Dans cette thèse nous étudions la géométrie basique des feuilletages riemanniens. Nous reprenons d’abord le point de vue d’A. El Kacimi sur les opérateurs différentiels transversalement elliptiques. Nous traitons le cas particulier des feuilletages par fibration et des feuilletages par suspension. Nous traitons également des exemples de calcul d’indice basique et étudions les propriétés d’invariance de la signature basique. Nous nous intéressons ensuite au cas d’un feuilletage riemannien muni d’une action de groupe de Lie compact. Nous montrons alors qu’un opérateur différentiel basique transversalement elliptique au feuilletage et à l’action du groupe admet un indice distributionnel basique. Nous traitons le cas particulier des actions libres et établissons les propriétés de multiplicativité et excision. Nous finissons par établir le lien avec le point de vue d’A. El Kacimi / In this paper we study the basic geometry of a Riemannian foliation. First we return on A. El Kacimi’s point of view on transversally elliptic basic differential operator. We study the particular case of fibration and foliation defined by suspension. We study some examples of computation of basic index and study invariance property for the basic signature. After, we study a Riemannian foliation with the action of a compact Lie group. We prove then that a basic differential operator which is transversally elliptic to the foliation and to the group action has a distributional basic index. We study the particular case of free action and prove the multiplicativity and excision property. We end by study the link with El Kacimi’s point of view

Ce mémoire porte sur la théorie des espèces introduite par André Joyal en 1981. Développée systématiquement par Bergeron, Labelle et Leroux au LaCIM, la théorie donne une élégante présentation de la théorie des séries formelles et possède des applications dans plusieurs disciplines allant de la combinatoire énumérative à la physique statistique. Une opération importante de la théorie consiste en l'opération de dérivation pour laquelle Labelle et Lamathe ont introduit en 2009 une généralisation de l'opérateur différentiel standard D en donnant une interprétation combinatoire à Ω(X,D)F(X), où Ω(X,T) et F(X) sont des espèces à deux et une sortes d'éléments respectivement. Yeh a montré que de tels opérateurs peuvent être décomposés de façon unique en sommes de produits d'opérateurs plus simples appelés opérateurs différentiels combinatoires atomiques. Dans leur article, Labelle et Lamathe ont présenté une liste des premiers opérateurs différentiels atomiques. Dans ce mémoire, nous apportons une contribution originale à la théorie des espèces. En particulier, nous explicitons plusieurs notions de cette théorie en fournissant notamment une preuve détaillée d'un théorème, dû à Labelle et Lamathe, permettant de calculer l'application d'un opérateur moléculaire sur une espèce donnée. Ensuite, nous donnons deux algorithmes permettant de déterminer si un opérateur différentiel moléculaire donné est atomique. Nous étendons ensuite la liste des opérateurs différentiels donnée dans (Labelle et Lamathe, 2009). Les résultats de ce travail furent présentés à la conférence GASCom 2012 qui eut lieu à l'université de Bordeaux du 25 au 27 juin 2012. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : opérateurs différentiels combinatoires, opérateurs moléculaires, opérateurs atomiques, espèces de structures.

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée / Using functional and numerical methods, we localize the spectrum of a differential operator and we build approximate solutions for classes of Fredholm equations of the second kind, two of which have a weakly singular kernel. In the first chapter, we study the pseudospectral stability of a convection-diffusion nonselfadjoint operator defined on an open unbounded set. From the result of pseudospectral stability, we localize the spectrum of the operator. In the second chapter, we regularize the kernel of an integral operator using a convolution product, then we approach the new kernel by its truncated Fourier series. We obtain an integral operator of finite rank, which allows us to compute an approximate solution numerically

On étudie dans le corps des séries formelles de Puiseux, la résolution des équations algébriques de 2 et 3 variables. Le développement des solutions dépend de la nature du point au voisinage duquel on développe la fonction algébrique associée à cette équation algébrique. Pour les points réguliers on développe un algorithme basé sur la méthode itérative de Newton: xk+1=xk−f(xk)/f'(xk). Pour les points singuliers une méthode constructive appelée polygone de Newton permet de déterminer de proche en proche les approximants des solutions. On donne une application de la méthode du polygone de Newton à la détermination des polynômes facteurs déterminants d'un opérateur différentiel à singularité irrégulière à l'origine

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée

Ce mémoire présente un point de vue basé sur la théorie des algèbres de Jordan pour faire une étude analytique, géométrique et topologique de certains espaces homogènes : espaces hermitiens symétriques, leurs frontières de Shilov et espaces symétriques causaux de type Cayley. <br />En particulier, nous passons en revue des résultats sur l'indice de Maslov, de Souriau et d'Arnold-Leray. Nous étudions aussi certaines propriétés de contractions et de compressions de ces espaces.<br />Le prolongement de la série discrète holomorphe est une partie importante du programme de Gelfand-Gindikin. Dans ce contexte, nous étudions les espaces de Hardy des fonctions holomorphes sur certains domaines Stein. Nous donnons en particulier le lien qui existe entre ces espaces de Hardy et les espaces de Hardy classiques des fonctions holomorphes sur les espaces hermitiens symétriques.<br />En dernier lieu, nous étudions la conjecture de Helgason pour la frontière de Shilov des espaces hermitiens symétriques. Plus précisément, nous caractérisons l'image par de la transformation de Poisson des hyperfonctions et des fonctions $L^p$ sur la frontière de Shilov.