Les radars à nuages sont des atouts indéniables pour la Prévision Numérique du Temps (PNT). De par leur petite longueur d’onde, ils possèdent une excellente sensibilité aux particules nuageuses et ils sont facilement déployables à bord de plates-formes mobiles. Cette thèse a permis d’évaluer l’apport des observations de radars à nuages pour la validation et l’initialisation de modèles de PNT à échelle kilométrique. Dans la première partie, un opérateur d’observation pour la réflectivité en bande W a été conçu en cohérence avec le schéma microphysique à un moment d'Arome, le modèle de PNT à échelle kilométrique de Météo-France, mais de façon suffisamment générale pour pouvoir être adapté à un autre modèle de PNT à échelle kilométrique. Il est adaptable pour des radars à visée verticale aéroportés ou au sol. Afin de dissocier les erreurs de positionnement des nuages prévus par Arome, de celles présentes dans l’opérateur d’observation, une nouvelle méthode de validation, appelée "la méthode de la colonne la plus ressemblante (CPR), a été élaborée. Cette méthode a été employée afin de valider et de calibrer l'opérateur d'observation en utilisant les profils de réflectivité collectés par le radar à nuages aéroporté Rasta dans des conditions variées durant la première période d’observations (SOP1) du programme international HyMeX, qui vise à améliorer notre compréhension du cycle de l'eau en méditerranée. La seconde partie s'est intéressée à l'apport respectif de l'assimilation de profils verticaux de réflectivité et de vents horizontaux mesurés par le radar à nuages Rasta dans le système d'assimilation variationnel tridimensionnel (3DVar) d'Arome. Le bénéfice apporté par des conditions thermodynamiques, via l'assimilation de la réflectivité en bande W, et dynamiques, via l'assimilation des profils de vents horizontaux, cohérentes dans l'état initial a également été étudié. Pour assimiler la réflectivité en bande W, la méthode d'assimilation "1D+3DVar", qui est opérationnelle dans Arome pour assimiler les réflectivités des radars de précipitation au sol, a été employée. La méthode de restitution bayésienne 1D de profils d'humidité a été validée avec des mesures d'humidité in situ indépendantes. Puis, les expériences d'assimilation ont été menées sur un événement fortement convectif, ainsi que sur une plus longue période de 45 jours. Les résultats suggèrent notamment que l'assimilation conjointe des profils de réflectivité en bande W et des profils verticaux de vents horizontaux permet d'améliorer les analyses d'humidité, mais suggèrent également une légère amélioration des prévisions des cumuls de précipitation / Cloud radars are an undeniable assets for Numerical Weather Prediction (NWP) models. Because of their very short wavelength, they are extremely sensitive to cloud microphysical properties and are easily deployable aboard moving platforms such as aircraft or spacecraft. This PhD has explored the potential of cloud radar data for the validation and initialisation of kilometre-scale NWP models. In the first part of the PhD, a W-band reflectivity forward operator was designed. It is consistent with the one-moment microphysical scheme used in the Météo-France kilometre-scale NWP model AROME, but in a sufficiently general way that it could be adapted to other kilometrescale NWP models. It was designed in particular for airborne or ground-based vertically pointing cloud radars. To disentangle spatial location errors in the model from errors in the forward operator, a neighbourhood validation method, called the “Most Resembling Method” (MRC), was designed. This validation method was used to validate and calibrate the forward operator using the data collected by the airborne cloud radar RASTA in diverse conditions during the first Special Observation Period (SOP1) of the HyMeX international program, which aims to improve our understanding of the Mediterranean water cycle. The second part focused on the respective roles of the assimilation of reflectivity and horizontal wind profiles, measured by the cloud radar RASTA, in the three dimensional variational (3DVar) assimilation system of AROME. The benefit brought by consistent thermodynamic conditions in the initial state, through the assimilation of the W-band reflectivity, and dynamic ones, through the assimilation of horizontal wind profiles, was also investigated.To assimilate the W-band reflectivity, the two-step assimilation method “1D+3DVar”, operationally employed in AROME to assimilate ground-based precipitation radar data, was used. The efficiency of the 1D Bayesian method in retrieving humidity fields is assessed using independent in-flight humidity measurements. The assimilation experiments were performed for a heavy convective event, as well as over a longer period of 45 days. In particular, the results indicate that the joint assimilation of W-band reflectivity and horizontal wind profiles suggest an improvement of moisture analyses, along with a slight improvement of the rainfall precipitation forecasts.

