Le sujet de notre mémoire est l'intersection entre deux domaines : La théorie des valeurs extrêmes (TVE) et les copules. L'objet de la TVE est de trouver la loi limite du maximum d'un échantillon. Grâce aux résultats de la TVE, on peut modéliser les phénomènes extrêmes. Par aillleurs, il existe une variante bivariée de la TVE. La variante bivariée de la TVE utilise une famille de copules appelées copules de valeurs extrêmes pour tenir compte de la liaison entre les deux phénomènes extrêmes. En dimension 2, toute copule de valeurs extrêmes dépend d'une fonction de Pickands. L'objet de notre mémoire est d'estimer la fonction de Pickands à partir de données. Nous avons trouvé un moyen de construire une fonction de Pickands grâce à des splines cubiques. À partir de cette construction, on obtient une famille élargie de fonctions de Pickands dans laquelle nous effectuons notre inférence statistique. Nous avons choisit l'approche bayésienne pour construire l'estimateur et les méthodes de MCMC pour les évaluations numériques. La méthode a été appliquée sur des données simulées et réelles. / The subject of our thesis is intersection between two fields: The Extreme Value Theory (EVT) and copulas. The object of EVT is to find the limit law of the maximum of a sample. Due to the results of EVT, we can model extreme phenomena. In addition, there is a bivariate variant of EVT. The bivariate variant of EVT uses a family of copulas called extreme value copulas to account for the connection between the two extreme events. Any copula with extreme values depends on a Pickands function. The object of our thesis is to estimate the Pickands function from data. We have found a way to build a Pickands function using cubic splines. From this construction, we obtain an extended family of Pickands functions in which we perform our statistical inference. We chose the Bayesian approach to build the estimator and the MCMC methods for the estimates. The method was applied on simulated and real data.

Faire l'estimation d'une copule de valeurs extrêmes bivariée revient à estimer A, sa fonction de Pickands qui lui est associée. Cette fonction A:[0,1] \( \rightarrow \) [0,1] doit satisfaire certaines contraintes : $$\max\{1-t, t \} \leq A(t) \leq 1, \hspace{3mm} t\in[0,1]$$ $$\text{A est convexe.}$$ Plusieurs estimateurs ont été proposés pour estimer cette fonction A, mais peu respectent ses contraintes imposées. La contribution principale de ce mémoire est d'introduire une technique simple de correction d'estimateurs de la fonction de Pickands de sorte à ce que les estimateurs corrigés respectent les contraintes exigées. La correction proposée utilise une nouvelle propriété du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes, combinée avec l'enveloppe convexe de l'estimateur obtenu pour garantir le respect des contraintes de la fonction A. La seconde contribution de ce mémoire est de présenter un estimateur bayésien non paramétrique de la fonction de Pickands basé sur la forme introduite par Capéraà et al. (1997). L'estimateur utilise les processus de Dirichlet pour estimer la fonction de répartition d'une transformation du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes. Des analyses par simulations sont produites sur un ensemble d'estimateurs pour mesurer la performance de la correction et de l'estimateur bayésien proposés, sur un ensemble de 18 distributions de valeurs extrêmes bivariées. La correction améliore l'erreur quadratique moyenne sur l'ensemble des niveaux. L'estimateur bayésien proposé obtient l'erreur quadratique moyenne minimale pour les estimateurs considérés. / Estimating a bivariate extreme-value copula is equivalent to estimating A, its associated Pickands function. This function A: [0,1] \( \rightarrow \) [0,1] must satisfy some constraints : $$\max\{1-t, t \} \leq A(t) \leq 1, \hspace{3mm} t\in[0,1]$$ $$\text{A is convex.}$$ Many estimators have been proposed to estimate A, but few satisfy the imposed constraints. The main contribution of this thesis is the introduction of a simple correction technique for Pickands function estimators so that the corrected estimators respect the required constraints. The proposed correction uses a new property of the extreme-value random vector and the convex hull of the obtained estimator to guaranty the respect of the Pickands function constraints. The second contribution of this thesis is to present a nonparametric bayesian estimator of the Pickands function based on the form introduced by Capéraà, Fougères and Genest (1997). The estimator uses Dirichlet processes to estimate the cumulative distribution function of a transformation of the extreme-value bivariate vector. Analysis by simulations and a comparison with popular estimators provide a measure of performance for the proposed correction and bayesian estimator. The analysis is done on 18 bivariate extreme-value distributions. The correction reduces the mean square error on all distributions. The bayesian estimator has the lowest mean square error of all the considered estimators.