Dans cette thèse nous étudions la géométrie basique des feuilletages riemanniens. Nous reprenons d’abord le point de vue d’A. El Kacimi sur les opérateurs différentiels transversalement elliptiques. Nous traitons le cas particulier des feuilletages par fibration et des feuilletages par suspension. Nous traitons également des exemples de calcul d’indice basique et étudions les propriétés d’invariance de la signature basique. Nous nous intéressons ensuite au cas d’un feuilletage riemannien muni d’une action de groupe de Lie compact. Nous montrons alors qu’un opérateur différentiel basique transversalement elliptique au feuilletage et à l’action du groupe admet un indice distributionnel basique. Nous traitons le cas particulier des actions libres et établissons les propriétés de multiplicativité et excision. Nous finissons par établir le lien avec le point de vue d’A. El Kacimi / In this paper we study the basic geometry of a Riemannian foliation. First we return on A. El Kacimi’s point of view on transversally elliptic basic differential operator. We study the particular case of fibration and foliation defined by suspension. We study some examples of computation of basic index and study invariance property for the basic signature. After, we study a Riemannian foliation with the action of a compact Lie group. We prove then that a basic differential operator which is transversally elliptic to the foliation and to the group action has a distributional basic index. We study the particular case of free action and prove the multiplicativity and excision property. We end by study the link with El Kacimi’s point of view