Teil 1 der Arbeit beinhaltet eine Zusammenfassung grundlegender funktionalanalytischer Ergebnisse sowie eine Einführung in die Integral- und Differentialrechnung in Frécheträumen. Insbesondere wird in Kapitel 2 eine ausführliche Darstellung des Lebesgue-Bochner-Integrals auf Frécheträumen geliefert. Teil 2 behandelt die Theorie der linearen Differentialgleichungen auf Frécheträumen. Dazu werden in Kapitel 3 stark differenzierbare Halbgruppen und deren infinitesimale Generatoren charakterisiert. In Kapitel 4 werden diese Ergebnisse benutzt, um lineare Evolutionsgleichungen (von hyperbolischem oder parabolischem Typ) zu untersuchen. Teil 3 enthält die zentralen Resultate der Arbeit. In Kapitel 5 werden zwei Existenz- und Eindeutigkeitssätze für nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen in zahmen Frécheträumen bewiesen. Kapitel 6 liefert eine Anwendung der Ergebnisse aus Kapitel 5 auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. / The first part of this thesis gives a summary on some basic results in functional analysis and an introduction to calculus in Fréchet spaces. Particularly, a detailed treatment of the Lebesgue-Bochner integral in Fréchet spaces is developed in chapter 2. Part 2 is devoted to the theory of linear differential equations in Fréchet spaces. Strongly differential semigroups and their infinitesimal generators are characterized in chapter 3. These results are used in chapter 4 to study linear evolution equations (of hyperbolic or parabolic type). The main results of this thesis are contained in part 3. In chapter 5 two existence and uniqueness theorems for nonlinear ordinary differential equations in tame Fréchet spaces are proved. Theses results are applied in chapter 6 to nonlinear partial differential equations of first order.