Cette thèse a permis d'explorer l'apport des variables polarimétriques radar (aux longueurs d'onde centimétriques), sensibles aux propriétés microphysiques des hydrométéores, pour les modèles de prévision numérique à échelle convective. Dans la première partie de la thèse, un opérateur d'observation radar polarimétrique, cohérent avec les paramétrisations microphysiques à 1 moment couramment utilisées par les modèles opérationnels à échelle convective a été développé. Des comparaisons entre données simulées et observées pour tous les types de radar (S, C et X) ont été réalisées pour deux cas d'étude convectifs, et ont permis de valider l'opérateur d'observation. La deuxième partie de cette thèse a été consacrée à la conception et au test d'une méthode d'assimilation des variables polarimétriques, s'appuyant sur la méthode opérationnelle 1D+3D-Var, d'assimilation des réflectivités radar dans le modèle AROME. La méthode de restitution bayésienne 1D des profils d'humidité a été adaptée, afin d'inclure la phase différentielle spécifique et la réflectivité différentielle, en plus de la réflectivité, dans le vecteur d'observation. Plusieurs options de la méthode de restitution ont été testées et évaluées par des comparaisons aux observations radar et GPS. Des expériences d'assimilation menées sur deux cas convectifs ont ensuite été réalisées et ont permis d'évaluer l'impact des observations polarimétriques sur les champs analysés d'humidité ainsi que sur les prévisions de réflectivité et de cumuls de précipitation. / This PhD has explored the benefits of polarimetric variables (for centimeter wavelength radars), which are sensitive to the microphysical properties of hydrometeors, for convective scale numerical prediction models. In the first part of the PhD, a radar forward operator, consistent with the bulk 1 moment microphysical schemes typically used by the operational convective scale models, has been designed. Comparisons between observed and simulated variables for all radar types (S, C, X) have been performed for two convective cases, and helped validate the forward operator. Following these comparisons, quality controls have been specified so as to limitate the errors on the polarimetric variables before using them for assimilation. In the second part of the PhD, an assimilation method for polarimetric variables, based on the operational 1D+3D-Var assimilation method used for radar reflectivities in AROME model has been designed. The Bayesian retrieval of 1D humidity profiles has been adapted in order to include differential reflectivity and specific differential phase within the observation vector. Different options of the methodology have been tested and evaluated by comparisons with radar and GPS observations. Assimilation experiments conducted for two convective cases demonstrated an impact on analysed humidity fields. The effect of the assimilation of polarimetric variables on forecasted reflectivities and precipitation accumulations was also evaluated.

This thesis is comprised of two main parts: Monotonicity results on discrete fractional operators and discrete fractional rheological constitutive equations. In the first part of the thesis, we introduce and prove new monotonicity concepts in discrete fractional calculus. In the remainder, we carry previous results about fractional rheological models to the discrete fractional case. The discrete method is expected to provide a better understanding of the concept than the continuous case as this has been the case in the past. In the first chapter, we give brief information about the main results. In the second chapter, we present some fundamental definitions and formulas in discrete fractional calculus. In the third chapter, we introduce two new monotonicity concepts for nonnegative or nonpositive valued functions defined on discrete domains, and then we prove some monotonicity criteria based on the sign of the fractional difference operator of a function. In the fourth chapter, we emphasize the rheological models: We start by giving a brief introduction to rheological models such as Maxwell and Kelvin-Voigt, and then we construct and solve discrete fractional rheological constitutive equations. Finally, we finish this thesis by describing the conclusion and future work.