Dans la première partie de ma thèse, il est démontré, dans les espaces de Banach et de Fréchet de suites, un résultat d'existence d'un sous-espace fermé de dimension infinie dont les éléments non-nuls sont des séries universelles.La deuxième partie est consacrée à l'étude des opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes. Dans un premier temps, le spectre et la dynamique des opérateurs de composition hyperboliques sur les espaces de Hardy de la boule sont décrits complètement.Dans un second temps, la continuité et la compacité des opérateurs de composition sur les espaces de Hardy-Orlicz et de Bergman-Orlicz de la boule sont caractérisées. On en déduit en particulier l'existence d'une classe de fonctions d'Orlicz définissant des espaces du type précédent sur lesquels tout opérateur de composition est continu. / In the first part of my thesis, a result on the existence of a closed infinite-dimensional subspace, whose non-zero elements are universal series, is given in Banach and Fréchet spaces framework.The second part is devoted to the study of composition operators on spaces of several variables analytic functions. First, the spectrum and the dynamics of hyperbolic composition operators acting on Hardy spaces on the ball are completely described.Second, continuity and compactness of composition operators on Hardy-Orlicz and Bergman-Orlicz spaces on the ball are characterized. In particular, we deduce from the treatment of the continuity that there exists a class of Orlicz functions which define Hardy-Orlicz and Bergman-Orlicz spaces, on which every composition operator is bounded.

Cette thèse se situe à l'intersection de plusieurs domaines mathématiques particulièrement actifs actuellement : l'analyse fonctionnelle, la théorie des opérateurs, la dynamique complexe et la théorie des semigroupes. Nous étudierons ici les semigroupes d'opérateurs de composition sur quelques espaces de Hardy pondérés, notamment l'espace de Hardy du disque et l'espace de Dirichlet. Dans un premier temps, nous allons voir pourquoi se placer à cette intersection est pertinent, en montrant comment utiliser les propriétés des semigroupes pour calculer explicitement les normes de certains opérateurs de composition. Dans un second temps, nous étudierons les propriétés des semigroupes d'opérateurs de compositions qui sont directement accessibles à partir de la seule donnée du générateur infinitésimal du semigroupe, en nous concentrant tout particulièrement sur les notions d'analyticité et de compacité / This thesis takes place at the intersection of several particularly active mathematical areas : functional analysis, operator theory, complex dynamics and theory of semigroups. Here, we study semigroups of composition operators on some weighted Hardy spaces, in particular the Hardy space of the disk and the Dirichlet space. First, we will show why this intersection is relevant for our study, pointing out how to use the properties of semigroups to explicitly compute the norms of some composition operators. Secondly, we will study the properties of semigroups of composition operators that are directly accessible from the only data of the infinitesimal generator, focusing on analyticity and compactness

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Le sujet de cette thèse est l'étude des produits d'opérateurs de Toeplitz, aussi bien ceux définis sur l'espace de Hardy du cercle unité que ceux définis sur l'espace de Bergman du disque unité. Les deux questions soulevées dans mon travail sont les suivantes :<br />1) Sous quelles conditions le produit de deux opérateurs de Toeplitz est-il un opérateur de Toeplitz?<br />2) Sous quelles conditions le produits de deux opérateurs de Toeplitz est-il commutatif?<br />Pour chacune de ces deux questions, nous commençons par rappeler les travaux antérieurs avec tout ce qu'ils nécessitent comme outils techniques, puis nous exposerons notre contribution dans ce domaine. Notamment, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que le produit de deux opérateurs de Toeplitz quasihomogènes soit encore un opérateurs de Toeplitz. De plus, nous caractérisons les opérateurs de Toeplitz bornés qui commutent avec un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Pour motiver cette caractérisation, nous introduisons une nouvelle notion à savoir la T-racine d'un opérateur de Toeplitz quasihomogène. Cette notion, nous permet de donner une construction effective d'opérateurs de Toeplitz non triviaux dont toutes les puissances sont des opérateurs de Toeplitz.

Le propos de cette thèse est l'étude de la norme ||G+T|| d'une perturbation compacte d'un opérateur G agissant entre des espaces de Banach. Dans un premier temps nous abordons le problème du point de vue de la propriété de Daugavet : un opérateur G un centre de Daugavet si tout opérateur T de rang 1 (ou de manière équivalente tout opérateur compact) vérifie ||G+T||=||G||+||T||. Dans le premier chapitre, nous donnons des exemples de centres de Daugavet parmi les opérateurs de composition à poids agissant sur certains espaces de fonctions, comme par exemple l'espace C(K) des fonctions continues sur un compact parfait K, l'algèbre du disque, ou encore l'espace des fonctions lipschitziennes sur un espace métrique complet. Dans le second chapitre, nous étudions une propriété un peu plus faible, à savoir que l'équation ||G+T||=||G||+||T|| ne soit plus satisfaite que pour une certaine classe d'opérateurs de rang 1, et nous appelons alors un tel opérateur G un presque centre de Daugavet. Nous donnons une caractérisation des presque centres de Daugavet en terme de l^1-type canonique et d'épaisseur de l'opérateur G. Ceci nous permet alors d'obtenir une caractérisation des opérateurs qui fixent une copie de l'espace l^1. Le point de vue du dernier chapitre est différent : on ne cherche plus à trouver G qui " maximise " la norme de G+T pour tout opérateur compact T, mais à trouver un opérateur compact T qui minimise ||G+T||. En d'autres termes, on cherche à évaluer la norme essentielle de G. Nous complétons certains résultats obtenus dans le cadre des opérateurs de composition à poids agissant entre différents espaces de Hardy.

