Hamburg, Universiẗat, Diss., 1999.

Hamburg, Universiẗat, Diss., 1999.

Stuttgart, Univ., Diss., 2002.

Zugl.: Stuttgart, Universiẗat, Diss., 2001.

Stuttgart, Univ., Diplomarb., 2005.

Zugl.: Berlin, Techn. Univ., Diss., 2009

Universiẗat, Diss., 2008--Kassel.

Universiẗat, Diss., 2002--Stuttgart. / Erscheinungsjahr an der Haupttitelstelle: 2002.

Finite volume methods for compressible Euler equations suffer from an excessive diffusion in the limit of low Mach numbers. This PhD thesis explores new approaches to overcome this. The analysis of a simpler set of equations that also possess a low Mach number limit is found to give valuable insights. These equations are the acoustic equations obtained as a linearization of the Euler equations. For both systems the limit is characterized by a divergencefree velocity. This constraint is nontrivial only in multiple spatial dimensions. As the Jacobians of the acoustic system do not commute, acoustics cannot be reduced to some kind of multi-dimensional advection. Therefore first an exact solution in multiple spatial dimensions is obtained. It is shown that the low Mach number limit can be interpreted as a limit of long times. It is found that the origin of the inability of a scheme to resolve the low Mach number limit is the lack a discrete counterpart to the limit of long times. Numerical schemes whose discrete stationary states discretize all the analytic stationary states of the PDE are called stationarity preserving. It is shown that for the acoustic equations, stationarity preserving schemes are vorticity preserving and are those that are able to resolve the low Mach limit (low Mach compliant). This establishes a new link between these three concepts. Stationarity preservation is studied in detail for both dimensionally split and multi-dimensional schemes for linear acoustics. In particular it is explained why the same multi-dimensional stencils appear in literature in very different contexts: These stencils are unique discretizations of the divergence that allow for stabilizing stationarity preserving diffusion. Stationarity preservation can also be generalized to nonlinear systems such as the Euler equations. Several ways how such numerical schemes can be constructed for the Euler equations are presented. In particular a low Mach compliant numerical scheme is derived that uses a novel construction idea. Its diffusion is chosen such that it depends on the velocity divergence rather than just derivatives of the different velocity components. This is demonstrated to overcome the low Mach number problem. The scheme shows satisfactory results in numerical simulations and has been found to be stable under explicit time integration. / Finite Volumen Methoden für die kompressiblen Euler-Gleichungen zeigen übermäßige Diffusion im Grenzwert kleiner Machzahlen. Diese Dissertation beschäftigt sich mit neuen Ansätzen, um dieses Problem zu beheben. Die Analyse eines Systems einfacherer Gleichungen, die ebenso einen Grenzwert niedriger Machzahlen haben, liefert wichtige Einsichten. Diese Gleichungen sind die als Linearisierung der Euler-Gleichungen erhaltenen akustischen Gleichungen. Für beide Gleichungssysteme ist der Grenzwert durch ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld charakterisiert, was nur in mehreren Raumdimensionen nichttrivial ist. Da die Jacobi-Matrizen des akustischen Systems nicht vertauschen, kann Akustik nicht auf irgendeine Art mehrdimensionaler Advektion zurückgeführt werden. Deswegen wird zunächst eine exakte Lösung in mehreren Raumdimensionen gefunden. Es wird gezeigt, dass sich der Grenzwert kleiner Machzahlen als Grenzwert langer Zeiten interpretieren lässt. Als der Ursprung des Versagens eines Schemas im Grenzwert kleiner Machzahlen wird das Fehlen einer diskreten Entsprechung zum Grenzwert langer Zeiten identifiziert. Numerische Schemata, deren diskrete stationäre Zustände alle analytischen stationären Zustände diskretisieren, werden stationaritätserhaltend genannt. Es zeigt sich, dass für die akustischen Gleichungen stationaritätserhaltende Schemata vortizitätserhaltend sind, und gerade diejenigen sind, die auch den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen vermögen. Das zeigt eine neue Verbindung zwischen diesen drei Konzepten auf. Erhaltung der Stationarität wird für lineare Akustik im Detail für Schemata studiert, die nach Raumdimensionen aufgeteilt sind, und auch für multi-dimensionale Schemata. Insbesondere wird ein Grund geliefert, warum die gleichen multi-dimensionalen diskreten Operatoren in der Literatur in sehr unterschiedlichen Kontexten auftauchen: Sie sind Diskretisierungen der Divergenz, für die eine stabilisierende, stationaritätserhaltende Diffusion gefunden werden kann. Auch für nichtlineare Gleichungen, wie die Euler-Gleichungen, kann die Erhaltung der Stationarität verallgemeinert werden. Es werden dazu mehrere Wege der Konstruktion numerischer Schemata gezeigt. Insbesondere im Hinblick auf den Grenzwert kleiner Machzahlen wird ein neuartiges Schema hergeleitet, dessen Diffusion so gewählt ist, dass es von der Divergenz der Geschwindigkeit, und nicht bloß von irgendswelchen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten abhängt. Es wird gezeigt, dass dieses Schema in der Lage ist, den Grenzwert kleiner Machzahlen aufzulösen. Das Schema zeigt zufriedenstellende Resultate in Simulationen und ist stabil unter Verwendung eines expliziten Zeitintegrators.

