Este projeto foi desenvolvido com os alunos do 3° ano do Ensino Médio de uma Cooperativa educacional do interior do estado de São Paulo, com o objetivo de verificar as contribuições de atividades de otimização de funções quadráticas, utilizando o software Geogebra para a observação das variações dos parâmetros da função em questão. A metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa e os dados foram coletados através da observação do pesquisador e de registros escritos produzidos pelos alunos, direcionados por perguntas previamente elaboradas pelo pesquisador. Os resultados indicam que, de maneira geral, a tecnologia da informação, por se tratar de algo presente no cotidiano dos alunos e por permitir uma melhor visualização do gráfico associado à resolução da situação problema, é uma ferramenta que permite uma melhora no desenvolvimento de conteúdos matemáticos. A pesquisa indicou também que o fato da atividade estar organizada por um tutorial do Geogebra, previamente elaborado pelo pesquisador, não possibilitou a livre exploração do software pelos alunos, etapa importante para a compreensão dos alunos e maior interação destes com o mesmo. / This project was developed with students from the 3rd grade of high school of an educational Cooperative in the countryside of the state of São Paulo, with the aim of verifying the contributions of quadratic functions optimization activities using Geogebra software to observe the variations of the parameters of the function in question. The methodology used was the qualitative research and the data were collected through observation of the researcher and written records produced by students, directed by questions previously prepared by the researcher. The results indicate that, in general, information technology, because it is something present in the daily lives of students and to enable better visualization of the graph associated with the resolution of the problem situation, is a tool that allows an improvement in mathematic content development. The survey also indicated that the fact that the activity had been organized by a tutorial Geogebra, previously developed by the researcher, did not allow the free operation of the software by the students, an important step toward the students understanding and increased their interaction with it.

Submitted by ANA CRISTINA DE SOUZA MARIN null (crismarinn5@gmail.com) on 2018-01-08T14:49:35Z No. of bitstreams: 1 Dissertação Final - ANA CRISTINA DE SOUZA MARIN.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) / Approved for entry into archive by Telma Jaqueline Dias Silveira null (telmasbl@marilia.unesp.br) on 2018-01-08T15:39:01Z (GMT) No. of bitstreams: 1 marin_acs_me_mar.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-08T15:39:01Z (GMT). No. of bitstreams: 1 marin_acs_me_mar.pdf: 6032728 bytes, checksum: b50a3b8d3d2ccb2cecf43815c8cced82 (MD5) Previous issue date: 2017-12-13 / Não recebi financiamento / O presente trabalho versou sobre questões relacionadas à Didática da Matemática e analisou como o software matemático Winplot pode ser utilizado como estratégia potencializadora dos processos de ensino e aprendizagem. Os objetivos foram compreender se e como os softwares matemáticos podem auxiliar nos processos de ensino e aprendizagem, investigando a importância da utilização dos mesmos como facilitadores dos processos de ensino e aprendizagem da matemática, bem como verificar como a aplicação foi vista perante aos alunos enquanto recurso pedagógico alternativo para o ensino da matemática. Partimos do pressuposto de que é imprescindível o preparo dos docentes para utilizar tais ferramentas, assim como planejar suas aulas, elaborar estratégias interessantes e executar ações com recursos didáticos adequados para que se alcancem os objetivos almejados sempre dentro de um contexto alinhado com o Projeto Pedagógico da instituição. O interesse pelo tema surgiu a partir da observação das dificuldades encontradas pelos professores quanto ao ensino da matemática no tocante à articulação entre a teoria e prática, tanto a prática social global pertinente à vida social do homem, quanto a prática em sala de aula relacionada aos conteúdos matemáticos, por meio de softwares educacionais, em especial ao Winplot. A escolha pelo software Winplot justificou-se pelo fato de ser considerada uma ferramenta potencializadora dos processos de ensino e aprendizagem na matemática, uma vez que propicia aos professores um recurso tecnológico no preparo das aulas e atividades como forma de aprimoramento metodológico. Para atender a este objetivo, a presente pesquisa teve como sujeitos os alunos do 1º ano do Ensino Médio de escola pública juntamente com a professora que leciona a disciplina em questão. A pesquisa foi desenvolvida segundo a abordagem qualitativa do tipo pesquisa-ação cooperativa. Teve como resultados a conclusão de que uma aula para ter uma aprendizagem significativa, sendo pautada na Teoria Histórico-Cultural, deve conter elementos para torná-la colaborativa entre os alunos, sendo fundamental a presença do professor mediador, mas deixando os estudantes serem protagonistas dos próprios conhecimentos. O professor tem a responsabilidade de conduzir o processo de forma tal que os alunos tenham condições de atribuir sentido e significado aos conteúdos trabalhados. Os resultados indicam que houve um aumento no interesse dos alunos pelas aulas, comprovando que o uso de tecnologias no ensino da Matemática proporciona melhoria da compreensão dos conceitos e conteúdos matemáticos. Todavia, destaca-se a necessidade de um melhor