numérica de una amplia clase de modelos con procesos de Lévy. Se desarrollan esquemas en diferencias finitas para opciones europeas y también para opciones americanas con su problema de complementariedad lineal (PCL) asociado. Además se tratan modelos con volatilidad estocástica incorporando difusión con saltos. Se plantea el análisis numérico ya que es el camino eficiente y práctico para garantizar la convergencia y precisión de las soluciones numéricas. De hecho, la ausencia de análisis numérico debilita un buen modelo matemático. Esta memoria está organizada en cuatro capítulos. El primero es una introducción con un breve repaso de los procesos estocásticos, el modelo de Black-Scholes así como nociones preliminares de análisis numérico. En el segundo capítulo se trata la EIDP para las opciones europeas según el modelo CGMY. Se proponen dos esquemas en diferencias finitas; el primero garantiza consistencia incondicional de la solución mientras que el segundo proporciona estabilidad y positividad incondicionales. Con el primer enfoque, la parte diferencial se discretiza por medio de un esquema explícito y para la parte integral se usa la regla del trapecio. En la segunda aproximación, para la parte diferencial se usa un esquema tipo Patankar y la parte integral se aproxima por medio de la fórmula de tipo abierto con cuatro puntos. En el capítulo tercero se propone un tratamiento unificado para una amplia clase de modelos de opciones en procesos de Lévy como CGMY, Meixner e hiperbólico generalizado. Se eliminan los términos de reacción y convección por medio de un apropiado cambio de variables. Después la parte diferencial se aproxima por un esquema explícito mientras que para la parte integral se usa la fórmula de cuadratura de Laguerre-Gauss. Se analizan positividad, estabilidad y consistencia. Para las opciones americanas, la parte diferencial del LCP se discretiza con tres niveles temporales mediante cuadratura de Laguerre-Gauss para la integración numérica. Finalmente se implementan métodos iterativos de proyección y relajación sucesiva y la técnica de multimalla. Se muestran varios ejemplos incluyendo estudio de errores y coste computacional. El capítulo 4 está dedicado al modelo de Bates que combina los enfoques de volatilidad estocástica y de difusión con saltos derivando en una EIDP con un término con derivadas cruzadas. Ya que la discretización de una derivada cruzada comporta la existencia de coeficientes negativos en el esquema que deterioran la calidad de la solución numérica, se propone un cambio de variables que elimina dicha derivada cruzada. La EIDP transformada se resuelve numéricamente y se muestra el análisis numérico. Por otra parte se estudia el LCP para opciones americanas con el modelo de Bates. / [CA] El procés d'estimació del preu d'una acció, opció o un altre derivat en els mercats de valors és objecte clau d'estudi de les matemàtiques financeres . Es poden trobar diverses tècniques per a obtindre un model matemàtic adequat a fi de millorar el procés de valoració de les opcions per a períodes curts o llargs. Històricament, l'equació Black-Scholes (1973) va ser un gran avanç en l'elaboració de models matemàtics per als mercats de valors. És un model matemàtic pràctic per a estimar un valor raonable per a una opció. Sobre uns suposats F. Black i M. Scholes van obtindre una equació diferencial parcial lineal amb solució analítica. Des de llavors s'han desenrotllat models més complexos per a adequar-se a la realitat dels mercats. Un tipus és els models amb volatilitat estocástica que ve descrits per una equació en derivades parcials amb dos variables espacials. Un altre enfocament consistix a afegir bots en el preu del subjacent per mitjà de models de Lévy el que porta a resoldre una equació integre-diferencial parcial (EIDP) . En esta memòria s'aborda la resolució numèrica d'una àmplia classe de models baix processos de Lévy. Es desenrotllen esquemes en diferències finites per a opcions europees i també per a opcions americanes amb el seu problema de complementarietat lineal (PCL) associat. A més es tracten models amb volatilitat estocástica incorporant difusió amb bots. Es planteja l'anàlisi numèrica ja que és el camí eficient i pràctic per a garantir la convergència i precisió de les solucions numèriques. De fet, l'absència d'anàlisi numèrica debilita un bon model matemàtic. Esta memòria està organitzada en quatre capítols. El primer és una introducció amb un breu repàs dels processos estocásticos, el model de Black-Scholes així com nocions preliminars d'anàlisi numèrica. En el segon capítol es tracta l'EIDP per a les opcions europees segons el model CGMY. Es proposen dos esquemes en diferències finites; el primer garantix consistència incondicional de la solució mentres que el segon proporciona estabilitat i positivitat incondicionals. Amb el primer enfocament, la part diferencial es discretiza per mitjà d'un esquema explícit i per a la part integral s'empra la regla del