Le propos de cette thèse est l’étude de la norme ||G+T|| d’une perturbation compacte d’un opérateur G agissant entre des espaces de Banach. Dans un premier temps nous abordons le problème du point de vue de la propriété de Daugavet : un opérateur G un centre de Daugavet si tout opérateur T de rang 1 (ou de manière équivalente tout opérateur compact) vérifie ||G+T||=||G||+||T||. Dans le premier chapitre, nous donnons des exemples de centres de Daugavet parmi les opérateurs de composition à poids agissant sur certains espaces de fonctions, comme par exemple l’espace C(K) des fonctions continues sur un compact parfait K, l’algèbre du disque, ou encore l’espace des fonctions lipschitziennes sur un espace métrique complet. Dans le second chapitre, nous étudions une propriété un peu plus faible, à savoir que l’équation ||G+T||=||G||+||T|| ne soit plus satisfaite que pour une certaine classe d’opérateurs de rang 1, et nous appelons alors un tel opérateur G un presque centre de Daugavet. Nous donnons une caractérisation des presque centres de Daugavet en terme de l1-type canonique et d’épaisseur de l’opérateur G. Ceci nous permet alors d’obtenir une caractérisation des opérateurs qui fixent une copie de l’espace l1.Le point de vue du dernier chapitre est différent : on ne cherche plus à trouver G qui « maximise » la norme de G+T pour tout opérateur compact T, mais à trouver un opérateur compact T qui minimise ||G+T||. En d’autres termes, on cherche à évaluer la norme essentielle de G. Nous complétons certains résultats obtenus dans le cadre des opérateurs de composition à poids agissant entre différents espaces de Hardy. / This thesis is about the study of the norm ||G+T|| of a compact perturbation of an operator G acting between Banach spaces. We first use the Daugavet property’s point of view: an operator G is a Daugavet center if every rank-1 operator (or equivalently every compact operator) T satisfies ||G+T||=||G||+||T||. In the first chapter we exhibit some examples of Daugavet centers among the set of weighted composition operators acting on function spaces, such as the space C(K) of continuous functions on a perfect compact space K, the disk algebra, or the space of Lipschitz functions on a complete metric space. In the second chapter we study a weaker property, that is to say the equation ||G+T||=||G||+||T|| is now fulfilled for a smaller class of rank-1 operators, and such an operator G is called an almost Daugavet center. We give a characterization of almost Daugavet centers in terms of canonical l1-type and thickness of the operator G. This leads to a characterization of the class of operators fixing a copy of l1.The last chapter’s point of view is quite different: we do not look anymore for a G that “maximizes” the norm of G+T for every compact operator T, but we try to find a compact operator T that minimizes ||G+T||. In other words, we want to estimate the essential norm of G. We complete some results concerning weighted composition operators acting between different Hardy spaces.

Dans cette thèse nous proposons de nouveaux modèles paramétriques en traitement du signal et de l'image, fondés sur la décomposition de Wold des processus stochastiques. Les approches de modélisation font appel à l'analyse fonctionnelle et harmonique, l'analyse par ondelettes, ainsi qu'à la théorie des champs stochastiques. Le premier chapitre a un caractère introductif théorique et précise les éléments de base concernant le contexte de la prédiction linéaire des processus stochastiques stationnaires et la décomposition Wold, dans le cas 1-D et multi-D. On montre comment les différentes parties de la décomposition sont obtenues à partir de l'hypothèse de stationnarité, via la représentation du processus comme l'orbite d'un certain opérateur unitaire, l'isomorphisme canonique de Kolmogorov et les conséquences sur la prédiction linéaire du théorème de Szégö et de ses extensions multidimensionnelles. Le deuxième chapitre traite une approche de factorisation spectrale de la densité spectrale de puissance qu'on utilisera pour l'identification des modèles de type Moyenne Ajustée (MA), Autorégressif (AR) et ARMA. On utilise la représentation par le noyau reproduisant de Poisson d'une fonction extérieure pour construire un algorithme d'estimation d'un modèle MA avec une densité spectrale de puissance donnée. Cette méthode d'estimation est présentée dans le cadre de deux applications: - Dans la simulation de canaux sans fil de type Rayleigh (cas 1-D). - Dans le cadre d'une approche de décomposition de Wold des images texturées (cas 2-D). Dans le troisième chapitre nous abordons la représentation et la compression hybride d'images. Nous proposons une approche de compression d'images qui utilise conjointement : - les modèles issus de la décomposition de Wold pour la représentation des régions dites texturées de l'image; - une approche fondée sur les ondelettes pour le codage de la partie "cartoon" (ou non-texturée) de l' image. Dans ce cadre, nous proposons une nouvelle approche pour la décomposition d'une image dans une partie texturée et une partie non-texturée fondée sur la régularité locale. Chaque partie est ensuite codée à l'aide de sa représentation particulière. / In this thesis we propose new parametric models in signal and image processing based on the Wold decomposition of stationary stochastic processes. These models rely upon several theoretical results from functional and harmonic analysis, wavelet analysis and the theory of stochastic fields, The first chapter presents the theoretical background of the linear prediction for stationary processes and of the Wold decomposition theorems in 1-D and n-D. It is shown how the different parts of the decomposition are obtained and represented, by the means of the unitary orbit representation of stationary processes, the Kolmogorov canonical model and Szego-type extensions. The second chapter deals with a spectral factorisation approach of the power spectral density used for the parameter estimation of Moving Avergage (MA), AutoRegressif (AR) and ARMA models. The method uses the Poisson integral representation in Hardy spaces in order to estimate an outer transfer function from its power spectral density. - Simulators for Rayleigh fading channels (1-D). - A scheme for the Wold decomposition for texture images (2-D). In the third chapter we deal with hybrid models for image representation and compression. We propose a compression scheme which jointly uses, on one hand, Wold models for textured regions of the image, and on the other hand a wavelet-based approach for coding the 'cartoon' (or non-textured) part of the image. In this context, we propose a new algorithm for the decomposing images in a textured part and a non-textured part. The separate parts are then coded with the appropriate representation.

