This thesis studies complex harmonic polynomials of the form $f(z) = az^n + b\bar{z}^k+z$ where $n, k \in \mathbb{Z}$ with $n > k$ and $a, b > 0$. We show that the sum of the orders of the zeros of such functions is $n$ and investigate the locations of the zeros, including whether the zeros are in the sense-preserving or sense-reversing region and a set of conditions under which zeros have the same modulus. We also show that the number of zeros ranges from $n$ to $n+2k+2$ as long as certain criteria are met.

Submitted by Aelson Maciera (aelsoncm@terra.com.br) on 2017-05-03T18:30:03Z No. of bitstreams: 1 DissAISC.pdf: 2959521 bytes, checksum: 8f70ee52c92314238d50ce361fc05981 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-04T14:06:15Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissAISC.pdf: 2959521 bytes, checksum: 8f70ee52c92314238d50ce361fc05981 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2017-05-04T14:06:23Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissAISC.pdf: 2959521 bytes, checksum: 8f70ee52c92314238d50ce361fc05981 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-04T14:10:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissAISC.pdf: 2959521 bytes, checksum: 8f70ee52c92314238d50ce361fc05981 (MD5) Previous issue date: 2016-10-21 / Não recebi financiamento / In this work we explain an elegant and accessible proof of the Fundamental Theorem of Algebra using the Lagrange Multipliers method. We believe this will be a valuable resource not only to Mathematics students, but also to students in related areas, as the Lagrange Multipliers method that lies at the heart of the proof is widely taught. / Neste trabalho expomos uma demonstração acessível e elegante do Teorema Fundamental da Álgebra utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange. Acreditamos que este trabalho seria uma fonte valiosa não são para estudantes de Matemática, mas também para estudantes de áreas relacionadas, uma vez que o método dos multiplicadores de Lagrange é amplamente ensinado em cursos de exatas.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-25T11:43:39Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2014-11-25T12:21:37Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2014-11-25T12:21:37Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Vitail José Rocha - 2014.pdf: 2821899 bytes, checksum: 15f18dbbd000ffd3491c30d95cc2763f (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2014-07-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The objective of this work is to tell a little bit about the emergence and development of the Fundamental Theorem of Algebra, having as plot the historical context and the formalization of Complex Numbers, which mixes with this theorem. Considering the mathematical rigor in the construction of this subject, which o ered structure for the consolidation of this theorem. This work aims to achieve a more accessible demonstration, due to their necessary presence in high school, but in an axiomatic form. / O objetivo deste trabalho é contar um pouco sobre o surgimento e desenvolvimento do Teorema Fundamental da Álgebra, tendo como enredo o contexto histórico e formaliza ção dos Números Complexos, que se mistura com este teorema. Levando em consideração o rigor matemático na construção deste corpo, o qual ofereceu estrutura para a consolidação deste teorema. Este trabalho busca alcançar uma demonstração mais acessível, devido a sua presença necessária no Ensino Médio, mas de forma axiom ática .

The fundamental theorem of algebra (FTA) is an important theorem in algebra. This theorem asserts that the complex field is algebracially closed. This thesis will include historical research of proofs of the fundamental theorem of algebra and provide information about the first proof given by Gauss of the theorem and the time when it was proved.

We look at three distinct topics in analysis. In the first we give a direct and easy proof that the usual Newton-Leibniz rule implies the fundamental theorem of algebra that any nonconstant complex polynomial of one complex variable has a complex root. Next, we look at the Riesz representation theorem and show that the Riesz representing measure often can be given in the form of mini sums just like in the case of the usual Lebesgue measure on a cube. Lastly, we look at the idea of holomorphic domination and use it to define a class of complex Banach manifolds that is similar in nature and definition to the class of Stein manifolds.

Submitted by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T19:13:01Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) / Approved for entry into archive by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-27T19:13:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-27T19:13:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 630083 bytes, checksum: 9ec35216236b2cb573332fb7cd30c375 (MD5) Previous issue date: 2013-08-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We present the main properties related to complex numbers. We justify as the history of mathematics can contribute to learning that content. Then we describe briefly the history of complex numbers. We also show where the complex numbers can be applied both within mathematics itself, and beyond. / Neste trabalho apresentamos as principais propriedades referentes aos números complexos. Justificamos como a História da Matemática pode contribuir para a aprendizagem desse conteúdo. Em seguida descreveremos de forma sucinta a história dos números complexos. Mostramos também onde os números complexos podem ser aplicados, tanto dentro da própria Matemática, como fora dela.

Neste trabalho, seguindo a abordagem de Weierstrass, temos o objetivo de responder a seguinte questão: conhecida a equivalência entre holomorfia e analiticidade no caso complexo, quais propriedades das funções analíticas podem ser obtidas sem assumir tal equivalência? Analisando esta situação, resultados interessantes serão obtidos sem o uso de qualquer teorema de integração complexa e, para alcançar tal objetivo, nossas principais ferramentas serão a teoria de somas não ordenadas de famílias em C e propriedades do índice de caminhos fechados. Entre os resultados apresentados estão os conhecidos Teorema Fundamental da Álgebra, Lema de Schwarz, Teorema de Montel, Teorema da Série Dupla de Weierstrass, Princípio do Argumento, Teorema de Rouché, Teorema da Fatoração de Weierstrass, Pequeno Teorema de Picard e o Teorema da Aplicação de Riemann. / In this work, following the Weierstrass\'s approach, we aim to answer the following question: knowing the equivalence between holomorphy and analyticity in the complex case, which properties of analytic functions can be obtained without assuming such equivalence? Through analyzing this situation, interesting results will be obtained without employing of any complex integration theorem and in order to achieve this goal, our main tools will be the theory of unordered sums in C and properties of winding numbers of closed paths. Among the proven results are the well known Fundamental Theorem of Algebra, Schwarz\'s Lemma, Montel\'s Theorem, Weierstrass\'s Double Series Theorem, Argument Principle, Rouché\'s Theorem, Weierstrass\'s Factorization Theorem, Picard\'s Little Theorem and the Riemann\'s Mapping Theorem.

