Sem dúvida a questão central em Dinâmica Holomorfa é aquela sobre a densidade de hiperbolicidade. Temos a seguinte conjectura devida a Pierre Fatou: No espaço das aplicações racionais de grau d o conjunto das aplicações racionais hiperbólicas neste espaço formam um subconjunto aberto e denso. Nem mesmo para a família dos polinômios quadráticos esta questão foi respondida. Para a família quadrática este problema é equivalente a mostrar a não existência de polinômios quadráticos que suportam sobre o seu conjunto de Julia um campo de linhas invariante. Devido a resultados de Jean-Christophe Yoccoz sabemos da não existência de campos de linhas invariante para polinômios quadráticos no máximo finitamente renormalizáveis. Nesta dissertação é mostrado que um polinômio quadrático infinitamente renormalizável satisfazendo certa hipótese geométrica, denominada robustez, não suporta sobre o seu Julia um campo de linhas invariante. Esta prova foi obtida por Curtis T. McMullen e publicada em [McM1]. Os avanços na teoria de renormalização e quanto ao problema da densidade de hiperbolicidade e problemas relacionados tem contado com a colaboração de inúmeros renomados matemáticos como Mikhail M. Lyubich, Artur Ávila, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, Jean-Christophe Yoccoz, Sebastien van Strien, Hiroyuki Inou, dentre outros / Undoubtedly one of the central open questions in Holomorphic Dynamics is about proving the density of hyperbolicity. That question was first raised by Pierre Fatou: In the space of rational functions of degree d the set of hyperbolic rational functions form a open and dense subset. Not even for the family of quadratic polynomials this question been answered. For this particular quadratic family the problem is equivalent to showing the non-existence of quadratic polynomial with a Julia set supporting an invariant line field. Due to results by Jean-Christophe Yoccoz we already know the non-existence of invariant line fields for the quadratic polynomials that are at most finitely renormalizable. In this dissertation it is shown that an infinitely renormalizable quadratic polynomial satisfying a certain geometric hypotesis, called robustness, does not have an invariant line field supported on its Julia set. This proof was obtained by Curtis T. McMullen and published in [McM1]. Many advances on the theory of renormalization and on the problem of density of hyperbolicity have been already accomplished through the collective work of several renowned mathematicians such as Mikhail M. Lyubich, Artur Ávila, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, Jean-Christophe Yoccoz, Sebastien van Strien, Hiroyuki Inou among others.

Sem dúvida a questão central em Dinâmica Holomorfa é aquela sobre a densidade de hiperbolicidade. Temos a seguinte conjectura devida a Pierre Fatou: No espaço das aplicações racionais de grau d o conjunto das aplicações racionais hiperbólicas neste espaço formam um subconjunto aberto e denso. Nem mesmo para a família dos polinômios quadráticos esta questão foi respondida. Para a família quadrática este problema é equivalente a mostrar a não existência de polinômios quadráticos que suportam sobre o seu conjunto de Julia um campo de linhas invariante. Devido a resultados de Jean-Christophe Yoccoz sabemos da não existência de campos de linhas invariante para polinômios quadráticos no máximo finitamente renormalizáveis. Nesta dissertação é mostrado que um polinômio quadrático infinitamente renormalizável satisfazendo certa hipótese geométrica, denominada robustez, não suporta sobre o seu Julia um campo de linhas invariante. Esta prova foi obtida por Curtis T. McMullen e publicada em [McM1]. Os avanços na teoria de renormalização e quanto ao problema da densidade de hiperbolicidade e problemas relacionados tem contado com a colaboração de inúmeros renomados matemáticos como Mikhail M. Lyubich, Artur Ávila, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, Jean-Christophe Yoccoz, Sebastien van Strien, Hiroyuki Inou, dentre outros / Undoubtedly one of the central open questions in Holomorphic Dynamics is about proving the density of hyperbolicity. That question was first raised by Pierre Fatou: In the space of rational functions of degree d the set of hyperbolic rational functions form a open and dense subset. Not even for the family of quadratic polynomials this question been answered. For this particular quadratic family the problem is equivalent to showing the non-existence of quadratic polynomial with a Julia set supporting an invariant line field. Due to results by Jean-Christophe Yoccoz we already know the non-existence of invariant line fields for the quadratic polynomials that are at most finitely renormalizable. In this dissertation it is shown that an infinitely renormalizable quadratic polynomial satisfying a certain geometric hypotesis, called robustness, does not have an invariant line field supported on its Julia set. This proof was obtained by Curtis T. McMullen and published in [McM1]. Many advances on the theory of renormalization and on the problem of density of hyperbolicity have been already accomplished through the collective work of several renowned mathematicians such as Mikhail M. Lyubich, Artur Ávila, Mitsuhiro Shishikura, Curtis T. McMullen, Jean-Christophe Yoccoz, Sebastien van Strien, Hiroyuki Inou among others.