trapezi. En la segona aproximació, per a la part diferencial s'usa l'esquema tipus Patankar i la part integral s'aproxima per mitjà de la fórmula de tipus obert amb quatre punts. En el capítol tercer es proposa un tractament unificat per a una àmplia classe de models d'opcions en processos de Lévy com ara CGMY, Meixner i hiperbòlic generalitzat. S'eliminen els termes de reacció i convecció per mitjà d'un apropiat canvi de variables. Després la part diferencial s'aproxima per un esquema explícit mentres que per a la part integral s'usa la fórmula de quadratura de Laguerre-Gauss. S'analitzen positivitat, estabilitat i consistència. Per a les opcions americanes, la part diferencial del LCP es discretiza amb tres nivells temporals amb quadratura de Laguerre-Gauss per a la integració numèrica. Finalment s'implementen mètodes iteratius de projecció i relaxació successiva i la tècnica de multimalla. Es mostren diversos exemples incloent estudi d'errors i cost computacional. El capítol 4 està dedicat al model de Bates que combina els enfocaments de volatilitat estocástica i de difusió amb bots derivant en una EIDP amb un terme amb derivades croades. Ja que la discretización d'una derivada croada comporta l'existència de coeficients negatius en l'esquema que deterioren la qualitat de la solució numèrica, es proposa un canvi de variables que elimina dita derivada croada. La EIDP transformada es resol numèricament i es mostra l'anàlisi numèrica. D'altra banda s'estudia el LCP per a opcions americanes en el model de Bates. / El-Fakharany, MMR. (2015). Finite Difference Schemes for Option Pricing under Stochastic Volatility and Lévy Processes: Numerical Analysis and Computing [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/53917

[EN] The present PhD thesis is focused on numerical analysis and computing of finite difference schemes for several relevant option pricing models that generalize the Black-Scholes model. A careful analysis of desirable properties for the numerical solutions of option pricing models as the positivity, stability and consistency, is provided. In order to handle the free boundary that arises in American option pricing problems, various transformation techniques based on front-fixing method are applied and studied. Special attention is paid to multi-asset option pricing, such as exchange or spread option. Appropriate transformation allows eliminating of the cross derivative term. Transformation techniques of partial differential equations to remove convection and reaction terms are studied in order to simplify the models and avoid possible troubles of stability. This thesis consists of six chapters. The first chapter is an introduction containing definitions of option and related terms and derivation of the Black-Scholes equation as well as general aspects of theory of finite difference schemes, including preliminaries on numerical analysis. Chapter 2 is devoted to solve linear Black-Scholes model for American put and call options. A Landau transformation and a new front-fixing transformation are applied to the free boundary value problem. It leads to non-linear partial differential equation (PDE) in a fixed domain. Stable and consistent explicit numerical schemes are proposed preserving positivity and monotonicity of the solution in accordance with the behaviour of the exact solution. Efficiency of the front-fixing method demonstrated in Chapter 2 has motivated us to apply the method to some more complicated nonlinear models. A new change of variables resulting in a time dependent boundary instead of fixed one, is applied to nonlinear Black-Scholes model for American options, such as Barles and Soner and Risk Adjusted Pricing models. Chapter 4 provides a new alternative approach for solving American option pricing problem based on rationality of investor. There exists an intensity function that can be reduced in the simplest case to penalty approach. Chapter 5 deals with multi-asset option pricing. Appropriate transformation allows eliminating of the cross derivative term avoiding computational drawbacks and possible troubles of stability. Concluding remarks are given in Chapter 6. All the considered models and numerical methods are accompanied by several examples and simulations. The convergence rate is computed confirming the theoretical study of consistency. Stability conditions are tested by numerical examples. Results are compared with known relevant methods in the literature showing efficiency of the proposed methods. / [ES] La presente tesis doctoral se centra en la construcción de esquemas en diferencias finitas y el análisis numérico de relevantes modelos de valoración de opciones que generalizan el modelo de Black-Scholes. Se proporciona un análisis cuidadoso de las propiedades de las soluciones numéricas tales como la positividad, la estabilidad y la consistencia. Con el fin de manejar la frontera libre que surge en los problemas de valoración de opciones Americanas, se