preparo dos professores no tocante à utilização do recurso tecnológico, bem como de se oferecer melhores condições de trabalho a eles, para que assim os mesmos possam ter condições de planejar uma aula diferenciada, embasada em teorias consistentes como a Teoria Histórico-Cultural, na qual os alunos possam ser efetivamente os protagonistas da ação pedagógica, participando de forma ativa no processo educacional. / The present work dealt with questions related to Mathematics Didactics and analyzed how Winplot mathematical software can be used as a potential strategy for teaching and learning processes. The objectives were to understand if and how mathematical software can aid in teaching and learning processes, investigating the importance of using them as facilitators of the teaching and learning processes of mathematics, as well as verify how the application was seen before the students as a resource an alternative pedagogy for the teaching of mathematics. We assume that it is essential to prepare teachers to use such tools, as well as to plan their classes, to devise interesting strategies and to execute actions with adequate didactic resources so that the objectives always achieved within a context aligned with the Pedagogical Project of the institution. The interest in the subject arose from the observation of the difficulties encountered by the teachers regarding the teaching of mathematics in relation to the theory and practice, both the global social practice pertinent to the social life of the man, and the practice in the classroom related to the mathematical content, through educational software, especially to Winplot. The choice of Winplot software was justified by the fact that it is considered a potential tool for teaching and learning processes in mathematics, since it provides teachers with a technological resource in the preparation of classes and activities as a methodological improvement. In order to meet this objective, the present research had as subjects the students of the 1st year of high school public school together with the teacher who teaches the discipline in question. The research was developed according to the qualitative approach of the cooperative research-action type. The conclusion was that a lesson to have a meaningful learning, based on the Historical-Cultural Theory, should contain elements to make it collaborative among the students, being fundamental the presence of the mediating teacher, but leaving the students to be protagonists of the own knowledge. The teacher has the responsibility to conduct the process in such a way that the students are able to give meaning and meaning to the contents worked. The results indicate that there has been an increase in students' interest in classes, proving that the use of technologies in teaching mathematics improves the understanding of mathematical concepts and contents. However, there is a need for teachers to better prepare for the use of technological resources, as well as to offer better working conditions to teachers, so that they may be able to plan a differentiated class based on theories consistent as the Historical-Cultural Theory, in which students can be effectively the protagonists of the pedagogical action, participating actively in the educational process.

Esta pesquisa tratou de investigar o papel dos registros de representação semiótica na construção do conceito de função, em particular daquelas do tipo afim e quadrática. Parte da pesquisa também foi investigar de que forma o uso de um software de matemática dinâmica, o GeoGebra, pode ajudar o processo de aprendizagem do tópico em questão. A metodologia de pesquisa utilizada é inspirada nos moldes da Engenharia Didática de Artigue. É através das atividades da sequência didática projetada e implementada em 2013, com turma de alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual de Porto Alegre, que vamos mostrar como aconteceu o desenvolvimento de conexões múltiplas entre as diversas representações de uma função (algébrica, gráfica e numérica), bem como a importância do software GeoGebra como recurso pedagógico quando se quer trabalhar com múltiplas representações. As respostas apresentadas, pelos alunos, foram analisadas tendo como referência a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. A observação de relações entre variáveis a partir da manipulação de pontos em uma construção no Geogebra propiciou a compreensão do conceito de função e gráfico, através de constante processo de conversão de registros. / This research aims to investigate the role of semiotic representation registers in the construction of the concept of function, in particular those of the affine and quadratic type. Part of the research was also to investigate how the use of a dynamic mathematics software GeoGebra can help the learning process. The research methodology is inspired by the lines of Didactic Engineering. Through a instructional sequence designed and implemented in 2013, with a group of students of the first year of high school to a state school in Porto Alegre, it is shown how they developed the connections between different registers of representations (algebraic , graphical and numerical). The experience has also shown the importance of GeoGebra as a tool to explore the different registers of representation. The production of students were analyzed taking into acount the theory of semiotic representations of Duval and it was posible to identify their understanding of the concept of variable, function and graph, through the an active process of conversion of registers.

