Premièrement, nous avons caractérisé les systèmes multi-entrées, affines par rapport aux contrôles, linéarisables dynamiquement via une pré-intégration d'un contrôle bien choisi. Ils forment une classe particulière de systèmes plats : ils ont un poids différentiel de n+m+1, où m est le nombre de contrôles et n est la dimension de l'état. Nous avons présenté des formes normales compatibles avec les sorties plates minimales et décrit toutes les sorties plates minimales. Nous avons appliqué nos résultats à plusieurs exemples. Deuxièmement, nous avons décrit les systèmes multi-entrées statiquement équivalents à une forme triangulaire compatible avec la forme multi-chaînée. Ensuite, la platitude de ces systèmes a été analysée et résolue. Nous avons discuté les singularités dans l'espace de contrôle et déterminé toutes les sorties plates. Nous avons appliqué ces résultats au système mécanique d'une pièce roulant sans glissement sur une table en mouvement. / Firstly, we study flatness of multi-input control-affine systems. We give a complete geometric characterization of systems that become static feedback linearizable after a one-fold prolongation of a suitably chosen control. They form a particular class of flat systems, that is of differential weight equal to n+m+l, where n is the dimension of the state-space and m is the number of controls. We illustrate our results by several examples. Secondly, we give a complete geometric characterization of systems locally static feedback equivalent to a triangular form compatible with the m-chained form. We analyze and solve their flatness. We discuss singularities and provide a system of first order PDE's to be solved in order to find all x-flat outputs. We illustrate our results by an application to a mechanical system: the coin rolling without slipping on a moving table.

Die Arbeit beschäftigt sich mit dem systemtheoretischen Konzept der Flachheit: einer Eigenschaft dynamischer Systeme mit großer Bedeutung beim Bewältigen typischer nichtlinearer Regelungs- und Steuerungsprobleme, welche für Systeme verschiedener mathematischer Klassen definiert werden kann. Obwohl sich zahlreiche praktische Beispiele als flach herausgestellt haben und flachheitsbasierte Methoden erfolgreich angewendet werden konnten, ist der Nachweis der Existenz bzw. Nichtexistenz sogenannter flacher Ausgänge ein nach wie vor offenes Problem. Diese als theoretisch ideale Sensorpositionen interpretierbaren rein virtuellen Größen erlauben (vereinfacht ausgedrückt) eine freie Parametrisierung aller Systemgrößen, woraus eine besonders einfache Systemdarstellung möglich wird. Die Planung von Steuerung und Regelung in dieser Darstellung kann dann mit den wohlvertrauten linearen Methoden durchgeführt werden. Darüber hinaus existiert in der Forschungsliteratur das duale Konzept der flachen Eingänge, welches sich aus der im Entwurfsprozess technischer Systeme aufkommenden Frage nach geeigneten Stelleingriffen motivieren lässt. Die Arbeit widmet sich im ersten Teil einer algebraischen Perspektive auf die Flachheitsanalyse, welche eine vereinheitlichte Untersuchung von nichtlinearen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen ermöglicht. Hierfür wird das Konzept der verallgemeinerten Jacobi-Matrix betrachtet, welche den Matrizen über dem Ring der nichtkommutativen Ore-Polynome entstammt. Der zugehörige mathematische Formalismus wird in den für die Arbeit wichtigsten Zügen untersucht. Aufbauend auf diesem Formalismus wird argumentiert, dass ein verbreiteter Zugang aus der Literatur zur Bestimmung flacher Ausgänge im Kern auf eine dynamische Fassung des Satzes von der Umkehrabbildung zurückgeführt werden kann. Aus dieser Perspektive resultiert, dass die zu prüfende Bedingung nicht als notwendig eingestuft werden kann, womit einige in der Literatur formulierte Ergebnisse zur Diskussion gestellt werden. Ein Beispiel untermauert dies. Dass aus diesem Zugang jedoch keine freie Parametrisierbarkeit der Systemgrößen und damit Flachheit folgen muss, zeigt ein weiteres Beispiel, womit die zu prüfende Bedingung auch nicht hinreichend ist. Da die letztere Problematik nur in seltenen Fällen auftritt, wird unter dem Ausschluss dieser der verallgemeinerte Satz von der Umkehrabbildung dennoch als eine nützliche Grundlage für die Flachheitsanalyse angesehen. Hierfür wird die verallgemeinerte Jacobi-Matrix eines impliziten Systems derart unimodular vervollständigt, dass im Anschluss eine Integrabilitätsbedingung erfüllt ist. Durch Integration entsprechender 1-Formen erhält man schließlich einen flachen Ausgang. In der Arbeit wird ein verallgemeinerter Algorithmus zur Berechnung einer unimodularen Vervollständigung vorgestellt, der neben den zeitdiskreten und zeitkontinuierlichen Zustandssystemen auch für die Analyse von Deskriptorsystemen genutzt werden kann. Der algebraische Ansatz wird außerdem auf die Berechnung flacher Eingänge übertragen, bei der einerseits die Integrabilitätsbedingung aus strukturellen Gründen immer erfüllt ist, andererseits jedoch eine zusätzliche Unimodularitätsbedingung gelten muss. Diese ist den Untersuchungen des Autors nach jedoch nur in seltenen Spezialfällen nicht erfüllt. Der zweite Teil der Arbeit widmet sich der Anwendung flacher Eingänge, die im Vergleich zu flachen Ausgängen in der Literatur bisher nur wenig Aufmerksamkeit erhalten haben. Zum einen wird ein Verfahren vorgestellt, mit dem der Reglerentwurf für nichtlineare nichtbeobachtbare nichtflache zeitkontinuierliche Zustandssysteme gelingen kann. Das den flachen Eingängen nahestehende Konzept der fiktiven Eingänge wird dabei mit einer Regelungsstrategie auf Basis flacher Eingänge in geeigneter Weise miteinander kombiniert. Zur Realisierung des Reglers wird ein dynamischer Kompensator benötigt, der im Allgemeinen jedoch nur zeitlich diskretisiert angegeben werden kann. Ein Beispiel illustriert dieses Vorgehen. Zum anderen wird der Frage nachgegangen, welche Rolle flache Eingänge im Beobachterentwurf spielen, was aus Dualitätsgründen vermutet werden kann. Für zeitkontinuierliche Zustandssysteme wird zunächst der zeitkontinuierliche Normalformbeobachter herangezogen, dessen Anwendbarkeit bekanntermaßen als restriktiv einzustufen ist. Für nichtintegrierbare Systeme, d.h. Systeme für die ein solcher Beobachter nicht existiert, wird ein Verfahren vorgestellt, bei welchem dem System mit Hilfe eines dynamischen Kompensators die Dynamik eines integrierbaren Systems mit flachem Eingang aufgeprägt wird. Für dieses kann anschließend ein Normalformbeobachter konstruiert werden. Aus den geschätzen Größen des integrierbaren Systems wird mit Hilfe einer Zustandstransformation schließlich eine Rekonstruktion des Zustands des ursprünglichen Systems erreicht. Dieses prinzipielle Vorgehen wird auf die Klasse der zeitdiskreten Zustandssysteme und auf die der zeitkontinuierlichen Systeme mit abgetasteten Messgrößen übertragen. Auch diese Methode wird durch Beispiele veranschaulicht.