aplican y se estudian diversas técnicas de transformación basadas en el método de fijación de las fronteras (front-fixing). Se presta especial atención a la valoración de opciones de múltiples activos, como son las opciones ''exchange'' y ''spread''. Esta tesis se compone de seis capítulos. El primer capítulo es una introducción que contiene las definiciones de opción y términos relacionados y la derivación de la ecuación de Black-Scholes, así como aspectos generales de la teoría de los esquemas en diferencias finitas, incluyendo preliminares de análisis numérico. El capítulo 2 está dedicado a resolver el modelo lineal de Black-Scholes para opciones Americanas put y call. Para fijar las fronteras del problema de frontera libre se aplican transformaciones como la de Landau y un nuevo cambio de variable propuesto. La eficiencia del método front-fixing mostrada en el capítulo 2 ha motivado el estudio de su aplicación a algunos modelos no lineales más complicados. En particular, se propone un cambio de variables que lleva a una nueva frontera dependiente del tiempo en lugar de una fija. Este cambio se aplica a modelos no lineales de Black-Scholes para opciones Americanas, como son el de Barles y Soner y el modelo RAPM (Risk Adjusted Pricing Methodology). El capítulo 4 ofrece una nueva técnica para la resolución de problemas de valoración de opciones Americanas basada en la racionalidad de los inversores. Aparece una función de la intensidad que se puede reducir en el caso más simple a la técnica de penalización (penalty method). Este enfoque tiene en cuenta el posible comportamiento irracional de los inversores. En la sección 4.2 se aplica esta técnica al modelo de cambio de regímenes lo que lleva a un nuevo modelo que tiene en cuenta el posible ejercicio irracional, así como varios estados del mercado. El enfoque del parámetro de racionalidad junto con una transformación logarítmica permiten construir un esquema numérico eficiente sin aplicar el método front-fixing o la conocida formulación de LCP (Linear Complementarity Problem). El capítulo 5 se dedica a la valoración de opciones de activos múltiples. Una transformación apropiada permite la eliminación del término de derivadas cruzadas evitando inconvenientes computacionales y posibles problemas de estabilidad. Las conclusiones se muestran en el capítulo 6. Se pone en relieve varios aspectos de la presente tesis. Todos los modelos considerados y los métodos numéricos van acompañados de varios ejemplos y simulaciones. Se estudia la convergencia numérica que confirma el estudio teórico de la consistencia. Las condiciones de estabilidad son corroboradas con ejemplos numéricos. Los resultados se comparan con métodos relevantes de la bibliografía mostrando la eficiencia de los métodos propuestos. / [CA] La present tesi doctoral se centra en la construcció d'esquemes en diferències finites i l'anàlisi numèrica de rellevants models de valoració d'opcions que generalitzen el model de Black-Scholes. Es proporciona una anàlisi cuidadosa de les propietats de les solucions numèri-ques com ara la positivitat, l'estabilitat i la consistència. A fi de manejar la frontera lliure que sorgix en els problemes de valoració d'opcions Americanes, s'apliquen i s'estudien diverses tècniques de transformació basades en el mètode de fixació de les fronteres (front-fixing). Es presta especial atenció a la valoració d'opcions de múltiples actius, com són les opcions ''exchange'' i ''spread''. Esta tesi es compon de sis capítols. El primer capítol és una introducció que conté les definicions d'opció i termes relacionats i la derivació de l'equació de Black-Scholes, així com aspectes generals de la teoria dels esquemes en diferències finites, incloent aspectes preliminars d'anàlisi numèrica. El 2n capítol està dedicat a resoldre el model lineal de Black-Scholes per a opcions Americanes ''put'' i ''call''. Per a fixar les fronteres del problema de frontera lliure s'apliquen transformacions com la de Landau i s'ha proposat un nou canvi de variable proposat. Açò porta a una equació diferencial en derivades parcials no lineal en un domini fix. L'eficiència del mètode front-fixing mostrada en el 2n capítol ha motivat l'estudi de la seua aplicació a alguns models no lineals més complicats. En particular, es proposa un canvi de variables que porta a una nova frontera dependent del temps en compte d'una fixa. Este canvi s'aplica a models no lineals de Black-Scholes per a opcions Americanes, com són el de Barles i Soner i el model RAPM (Risk Adjusted Pricing Methodology). El 4t capítol oferix una nova tècnica per a la resolució de problemes de valoració d'opcions Americanes basada en la racionalitat dels inversors. Apareix una funció de la intensitat que es pot reduir en el cas més simple a la tècnica de penalització (penal method) . Este enfocament té en compte el possible comportament irracional dels inversors. En la secció 4.2 s'aplica esta tècnica al model de canvi de règims el