Daktaro disertacijoje sprendžiami trys uždaviniai. Pirmasis nagrinėja Minkovskio “klaustuko” funkcijos Stieltjes’o transformacijos (tai yra, šios funkcijos momentų generuojančios funkcijos, taip vadinamosios diadinės periodo funkcijos), analizines savybes ir jos išraišką uždara ar beveik uždara forma. Pagrindinis rezultatas teigia, kad diadinę periodo funkciją galima išreikšti racionaliųjų funkcijų su racionaliaisiais koeficientais konverguojančia eilute. Įrodyme naudojama kompleksinės dinamikos, analizinės grandininių trupmenų teorijos, kelių kompleksinių kintamųjų funkcijų teorijos technika. Antrasis uždavinys nagrinėja funkcines lygtis, susietas su norminėmis ir kitomis kelių kintamųjų formomis. Yra parodoma, kad šios funkcinės lygtys kartais turi kitų, netrivialiųjų sprendinių. Galiausiai, yra pateikiamas naujas mažosios Fermat teoremos įrodymas. / Doctoral thesis is devoted to investigation of three problems. The first one deals with the analytic properties and representation in closed or almost closed form of the Stieltjes tranform of the Minkowski question mark function (that is, the generating function of moments, the so called dyadic period function). The main result claims that the dyadic period function can be represented as a convergent series of rational functions with rational coefficients. In the proof the techniques from complex dynamics, analytic theory of continued fractions, the theory of several complex variables are being used. The second problem is dealing with functional equations associated with norm and other forms. It is shown that these functional equations sometimes have other solutions apart from the trivial ones. Finally, we present a new proof of Fermat’s little theorem.

Doctoral thesis is devoted to investigation of three problems. The first one deals with the analytic properties and representation in closed or almost closed form of the Stieltjes tranform of the Minkowski question mark function (that is, the generating function of moments, the so called dyadic period function). The main result claims that the dyadic period function can be represented as a convergent series of rational functions with rational coefficients. In the proof the techniques from complex dynamics, analytic theory of continued fractions, the theory of several complex variables are being used. The second problem is dealing with functional equations associated with norm and other forms. It is shown that these functional equations sometimes have other solutions apart from the trivial ones. Finally, we present a new proof of Fermat’s little theorem. / Daktaro disertacijoje sprendžiami trys uždaviniai. Pirmasis nagrinėja Minkovskio “klaustuko” funkcijos Stieltjes’o transformacijos (tai yra, šios funkcijos momentų generuojančios funkcijos, taip vadinamosios diadinės periodo funkcijos), analizines savybes ir jos išraišką uždara ar beveik uždara forma. Pagrindinis rezultatas teigia, kad diadinę periodo funkciją galima išreikšti racionaliųjų funkcijų su racionaliaisiais koeficientais konverguojančia eilute. Įrodyme naudojama kompleksinės dinamikos, analizinės grandininių trupmenų teorijos, kelių kompleksinių kintamųjų funkcijų teorijos technika. Antrasis uždavinys nagrinėja funkcines lygtis, susietas su norminėmis ir kitomis kelių kintamųjų formomis. Yra parodoma, kad šios funkcinės lygtys kartais turi kitų, netrivialiųjų sprendinių. Galiausiai, yra pateikiamas naujas mažosios Fermat teoremos įrodymas.

Neste trabalho é apresentado um breve levantamento da história dos números primos e de que maneira o assunto acerca desses números aparecem no novo cenário trazido pela BNCC. Provamos o Teorema Fundamental da Aritmética e apresentamos duas ferramentas importantes de cálculo, que são as Congruências e o Pequeno Teorema de Fermat. Apresentamos ainda uma proposta didática e um material diferenciado para ser utilizado em sala de aula. / In the present work is presented a brief data collection about the history of prime numbers and how this subject is shown in the new scenario brought by BNCC (Common Curricular National Base) . It was proved the Fundamental Arithmetic Theorem and it was presented two important ways to calculate that are the Congruence and the Fermet Theorem. It is given a teaching method and a differentiated material to be used in class.