O conceito de taxa de variação é muito útil no estudo das funções reais de uma variável real e, por ser elementar, pode ser apresentado e discutido no Ensino Médio. A proposta deste trabalho é fazer um estudo detalhado e criterioso do uso da taxa de variação no estudo das funções afins, quadráticas e cúbicas. Com isso, pretende-se desenvolver resultados e apresentar diversas aplicações deste conceito a estas classes de funções que incluem, por exemplo, novas formas de obtenção dos seus gráficos, a interpretação geométrica de seus coeficientes, bem como resolver problemas simples e interessantes de otimização. Quanto às funções quadráticas, como aplicação do estudo feito sobre estas funções, apresentamos uma maneira matematicamente rigorosa de conceituar o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), bem como, obtemos as equações horárias deste movimento. A definição que apresentamos é equivalente a usual, mas não faz uso dos Cálculos Infinitesimal e Integral. Como nosso objetivo é eminentemente matemático, não apresentamos qualquer interpretação Física deste conceito na forma que o introduzimos. Já o estudo das funções cúbicas pode ser visto como uma interessante aplicação das funções quadráticas, uma vez que, através do uso das taxas de variação, a descrição (traçado do gráfico) de uma função cúbica é reduzida ao estudo do sinal de uma função quadrática associada. / The concept of rate of change is very useful in the study of real functions of one real variable. Since this is a simple concept it can be presented and discussed in high school. The purpose of this work is to make a comprehensive study use of the rate of change in the study of the affine, quadratic and cubic functions. We prove results and present several applications of this concept to these classes of functions that include, for example, new ways of obtaining their graphs, geometric interpretation of their coefficients, and the solution of simple and interesting optimization problems. As for the quadratic functions, as an application of our study about these functions, we obtain in a mathematically rigorous definition of Uniformly Varied Rectilinear Motion and obtain the equations of the motion without using the Infinitesimal or Integral Calculus. Since we were essentially concerned with the mathematical aspect of this phenomenon, we did not present a discussion about the physical interpretation of our definition. The study of cubic functions can be seen as an interesting application of the quadratic functions, since through the use of rate changing, the description of the graph of a cubic function is reduced to the study of the sign of a quadratic function associated to the given cubic.