Cette thèse s'articule autour d'une notion spectrale assez récente, appelée le spectre étendu des opérateurs. Dans la première partie nous fournissons des propriétés générales du spectre étendu d'un opérateur dans certains cas particuliers, tels que le cas de dimension finie et celui des opérateurs inversibles. Nous nous intéressons dans la deuxième partie à l'étude du spectre étendu de l'opérateur shift tronqué Su. En particulier, nous donnons une description complète des vecteurs propres étendus associes à chaque valeur propre étendue de Sb, ou b est un produit de Blaschke quelconque. Dans la troisième partie nous décrirons complètement le spectre étendu et les sous espaces propres étendus d'une classe d'opérateurs très importante : celle des opérateurs normaux. Nous commençons d'abord par la classe des opérateurs qui sont produits d'un opérateur positif par un autoadjoint. Ensuite, nous utilisons le théorème de Fuglede-Putnam pour déduire une description complète des valeurs et des vecteurs propres étendus des opérateurs normaux, en fonction de leur mesure spectrale. Dans la dernière partie, nous appliquons nos résultats des trois premières parties sur des exemples concrets. En particulier, nous traitons= le problème des sous espaces propres étendus des opérateurs définis dans un espace de dimension finie. Ensuite, nous montrons l'existence d'un opérateur compact quasinilpotent dont le spectre étendu est réduit au singleton {1}. Enfin, nous traitons deux opérateurs de Cesaro très importants dans les applications / This thesis is based on a relatively new spectral notion, called extended spectrum of operators. In the first part, we provide general properties of extended spectrum of an operator in some special cases, such as the case of finite dimension and the case of invertible operator. We focused in the second part on characterizing the extended spectrum of truncated shift operator Su. In particular, we give a complete description of the extended eigenvectors associated to each extended eigenvalue of Sb, where b is a Blaschke product. In the third part, we describe the extended spectrum and the extended eigenvectors of a very important class of operators , that is the normal operators. We first start by describing these last sets for the product of a positive and a self-adjoint operator which are both injective. After, we use the Fuglede-Putnam theorem to describe the same sets for normal operators, in terms of their spectral measure. In the last part, we apply our results from the last three parts on concrete examples. In particular, we address the problem of extended eigenvectors of operators defined in a finite dimension space. Next, we show the existence of a quasinilpotent compact operator whose extended spectrum is reduced to {1}. Finally, we study two Cesaro operators which are very important in applications

Ce mémoire présente un point de vue basé sur la théorie des algèbres de Jordan pour faire une étude analytique, géométrique et topologique de certains espaces homogènes : espaces hermitiens symétriques, leurs frontières de Shilov et espaces symétriques causaux de type Cayley. <br />En particulier, nous passons en revue des résultats sur l'indice de Maslov, de Souriau et d'Arnold-Leray. Nous étudions aussi certaines propriétés de contractions et de compressions de ces espaces.<br />Le prolongement de la série discrète holomorphe est une partie importante du programme de Gelfand-Gindikin. Dans ce contexte, nous étudions les espaces de Hardy des fonctions holomorphes sur certains domaines Stein. Nous donnons en particulier le lien qui existe entre ces espaces de Hardy et les espaces de Hardy classiques des fonctions holomorphes sur les espaces hermitiens symétriques.<br />En dernier lieu, nous étudions la conjecture de Helgason pour la frontière de Shilov des espaces hermitiens symétriques. Plus précisément, nous caractérisons l'image par de la transformation de Poisson des hyperfonctions et des fonctions $L^p$ sur la frontière de Shilov.