que porta a un nou model que té en compte el possible exercici irracional, així com diversos estats del mercat. L'enfocament del paràmetre de racionalitat junt amb una transformació logarítmica permeten construir un esquema numèric eficient sense aplicar el mètode front-fixing o la coneguda formulació de LCP (Linear Complementarity Problem). El 5é capítol es dedica a la valoració d'opcions d'actius múltiples. Una transformació apropiada permet l'eliminació del terme de derivades mixtes evitant inconvenients computacionals i possibles problemes d' estabilitat. Les conclusions es mostren al 6é capítol. Es posa en relleu diversos aspectes de la present tesi. Tots els models considerats i els mètodes numèrics van acompanyats de diversos exemples i simulacions. S'estu-dia la convergència numèrica que confirma l'estudi teòric de la consistència. Les condicions d'estabilitat són corroborades amb exemples numèrics. Els resultats es comparen amb mètodes rellevants de la bibliografia mostrant l'eficiència dels mètodes proposats. / Egorova, V. (2016). Finite Difference Methods for nonlinear American Option Pricing models: Numerical Analysis and Computing [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/68501 / Premios Extraordinarios de tesis doctorales

Multitud de problemas en ciencia e ingeniería se plantean como ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Si la frontera del recinto donde esas ecuaciones han de satisfacerse se desconoce a priori, se habla de "Problemas de frontera libre", propios de sistemas estacionarios no dependientes del tiempo, o bien de "Problemas de frontera móvil", asociados a problemas de evolución temporal, donde la frontera cambia con el tiempo. La solución a dichos problemas viene dada por la expresión de la(s) variable(s) dependiente(s) de la(s) EDP(s) junto con la función que determina la posición de la frontera. Dado que este tipo de problemas carece en la mayoría de los casos de solución analítica conocida, se hace preciso recurrir a métodos numéricos que permitan obtener una solución lo suficientemente aproximada, y que además mantenga propiedades cualitativas de la solución del modelo continuo de EDP(s). En este trabajo se ha abordado el estudio numérico de algunos problemas de frontera móvil provenientes de diversas disciplinas. La metodología aplicada consta de dos pasos sucesivos: aplicación de la transformación de Landau o "Front-fixing transformation" al modelo en EDP(s) con el fin de mantener inmóvil la frontera del dominio, y posterior discretización a través de un esquema en diferencias finitas. De ahí se obtienen esquemas numéricos que se implementan por medio de la herramienta MATLAB. Mediante un exhaustivo análisis numérico, se estudian propiedades del esquema y de la solución numérica (positividad, estabilidad, consistencia, monotonía, etc.). En el primer capítulo de este trabajo se revisa el estado del arte del campo objeto de estudio, se justifica la necesidad de disponer de métodos numéricos adaptados a este tipo de problemas y se describe brevemente la metodología empleada en nuestro enfoque. El Capítulo 2 se dedica a un problema perteneciente a la Biología Matemática y que consiste en determinar la evolución de la población de una especie invasora que se propaga en un hábitat. Este modelo consiste en una ecuación de difusión-reacción unida a una condición tipo Stefan. Los resultados del análisis numérico confirman la existencia de una dicotomía propagación-extinción en la evolución a largo plazo de la densidad de población de la especie invasora. En particular, se ha podido precisar el valor del coeficiente de la condición de Stefan que separa el comportamiento de propagación del de extinción. Los Capítulos 3 y 4 se centran en un problema de Química del Hormigón con interés en Ingeniería Civil: el proceso de carbonatación del hormigón, fenómeno evolutivo que lleva consigo la degradación progresiva de la estructura afectada y finalmente su ruina, si no se toman medidas preventivas. En el Capítulo 3 se considera un sistema de dos EDPs de tipo parabólico con dos incógnitas. Para su resolución, hay que considerar además las condiciones iniciales, las de contorno y las de tipo Stefan en la frontera. Los resultados numéricos confirman la tendencia de la ley de evolución de la frontera móvil hacia una función del tipo "raíz cuadrada del tiempo". En el Capítulo 4 se considera un modelo más general que el anterior, en el que intervienen seis especies químicas que se encuentran tanto en la zona carbonatada como en la no carbonatada. En el Capítulo 5 se aborda un problema de transmisión de calor que aparece en diversos procesos industriales; en este caso, en el enfriamiento durante la colada de metal fundido, donde la fase sólida avanza y la líquida se va extinguiendo. La frontera móvil (frente de solidificación) separa ambas fases, siendo su posición en cada instante la variable a determinar, junto con las temperaturas en cada fase. Después de la