When it comes to teaching linear and quadratic functions, we observed that the Mathematics teachers, guided by current textbooks, explore the construction of graphs by connecting points on the Cartesian plane. This method, while valid, does not guarantee an outline safe and does not imply the observation of important properties of these functions. With this in mind, this study aims to verify the efficiency of a screenplay produced in a explanatory and methodological booklet form. This script is a practical and efficient way to plot the graphs of polynomial functions of the 1st and 2nd grade using simple materials and essentials such as paper and pencil, and also a digital resource, the software GeoGebra. To check the efficiency of this route, we take a student group composed of individuals who attend high school in public schools and participant the Institutional Program for Scientific Initiation Scholarships Junior (PIBIC-Jr). The methodology consisted of questionnaires - before, during and after - the teaching intervention: lecture, referring to related functions and quadratic functions, highlighting the construction of their graphs, and use of a printed script, developed in the form of a explanatory booklet which worked the construction of graphs, using the principle of graph paper and pencil, and at another time, a dynamic geometry software. Using this software, and making a sketch of faster graphics, it became understandable graphical changes incurred when changing the coefficients of the functions. As a theoretical framework for the research exposed in this work, we rely on the contribution of the Theory of Didactic Situations, Guy Brousseau (2008), and representative forms of a function in the view of Raymond Duval (2009), in his Theory of Representation Registers Semiotics. The ten students participating in the study, seven had a breakthrough in the development of the trace graph of functions considered and understanding of their properties. Thus, one comes to the conclusion that it is possible to study and observe the properties of linear and quadratic functions taking into account specific issues pertaining to its graphics, both on paper and, especially, on the computer. / Quando se trata do ensino de funções afim e quadrática, observamos que os professores de Matemática, orientados pelos livros didáticos atuais, exploram a construção de gráficos mediante a ligação de pontos no plano cartesiano. Este método, embora seja válido, não garante um esboço seguro e não favorece a observação de propriedades importantes das referidas funções. Pensando nisto, este trabalho objetiva verificar a eficiência de um roteiro produzido em forma de cartilha explicativa e metodológica. Neste roteiro encontra-se uma maneira prática e eficiente para traçar os gráficos de funções polinomiais do 1º e 2º graus fazendo uso de materiais simples e indispensáveis, como o papel e o lápis, e também de um recurso digital, o software GeoGebra. Para verificar a eficiência deste roteiro, tomamos um grupo de alunos composto por indivíduos que cursam o Ensino Médio em escolas públicas e que participam do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica Junior (PIBIC-Jr). A metodologia adotada consistiu na aplicação de questionários - antes, durante e depois – de nossa intervenção de ensino: aulas expositivas, referente às funções afins e funções quadráticas, destacando a construção de seus gráficos; e uso do roteiro impresso que trabalhou a construção dos gráficos, fazendo uso, a princípio, de lápis e papel quadriculado e, em outro momento, de um software de geometria dinâmica. A utilização deste software, além de tornar o esboço de gráficos mais rápidos, tornou compreensíveis as modificações gráficas sofridas quando muda os coeficientes das funções. Como fundamentação teórica para a pesquisa exposta neste trabalho, contamos com a contribuição da Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau (2008), e das formas representativas de uma função na visão de Raymond Duval (2009), na sua Teoria de Registros de Representação Semiótica. Dos dez alunos participantes na pesquisa, sete apresentaram um avanço no desenvolvimento do traçado gráfico das funções consideradas e na compreensão das suas propriedades. Desta maneira, chega-se à conclusão de que é possível estudar e observar as propriedades das funções afim e quadrática levando em consideração pontos específicos pertencentes a seus gráficos, tanto no papel quanto, e especialmente, no computador.

Esta pesquisa tratou de investigar o papel dos registros de representação semiótica na construção do conceito de função, em particular daquelas do tipo afim e quadrática. Parte da pesquisa também foi investigar de que forma o uso de um software de matemática dinâmica, o GeoGebra, pode ajudar o processo de aprendizagem do tópico em questão. A metodologia de pesquisa utilizada é inspirada nos moldes da Engenharia Didática de Artigue. É através das atividades da sequência didática projetada e implementada em 2013, com turma de alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual de Porto Alegre, que vamos mostrar como aconteceu o desenvolvimento de conexões múltiplas entre as diversas representações de uma função (algébrica, gráfica e numérica), bem como a importância do software GeoGebra como recurso pedagógico quando se quer trabalhar com múltiplas representações. As respostas apresentadas, pelos alunos, foram analisadas tendo como referência a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. A observação de relações entre variáveis a partir da manipulação de pontos em uma construção no Geogebra propiciou a compreensão do conceito de função e gráfico, através de constante processo de conversão de registros. / This research aims to investigate the role of semiotic representation registers in the construction of the concept of function, in particular those of the affine and quadratic type. Part of the research was also to investigate how the use of a dynamic mathematics software GeoGebra can help the learning process. The research methodology is inspired by the lines of Didactic Engineering. Through a instructional sequence designed and implemented in 2013, with a group of students of the first year of high school to a state school in Porto Alegre, it is shown how they developed the connections between different registers of representations (algebraic , graphical and numerical). The experience has also shown the importance of GeoGebra as a tool to explore the different registers of representation. The production of students were analyzed taking into acount the theory of semiotic representations of Duval and it was posible to identify their understanding of the concept of variable, function and graph, through the an active process of conversion of registers.