Orientadora: Profa. Dra. Ana Carolina Boero / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2016. / O Teorema Fundamental da Álgebra é um tópico de grande relevância para a Matemática, com o qual o aluno toma contato na 3a série do Ensino Médio. Talvez porque todas as demonstrações conhecidas desse resultado utilizem argumentos que não podem ser apresentados de modo preciso nessa etapa de ensino, sua abordagem em diversos livros didáticos resume-se, basicamente, a destacar algumas de suas consequências e aplicações. O propósito deste trabalho é fornecer um material que possa ser utilizado por professores da Educação Básica no intuito de explorar esse fascinante resultado. Para atingirmos esse objetivo, apresentamos uma breve contextualizaçãohistória do Teorema Fundamental da Álgebra, que serve tanto para apontar sua utilidade em outros ramos da Matemática como também para observar a evolução de certos conceitos matemáticos. Em seguida, apresentamos uma prova rigorosa desse resultado, com o menor nível de complexidade possível, além de duas abordagens alternativas com apelo visual que podem ser utilizadas para apresentar uma justificativa de sua validade aos alunos do Ensino Médio. / The Fundamental Theorem of Algebra is a topic of great relevance to Mathematics, with which the student makes contact in the 3rd grade of High School. Perhaps because all known demonstrations of this result use arguments that can not be accurately presented at this stage of teaching, its approach in several textbooks basically boils down to highlighting some of its consequences and applications. The purpose of this work is to provide a material that can be used by teachers of Basic Education in order to explore this fascinating result. To reach this goal, we present a brief history of the Fundamental Theorem of Algebra, which serves both to point out its usefulness in other branches of mathematics and also to observe the evolution of certain mathematical concepts. Next, we present a rigorous proof of this result, with the lowest level of complexity possible, as well as two alternative approaches with visual appeal that can be used to present a justification of its validity to high school students.

Made available in DSpace on 2015-03-03T15:36:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 NilsonHN_DISSERT.pdf: 1119783 bytes, checksum: 06971d48c83bfd25f8c12df9752dbc20 (MD5) Previous issue date: 2013-08-14 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / Among several theorems which are taught in basic education some of them can be proved in the classroom and others do not, because the degree of difficulty of its formal proof. A classic example is the Fundamental Theorem of Algebra which is not proved, it is necessary higher-level knowledge in mathematics. In this paper, we justify the validity of this theorem intuitively using the software Geogebra. And, based on [2] we will present a clear formal proof of this theorem that is addressed to school teachers and undergraduate students in mathematics / Dentre os v?rios teoremas que s?o ensinados na educa??o b?sica, alguns podem ser demonstrados em sala de aula e outros n?o, devido o grau de dificuldade de sua prova formal. Um exemplo cl?ssico e o Teorema Fundamental da Alg?bra, que n?o ? demonstrado, pois ? necess?rio conhecimentos em Matem?tica de n?vel superior. Neste trabalho, justicamos intuitivamente a validade do Teorema Fundamental da Algebra usando o software Geogebra. E, baseados em [2], apresentamos uma clara demonstra??o formal desse teorema que est? endere?ada aos professores do ensino b?sico e alunos de licenciatura em Matem?tica

Neste trabalho, seguindo a abordagem de Weierstrass, temos o objetivo de responder a seguinte questão: conhecida a equivalência entre holomorfia e analiticidade no caso complexo, quais propriedades das funções analíticas podem ser obtidas sem assumir tal equivalência? Analisando esta situação, resultados interessantes serão obtidos sem o uso de qualquer teorema de integração complexa e, para alcançar tal objetivo, nossas principais ferramentas serão a teoria de somas não ordenadas de famílias em C e propriedades do índice de caminhos fechados. Entre os resultados apresentados estão os conhecidos Teorema Fundamental da Álgebra, Lema de Schwarz, Teorema de Montel, Teorema da Série Dupla de Weierstrass, Princípio do Argumento, Teorema de Rouché, Teorema da Fatoração de Weierstrass, Pequeno Teorema de Picard e o Teorema da Aplicação de Riemann. / In this work, following the Weierstrass\'s approach, we aim to answer the following question: knowing the equivalence between holomorphy and analyticity in the complex case, which properties of analytic functions can be obtained without assuming such equivalence? Through analyzing this situation, interesting results will be obtained without employing of any complex integration theorem and in order to achieve this goal, our main tools will be the theory of unordered sums in C and properties of winding numbers of closed paths. Among the proven results are the well known Fundamental Theorem of Algebra, Schwarz\'s Lemma, Montel\'s Theorem, Weierstrass\'s Double Series Theorem, Argument Principle, Rouché\'s Theorem, Weierstrass\'s Factorization Theorem, Picard\'s Little Theorem and the Riemann\'s Mapping Theorem.