adecuada transformación y discretización, se implementa un esquema en diferencias finitas, subdividiendo el proceso en tres estadios temporales, a fin de tratar las singularidades asociadas a posicione / Many problems in science and engineering are formulated as partial differential equations (PDEs). If the boundary of the domain where these equations are to be solved is not known a priori, we face "Free-boundary problems", which are characteristic of non-time dependent stationary systems; besides, we have "Moving-boundary problems" in temporal evolution processes, where the border changes over time. The solution to these problems is given by the expression of the dependent variable(s) of PDE(s), together with the function that determines the position of the boundary. Since the analytical solution of this type of problems is lacked in most cases, it is necessary to resort to numerical methods that allow an accurate enough solution to be obtained, and which also maintain the qualitative properties of the solution(s) of the continuous model. This work approaches the numerical study of some moving-boundary problems that arise in different disciplines. The applied methodology consists of two successive steps: firstly, the so-called Landau transformation, or "Front-fixing transformation", which is used in the PDE(s) model to maintain the boundary of the domain immobile; later, we proceed to its discretization with a finite difference scheme. Different numerical schemes are obtained and implemented through the MATLAB computational tool. Properties of the scheme and the numerical solution (positivity, stability, consistency, monotonicity, etc.) are studied by an exhaustive numerical analysis. The first chapter of this work reports the state of the art of the field under study, justifies the need to adapt numerical methods to this type of problem, and briefly describes the methodology used in our approach. Chapter 2 presents a problem in Mathematical Biology that consists in determining over time the evolution of an invasive species population that spreads in a habitat. This problem is modelled by a diffusion-reaction equation linked to a Stefan-type condition. The results of the numerical analysis confirm the existence of a spreading-vanishing dichotomy in the long-term evolution of the population density of the invasive species. In particular, it is possible to determine the value of the coefficient of the Stefan condition that separates the propagation behaviour from extinction. Chapters 3 and 4 focus on a problem of Concrete Chemistry with an interest in Civil Engineering: the carbonation of concrete, an evolutionary phenomenon that leads to the progressive degradation of the affected structure and its eventual ruin if preventive measures are not taken. Chapter 3 considers a system of two parabolic type PDEs with two unknowns. For its resolution, the initial and boundary conditions have to be considered together with the Stefan conditions on the carbonation front. The numerical analysis results agree with those obtained in a previous theoretical study. The dynamics of the concentrations and the moving boundary confirm the long-term behaviour of the evolution law for the moving boundary as a "square root of time". Chapter 4 considers a more general model than the previous one, which includes six chemical species, defined in both the carbonated and non-carbonated zones, whose concentrations have to be found. Chapter 5 addresses a heat transfer problem that appears in various industrial processes; in this case, the solidification of metals in casting processes, where the solid phase advances and liquid reduces until it is depleted. The moving boundary (the solidification front) separates both phases. Its position in each instant is the variable to be determined together with the temperature profiles in both phases. After suitable transformation, discretization is carried out to obtain a finite difference scheme to be implemented. The process was subdivided into three temporal stages to deal with the singularities associated with the moving boundary position in the initialisation and depletion stages. / Multitud de problemes en ciència i enginyeria es plantegen com a equacions en derivades parcials (EDPs). Si la frontera del recinte on eixes equacions han de satisfer-se es desconeix a priori, es parla de "Problemas de frontera lliure", propis de sistemes estacionaris no dependents del temps, o bé de "Problemas de frontera mòbil", associats a problemes d'evolució temporal, on la frontera canvia amb el temps. Atés que este tipus de problemes manca en la majoria dels casos de solució analítica coneguda, es fa precís recórrer a mètodes numèrics que permeten obtindre una solució prou aproximada a l'exacta, i que a més mantinga propietats qualitatives de la solució del model continu d'EDP(s). En aquest treball s'ha abordat l'estudi numèric d'alguns problemes de frontera mòbil provinents de diverses disciplines. La