O conceito de taxa de variação é muito útil no estudo das funções reais de uma variável real e, por ser elementar, pode ser apresentado e discutido no Ensino Médio. A proposta deste trabalho é fazer um estudo detalhado e criterioso do uso da taxa de variação no estudo das funções afins, quadráticas e cúbicas. Com isso, pretende-se desenvolver resultados e apresentar diversas aplicações deste conceito a estas classes de funções que incluem, por exemplo, novas formas de obtenção dos seus gráficos, a interpretação geométrica de seus coeficientes, bem como resolver problemas simples e interessantes de otimização. Quanto às funções quadráticas, como aplicação do estudo feito sobre estas funções, apresentamos uma maneira matematicamente rigorosa de conceituar o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), bem como, obtemos as equações horárias deste movimento. A definição que apresentamos é equivalente a usual, mas não faz uso dos Cálculos Infinitesimal e Integral. Como nosso objetivo é eminentemente matemático, não apresentamos qualquer interpretação Física deste conceito na forma que o introduzimos. Já o estudo das funções cúbicas pode ser visto como uma interessante aplicação das funções quadráticas, uma vez que, através do uso das taxas de variação, a descrição (traçado do gráfico) de uma função cúbica é reduzida ao estudo do sinal de uma função quadrática associada. / The concept of rate of change is very useful in the study of real functions of one real variable. Since this is a simple concept it can be presented and discussed in high school. The purpose of this work is to make a comprehensive study use of the rate of change in the study of the affine, quadratic and cubic functions. We prove results and present several applications of this concept to these classes of functions that include, for example, new ways of obtaining their graphs, geometric interpretation of their coefficients, and the solution of simple and interesting optimization problems. As for the quadratic functions, as an application of our study about these functions, we obtain in a mathematically rigorous definition of Uniformly Varied Rectilinear Motion and obtain the equations of the motion without using the Infinitesimal or Integral Calculus. Since we were essentially concerned with the mathematical aspect of this phenomenon, we did not present a discussion about the physical interpretation of our definition. The study of cubic functions can be seen as an interesting application of the quadratic functions, since through the use of rate changing, the description of the graph of a cubic function is reduced to the study of the sign of a quadratic function associated to the given cubic.

O conceito de taxa de variação é muito útil no estudo das funções reais de uma variável real e, por ser elementar, pode ser apresentado e discutido no Ensino Médio. A proposta deste trabalho é fazer um estudo detalhado e criterioso do uso da taxa de variação no estudo das funções afins, quadráticas e cúbicas. Com isso, pretende-se desenvolver resultados e apresentar diversas aplicações deste conceito a estas classes de funções que incluem, por exemplo, novas formas de obtenção dos seus gráficos, a interpretação geométrica de seus coeficientes, bem como resolver problemas simples e interessantes de otimização. Quanto às funções quadráticas, como aplicação do estudo feito sobre estas funções, apresentamos uma maneira matematicamente rigorosa de conceituar o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), bem como, obtemos as equações horárias deste movimento. A definição que apresentamos é equivalente a usual, mas não faz uso dos Cálculos Infinitesimal e Integral. Como nosso objetivo é eminentemente matemático, não apresentamos qualquer interpretação Física deste conceito na forma que o introduzimos. Já o estudo das funções cúbicas pode ser visto como uma interessante aplicação das funções quadráticas, uma vez que, através do uso das taxas de variação, a descrição (traçado do gráfico) de uma função cúbica é reduzida ao estudo do sinal de uma função quadrática associada. / The concept of rate of change is very useful in the study of real functions of one real variable. Since this is a simple concept it can be presented and discussed in high school. The purpose of this work is to make a comprehensive study use of the rate of change in the study of the affine, quadratic and cubic functions. We prove results and present several applications of this concept to these classes of functions that include, for example, new ways of obtaining their graphs, geometric interpretation of their coefficients, and the solution of simple and interesting optimization problems. As for the quadratic functions, as an application of our study about these functions, we obtain in a mathematically rigorous definition of Uniformly Varied Rectilinear Motion and obtain the equations of the motion without using the Infinitesimal or Integral Calculus. Since we were essentially concerned with the mathematical aspect of this phenomenon, we did not present a discussion about the physical interpretation of our definition. The study of cubic functions can be seen as an interesting application of the quadratic functions, since through the use of rate changing, the description of the graph of a cubic function is reduced to the study of the sign of a quadratic function associated to the given cubic.

