Cette thèse porte sur la méthode du gradient topologique appliquée au traitement d'images. Principalement, on s'intéresse à la détection d'objets assimilés, soit à des contours si l'intensité de l'image à travers la structure comporte un saut, soit à une structure fine (filaments et points en 2D) s'il n'y a pas de saut à travers la structure. On commence par généraliser la méthode du gradient topologique déjà utilisée en détection de contours pour des images dégradées par du bruit gaussien, à des modèles non linéaires adaptés à des images contaminées par un processus poissonnien ou du bruit de speckle et par différents types de flous. On présente également un modèle de restauration par diffusion anisotrope utilisant le gradient topologique pour un domaine fissuré. Un autre modèle basé sur une EDP elliptique linéaire utilisant un opérateur anisotrope préservant les contours est proposé. Ensuite, on présente et étudie un modèle de détection de structures fines utilisant la méthode du gradient topologique. Ce modèle repose sur l'étude de la sensibilité topologique d'une fonction coût utilisant les dérivées secondes d'une régularisation de l'image solution d'une EDP d'ordre 4 de type Kirchhoff. En particulier on explicite les gradients topologiques pour des domaines 2D fissurés ou perforés, et des domaines 3D fissurés. Plusieurs applications pour des images 2D et 3D, floutées et contaminées par du bruit gaussien, montrent la robustesse et la rapidité de la méthode. Enfin on généralise notre approche pour la détection de contours et de structures fines par l'étude de la sensibilité topologique d'une fonction coût utilisant les dérivées m−ième d'une régularisation de l'image dégradée, solution d'une EDP d'ordre 2m. / This thesis deals with the topological gradient method applied in imaging. Particularly, we are interested in object detection. Objects can be assimilated either to edges if the intensity across the structure has a jump, or to fine structures (filaments and points in 2D) if there is no jump of intensity across the structure. We generalize the topological gradient method already used in edge detection for images contaminated by Gaussian noise, to quasi-linear models adapted to Poissonian or speckled images possibly blurred. As a by-product, a restoration model based on an anisotropic diffusion using the topological gradient is presented. We also present a model based on an elliptical linear PDE using an anisotropic differential operator preserving edges. After that, we study a variational model based on the topological gradient to detect fine structures. It consists in the study of the topological sensitivity of a cost function involving second order derivatives of a regularized version of the image solution of a PDE of Kirchhoff type. We compute the topological gradients associated to perforated and cracked 2D domains and to cracked 3D domains. Many applications performed on 2D and 3D blurred and Gaussian noisy images, show the robustness and the fastness of the method. An anisotropic restoration model preserving filaments in 2D is also given. Finally, we generalize our approach by the study of the topological sensitivity of a cost function involving the m − th derivatives of a regularization of the image solution of a 2m order PDE.

Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier et de traiter conjointement plusieurs problèmes phares en traitement d'images incluant le recalage d'images qui vise à apparier deux images via une transformation, la segmentation d'images dont le but est de délimiter les contours des objets présents au sein d'une image, et la décomposition d'images intimement liée au débruitage, partitionnant une image en une version plus régulière de celle-ci et sa partie complémentaire oscillante appelée texture, par des approches variationnelles locales et non locales. Les relations étroites existant entre ces différents problèmes motivent l'introduction de modèles conjoints dans lesquels chaque tâche aide les autres, surmontant ainsi certaines difficultés inhérentes au problème isolé. Le premier modèle proposé aborde la problématique de recalage d'images guidé par des résultats intermédiaires de segmentation préservant la topologie, dans un cadre variationnel. Un second modèle de segmentation et de recalage conjoint est introduit, étudié théoriquement et numériquement puis mis à l'épreuve à travers plusieurs simulations numériques. Le dernier modèle présenté tente de répondre à un besoin précis du CEREMA (Centre d'Études et d'Expertise sur les Risques, l'Environnement, la Mobilité et l'Aménagement) à savoir la détection automatique de fissures sur des images d'enrobés bitumineux. De part la complexité des images à traiter, une méthode conjointe de décomposition et de segmentation de structures fines est mise en place, puis justifiée théoriquement et numériquement, et enfin validée sur les images fournies. / In this thesis, we study and jointly address several important image processing problems including registration that aims at aligning images through a deformation, image segmentation whose goal consists in finding the edges delineating the objects inside an image, and image decomposition closely related to image denoising, and attempting to partition an image into a smoother version of it named cartoon and its complementary oscillatory part called texture, with both local and nonlocal variational approaches. The first proposed model addresses the topology-preserving segmentation-guided registration problem in a variational framework. A second joint segmentation and registration model is introduced, theoretically and numerically studied, then tested on various numerical simulations. The last model presented in this work tries to answer a more specific need expressed by the CEREMA (Centre of analysis and expertise on risks, environment, mobility and planning), namely automatic crack recovery detection on bituminous surface images. Due to the image complexity, a joint fine structure decomposition and segmentation model is proposed to deal with this problem. It is then theoretically and numerically justified and validated on the provided images.