metodologia aplicada consta de dos passos successius: en primer lloc, s'aplica l'anomenada transformació de Landau o "Front-fixing transformation" al model en EDP(s) a fi de mantindre immòbil la frontera del domini; posteriorment, es procedix a la seva discretització a través d'un esquema en diferències finites. D'ací s'obtenen esquemes numèrics que s'implementen per mitjà de la ferramenta informàtica MATLAB. Per mitjà d'una exhaustiva anàlisi numèrica, s'estudien propietats de l'esquema i de la solució numèrica (positivitat, estabilitat, consistència, monotonia, etc.). En el primer capítol d'aquest treball es revisa l'estat de l'art del camp objecte d'estudi, es justifica la necessitat de disposar de mètodes numèrics adaptats a aquest tipus de problemes i es descriu breument la metodologia emprada en el nostre enfocament. El Capítol 2 es dedica a un problema pertanyent a la Biologia Matemàtica i que consistix a determinar l'evolució en el temps de la distribució de la població d'una espècie invasora que es propaga en un hàbitat. Este model consistix en una equació de difusió-reacció unida a una condició tipus Stefan, que relaciona les funcions solució i frontera mòbil a determinar. Els resultats de l'anàlisi numèrica confirmen l'existència d'una dicotomia propagació-extinció en l'evolució a llarg termini de la densitat de població de l'espècie invasora. En particular, s'ha pogut precisar el valor del coeficient de la condició de Stefan que separa el comportament de propagació del d'extinció. Els Capítols 3 i 4 se centren en un problema de Química del Formigó amb interés en Enginyeria Civil: el procés de carbonatació del formigó, fenomen evolutiu que comporta la degradació progressiva de l'estructura afectada i finalment la seua ruïna, si no es prenen mesures preventives. En el Capítol 3 es considera un sistema de dos EDPs de tipus parabòlic amb dos incògnites. Per a la seua resolució, cal considerar a més, les condicions inicials, les de contorn i les de tipus Stefan en la frontera. Els resultats de l'anàlisi numèrica s'ajusten als obtinguts en un estudi teòric previ. S'han dut a terme experiments numèrics, comprovant la tendència de la llei d'evolució de la frontera mòbil cap a una funció del tipus "arrel quadrada del temps". En el Capítol 4 es considera un model més general, en el que intervenen sis espècies químiques les concentracions de les quals cal trobar, i que es troben tant en la zona carbonatada com en la no carbonatada. En el Capítol 5 s'aborda un problema de transmissió de calor que apareix en diversos processos industrials; en aquest cas, en el refredament durant la bugada de metall fos, on la fase sòlida avança i la líquida es va extingint. La frontera mòbil (front de solidificació) separa ambdues fases, sent la seua posició en cada instant la variable a determinar, junt amb les temperatures en cada una de les dos fases. Després de l'adequada transformació i discretització, s'implementa un esquema en diferències finites, subdividint el procés en tres estadis temporals, per tal de tractar les singularitats asso / Piqueras García, MÁ. (2018). Numerical Methods for Multidisciplinary Free Boundary Problems: Numerical Analysis and Computing [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/107948

No / This paper presents an investigation into the impact of data dependencies in real-time high performance sequential and parallel processing. An adaptive active vibration control algorithm is considered to demonstrate the impact of data dependencies in real-time computing. The algorithm is analysed in detail to explore the inherent data dependencies. To minimize the impact of data dependencies, an investigation into reducing memory access in sequential computing is provided. The impact of data dependencies with various interconnections is also explored and demonstrated in real-time parallel processing through a set of experiments.

No / We present a new skin deformation method to create dynamic skin deformations in this paper. The core elements of our approach are a dynamic deformation model, an efficient data-driven finite difference solution, and a curve-based representation of 3D models.We first reconstruct skin deformation models at different poses from the taken photos of a male human arm movement to achieve real deformed skin shapes. Then, we extract curves from these reconstructed skin deformation models. A new dynamic deformation model is proposed to describe physics of dynamic curve deformations, and its finite difference solution is developed to determine shape changes of the extracted curves. In order to improve visual realism of skin deformations, we employ data-driven methods and introduce skin shapes at the initial and final poses in to our proposed dynamic deformation model. Experimental examples and comparisons made in this paper indicate that our proposed dynamic skin deformation technique can create realistic deformed skin shapes efficiently with a small data size.