Esta pesquisa tratou de investigar o papel dos registros de representação semiótica na construção do conceito de função, em particular daquelas do tipo afim e quadrática. Parte da pesquisa também foi investigar de que forma o uso de um software de matemática dinâmica, o GeoGebra, pode ajudar o processo de aprendizagem do tópico em questão. A metodologia de pesquisa utilizada é inspirada nos moldes da Engenharia Didática de Artigue. É através das atividades da sequência didática projetada e implementada em 2013, com turma de alunos do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual de Porto Alegre, que vamos mostrar como aconteceu o desenvolvimento de conexões múltiplas entre as diversas representações de uma função (algébrica, gráfica e numérica), bem como a importância do software GeoGebra como recurso pedagógico quando se quer trabalhar com múltiplas representações. As respostas apresentadas, pelos alunos, foram analisadas tendo como referência a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval. A observação de relações entre variáveis a partir da manipulação de pontos em uma construção no Geogebra propiciou a compreensão do conceito de função e gráfico, através de constante processo de conversão de registros. / This research aims to investigate the role of semiotic representation registers in the construction of the concept of function, in particular those of the affine and quadratic type. Part of the research was also to investigate how the use of a dynamic mathematics software GeoGebra can help the learning process. The research methodology is inspired by the lines of Didactic Engineering. Through a instructional sequence designed and implemented in 2013, with a group of students of the first year of high school to a state school in Porto Alegre, it is shown how they developed the connections between different registers of representations (algebraic , graphical and numerical). The experience has also shown the importance of GeoGebra as a tool to explore the different registers of representation. The production of students were analyzed taking into acount the theory of semiotic representations of Duval and it was posible to identify their understanding of the concept of variable, function and graph, through the an active process of conversion of registers.

Este projeto foi desenvolvido com os alunos do 3° ano do Ensino Médio de uma Cooperativa educacional do interior do estado de São Paulo, com o objetivo de verificar as contribuições de atividades de otimização de funções quadráticas, utilizando o software Geogebra para a observação das variações dos parâmetros da função em questão. A metodologia utilizada foi a da pesquisa qualitativa e os dados foram coletados através da observação do pesquisador e de registros escritos produzidos pelos alunos, direcionados por perguntas previamente elaboradas pelo pesquisador. Os resultados indicam que, de maneira geral, a tecnologia da informação, por se tratar de algo presente no cotidiano dos alunos e por permitir uma melhor visualização do gráfico associado à resolução da situação problema, é uma ferramenta que permite uma melhora no desenvolvimento de conteúdos matemáticos. A pesquisa indicou também que o fato da atividade estar organizada por um tutorial do Geogebra, previamente elaborado pelo pesquisador, não possibilitou a livre exploração do software pelos alunos, etapa importante para a compreensão dos alunos e maior interação destes com o mesmo. / This project was developed with students from the 3rd grade of high school of an educational Cooperative in the countryside of the state of São Paulo, with the aim of verifying the contributions of quadratic functions optimization activities using Geogebra software to observe the variations of the parameters of the function in question. The methodology used was the qualitative research and the data were collected through observation of the researcher and written records produced by students, directed by questions previously prepared by the researcher. The results indicate that, in general, information technology, because it is something present in the daily lives of students and to enable better visualization of the graph associated with the resolution of the problem situation, is a tool that allows an improvement in mathematic content development. The survey also indicated that the fact that the activity had been organized by a tutorial Geogebra, previously developed by the researcher, did not allow the free operation of the software by the students, an important step toward the students understanding and increased their interaction with it.