Stellar structure can -- in good approximation -- be described as a hydrostatic state, which which arises due to a balance between gravitational force and pressure gradient. Hydrostatic states are static solutions of the full compressible Euler system with gravitational source term, which can be used to model the stellar interior. In order to carry out simulations of dynamical processes occurring in stars, it is vital for the numerical method to accurately maintain the hydrostatic state over a long time period. In this thesis we present different methods to modify astrophysical finite volume codes in order to make them \emph{well-balanced}, preventing them from introducing significant discretization errors close to hydrostatic states. Our well-balanced modifications are constructed so that they can meet the requirements for methods applied in the astrophysical context: They can well-balance arbitrary hydrostatic states with any equation of state that is applied to model thermodynamical relations and they are simple to implement in existing astrophysical finite volume codes. One of our well-balanced modifications follows given solutions exactly and can be applied on any grid geometry. The other methods we introduce, which do no require any a priori knowledge, balance local high order approximations of arbitrary hydrostatic states on a Cartesian grid. All of our modifications allow for high order accuracy of the method. The improved accuracy close to hydrostatic states is verified in various numerical experiments. / Die Struktur von Sternen kann in guter Näherung als hydrostatischer Zustandbeschrieben werden, der durch ein Gleichgewicht zwischen Gravitationskraft undDruckgradient gegeben ist. Hydrostatische Zustände sind statische Lösungen dervollständigen komprimierbaren Euler-Gleichungen mit Gravitationsquellenterm, diezur Modellierung des Sterninneren verwendet werden können. Um Simulationendynamischer Prozesse in Sternen durchführen zu können, ist es wichtig, dass dieverwendete numerische Methode den hydrostatischen Zustand über einen langenZeitraum genau aufrechterhalten kann. In dieser Arbeit stellen wir verschiedene Me-thoden vor, um astrophysikalische Finite-Volumen-Codes so zu modifizieren, dasssie diewell-balancing-Eigenschaft erhalten, d.h., dass sie keine signifikanten Diskre-tisierungsfehler nahe hydrostatischer Zustände verursachen. Unsere well-balancing-Modifikationen sind so konstruiert, dass sie die Anforderungen für Methoden er-füllen, die im astrophysikalischen Kontext angewendet werden: Sie können beliebi-ge hydrostatische Zustände mit jeder Zustandsgleichung, die zur Modellierung derthermodynamischen Beziehungen angewendet wird, balancieren und sind einfach invorhandene astrophysikalische Finite-Volumen-Codes zu implementieren. Eine un-serer well-balancing Modifikationen erhält bekannte Lösungen exakt und kann aufjede Gittergeometrie angewendet werden. Die anderen Methoden, für die keine A-priori-Kenntnisse erforderlich sind, balancieren lokale Approximationen beliebigerhydrostatischer Zustände mit hoher Fehlerordnung auf einem kartesischen Gitter.Alle unsere Modifikationen erlauben eine hohe Fehlerordnung der Methode. Dieverbesserte Genauigkeit nahe an hydrostatischen Zuständen wird in verschiedenennumerischen Experimenten verifiziert.