京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(工学) / 甲第25262号 / 工博第5221号 / 新制||工||1996(附属図書館) / 京都大学大学院工学研究科都市社会工学専攻 / (主査)教授 岸田 潔, 教授 安原 英明, 准教授 橋本 涼太 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Agricultural Science / Kyoto University / DFAM

This thesis presents the research results on the development of a microwave tomography imaging algorithm capable of reconstructing the dielectric properties of the unknown object. Our focus was on the theoretical aspects of the non-linear tomographic image reconstruction problem with particular emphasis on developing efficient numerical and non-linear optimization for solving the inverse scattering problem. A detailed description of a novel microwave tomography method based on frequency dependent finite difference time domain, a numerical method for solving Maxwell's equations and Genetic Algorithm (GA) as a global optimization technique is given. The proposed technique has the ability to deal with the heterogeneous and dispersive object with complex distribution of dielectric properties and to provide a quantitative image of permittivity and conductivity profile of the object. It is shown that the proposed technique is capable of using the multi-frequency, multi-view, and multi-incident planer techniques which provide useful information for the reconstruction of the dielectric properties profile and improve image quality. In addition, we show that when a-priori information about the object under test is known, it can be easily integrated with the inversion process. This provides realistic regularization of the solution and removes or reduces the possibility of non-true solutions. We further introduced application of the GA such as binary-coded GA, real-coded GA, hybrid binary and real coded GA, and neural-network/GA for solving the inverse scattering problem which improved the quality of the images as well as the conversion rate. The implications and possible advantages of each type of optimization are discussed, and synthetic inversion results are presented. The results showed that the proposed algorithm was capable of providing the quantitative images, although more research is still required to improve the image quality. In the proposed technique the computation time for solution convergence varies from a few hours to several days. Therefore, the parallel implementation of the algorithm was carried out to reduce the runtime. The proposed technique was evaluated for application in microwave breast cancer imaging as well as measurement data from university of Manitoba and Institut Frsenel's microwave tomography systems.

This thesis presents the research results on the development of a microwave tomography imaging algorithm capable of reconstructing the dielectric properties of the unknown object. Our focus was on the theoretical aspects of the non-linear tomographic image reconstruction problem with particular emphasis on developing efficient numerical and non-linear optimization for solving the inverse scattering problem. A detailed description of a novel microwave tomography method based on frequency dependent finite difference time domain, a numerical method for solving Maxwell's equations and Genetic Algorithm (GA) as a global optimization technique is given. The proposed technique has the ability to deal with the heterogeneous and dispersive object with complex distribution of dielectric properties and to provide a quantitative image of permittivity and conductivity profile of the object. It is shown that the proposed technique is capable of using the multi-frequency, multi-view, and multi-incident planer techniques which provide useful information for the reconstruction of the dielectric properties profile and improve image quality. In addition, we show that when a-priori information about the object under test is known, it can be easily integrated with the inversion process. This provides realistic regularization of the solution and removes or reduces the possibility of non-true solutions. We further introduced application of the GA such as binary-coded GA, real-coded GA, hybrid binary and real coded GA, and neural-network/GA for solving the inverse scattering problem which improved the quality of the images as well as the conversion rate. The implications and possible advantages of each type of optimization are discussed, and synthetic inversion results are presented. The results showed that the proposed algorithm was capable of providing the quantitative images, although more research is still required to improve the image quality. In the proposed technique the computation time for solution convergence varies from a few hours to several days. Therefore, the parallel implementation of the algorithm was carried out to reduce the runtime. The proposed technique was evaluated for application in microwave breast cancer imaging as well as measurement data from university of Manitoba and Institut Frsenel's microwave tomography systems.

This work deals with techniques of time-domain analysis of interconnects. After a studying crucial issue of time-domain analysis of interconnects methods of modeling and simulation simple interconnects in electrotechnics are described. For transient effect analysis two elementary methods can be used: the state variable method and the FDTD (Finite - Difference Time - Domain) method. The FDTD method can be used to solve partial differential equations in time domain, for instance equations of transmission lines. The method is very effective and delivers satisfactory results in case of linear and non-linear lines with a single “live” conductor. The method can be easily programmed in Matlab.