Cette thèse se consacre à l'étude de théorèmes limites pour des suites de variables aléatoires stationnaires (en particulier issues d'un système dynamique). Nous nous concentrons sur deux résultats importants, notamment par leurs applications en statistiques. Nous étudions tout d'abord le comportement limite des sommes de variables aléatoires, plus précisément le théorème limite central et son principe d'invariance. Ensuite nous considérons le principe d'invariance pour les processus empiriques.<br />Dans le cadre du principe d'invariance faible de Donsker, plusieurs résultats s'obtiennent au travers d'approximations par des martingales et plus généralement par des critères projectifs. Nous comparons quatre de ces critères et montrons leur indépendance mutuelle. Les critères étudiés sont la décomposition martingale-cobord (Gordin, 1969), la condition de Hannan (1979), le critère de Dedecker et Rio (2000) et<br />la condition de Maxwell et Woodroofe (2000).<br />En ce qui concerne le comportement asymptotique des processus empiriques, nous établissons un principe d'invariance dans le cas des automorphismes du tore. Cela permet de sortir du cadre hyperbolique connu et d'obtenir un premier résultat pour une transformation partiellement hyperbolique.<br />Nous proposons également une nouvelle approche, basée sur des méthodes d'opérateurs, permettant d'établir un principe d'invariance empirique. Cette méthode s'applique en particulier aux cas où l'on a de bonnes propriétés pour une classe de fonctions ne contenant pas les fonctions indicatrices. C'est en particulier le cas de certains systèmes dynamiques dont l'opérateur de transfert admet un trou spectral.<br />En dernier lieu, suivant une question de Burton et Denker (1987), nous nous intéressons à la classe des processus pour lesquels le théorème limite central a lieu. En référence au cadre des processus empiriques, nous étudions en particulier les suites de sommes partielles des itérées d'une fonction indicatrice.

Ce mémoire présente une nouvelle méthode d’étudier des fonctions de Morse sur une variété compacte. Plus précisément, les croisements entre les lignes de flot de pseudo-gradients associés à des fonctions de Morse permettent de définir géométriquement des morphismes entre les complexes de Morse, morphismes qui ne peuvent généralement pas être obtenus par une homotopie. Cette nouvelle classe de morphismes mène à la définition d’une catégorie triangulée. La question centrale est de savoir si tout objet de cette catégorie est décomposable en cône itéré de fonctions de Morse parfaites. En effet, une telle décomposition simplifierait l’étude de la dynamique d’une fonction de Morse en l’interprétant plutôt comme plusieurs fonctions parfaites. Une seconde question d’importance porte sur une condition de généricité globale à laquelle est soumise cette catégorie triangulée. Nous étudions la possibilité de s’en soustraire en proposant une méthode de déformations des fonctions de Morse. / This master’s thesis introduces a new way to sudy Morse functions on a compact manifold. More specifically, crossings between flows of pseudo-gradients associated to Morse functions allow one to define geometric realisations of morphisms between the Morse complexes. This new class of morphisms leads to the definition of a triangulated category. The main question is to determine if every object of this category admits an iterated cone decomposition. Such a decomposition would greatly simplify the study of the dynamic of a Morse function by interpreting it as many perfect Morse functions. A second topic concerns the global genericity condition to which this category is subject. We study a way, through deformation of Morse functions, to avoid such a constraint.

Cette thèse est consacrée à l’étude de trois questions différentes concernant les groupoïdes de Lie et leurs applications. Le premier chapitre présente quelques préliminaires sur les groupoïdes de Lie. Dans le chapitre 2, on exprime la déformation de Witten à l’aide d’une déformation au cone normal et la théorie de C∗-modules ce qui nous permet de retrouver les inégalités de Morse. Notre méthode se généralise au cas des feuilletages. Dans le chapitre 3, on donne une construction simple du groupoïde de déformation construit par Choi-Pönge et Van Erp-Yuncken. Rappelons que celui-ci décrit le calcule pseudo-différentiel inhomogène grâce au travail de Debord-Skandalis et Van Erp- Yuncken. Notre construction montre que le groupoïde de déformation est en fait une déformation au cone normal classique itérée. Dans le chapitre 4, suivant le travail de Antonini, Azzali et Skandalis, on construit un élément en KK-théorie équivariante qui permet d’exprimer directement les invariants de Chern-Simons en K-théorie. Dans l’appendice on donne quelques rappels sur la KK-théorie équivariante et la KK-théorie réelle introduite par Antonini, Azzali et Skandalis. / This thesis is devoted to the study of three different questions concerning Lie groupoids and their applications. The first chapter presents some preliminaries on Lie groupoids. In Chapter 2, Witten’s deformation is expressed using deformation to the normal cone construction and the theory of C∗-modules, which allows us to reprove the Morse inequalities. Our method is generalised to the case of foliations. In Chapter 3, we give a simple construction of the deformation groupoid built by Choi-Pönge and Van Erp-Yuncken. Recall that this groupoid describes the inhomogeneous pseudo-differential calculus thanks to the work of Debord-Skandalis and Van Erp-Yuncken. Our construction shows that the deformation groupoid is actually an iterated classical deformation to the normal cone. In Chapter 4, following the work of Antonini, Azzali and Skandalis, we construct an element in equivariant KK-theory that allows us to express the Chern-Simons invariants directly in K-theory. In the appendix we give some reminders about the equivariant KK-theory and the real KK-theory introduced by Antonini, Azzali and Skandalis.